幂级数：像多项式一样处理函数 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

幂级数：像多项式一样处理函数

上一章我们把注意力放在数项级数：每一项都是一个数，问题是无限相加是否有极限。本章把级数中的“数”换成“函数”。当每一项都含有 $x$ 时，同一个表达式会随着 $x$ 的取值而改变收敛性，于是我们不再只问“这个级数收敛吗”，而要问“在哪些 $x$ 上收敛”。

幂级数的核心直觉很朴素：它像一个项数无限的多项式。多项式可以求导、积分、代入和近似；幂级数在自己的收敛区间内部，也能做很多相似的事。难点在于边界：无限项让我们必须先确定哪里收敛，再谈它表示哪个函数。

幂级数像以中心为基准逐层相加的无限多项式

幂级数把函数拆成以中心 $c$ 为基准的常数项、一次项、二次项和更高次项。部分和 $S_N(x)$ 是有限多项式，真正的幂级数是这些部分和的极限。

幂级数是什么

一个以 $c$ 为中心的幂级数写成

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n

其中 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ 是系数， $c$ 是中心， $x$ 是变量。它展开后是

a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots

如果中心是 $0$ ，就得到更常见的形式

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n

幂级数不是一个普通多项式，因为它有无限多项。我们通常先看第 $N$ 个部分和

S_N(x)=\sum_{n=0}^{N} a_n (x-c)^n

这是一个真正的多项式。若当 $N\to\infty$ 时 $S_N(x)$ 趋向某个有限数，就说幂级数在这个 $x$ 处收敛；若不趋向有限数，就说它在这个 $x$ 处发散。

幂级数至少在中心 $x=c$ 处收敛。因为此时所有含 $(x-c)^n$ 的高次项都变成 $0$ ，级数只留下常数项 $a_0$ 。所以幂级数的收敛集合永远不会是空集。

三个基本例子

几何级数给出最重要的入门例子：

\sum_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots

当 $|x|<1$ 时，它收敛到

\frac{1}{1-x}

当 $|x|\ge 1$ 时，它不再收敛。这说明同一个幂级数在不同 $x$ 上可能有完全不同的表现。

另一个例子是

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

它对所有实数 $x$ 都收敛。还有一种极端情况：

\sum_{n=0}^{\infty} n!x^n

它只在 $x=0$ 处收敛。幂级数的收敛范围可以很大，也可以只剩中心。

收敛半径与收敛区间

对幂级数来说，收敛点通常围绕中心 $c$ 成一段区间。存在一个数 $R$ ，使得：

|x-c|<R

时幂级数收敛，而

|x-c|>R

时幂级数发散。这个 $R$ 叫做收敛半径。幂级数所有收敛的 $x$ 组成的集合叫做收敛区间。

幂级数在中心附近有收敛半径，端点需要单独检查

收敛半径决定中心附近的内部区域；端点 $c-R$ 和 $c+R$ 不由半径自动决定。

收敛半径有三种可能。

情况	含义
$R=0$	只在中心 $x=c$ 处收敛
$0<R<\infty$	在中心附近的开区间内收敛，外部发散
$R=\infty$

用比值判别法找半径

很多幂级数可以用比值判别法处理。设一般项为

u_n=a_n(x-c)^n

我们计算

\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|

如果这个极限能化成 $x$ 的表达式，令它小于 $1$ ，通常就能得到收敛半径。

用比值判别法从一般项推到收敛半径

比值判别法先给出开区间。端点处通常使比值极限等于 $1$ ，所以还要换别的方法判断。

例题：求幂级数的收敛半径和收敛区间。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-2)^n}{3^n}

先写出一般项 $u_n=\frac{n(x-2)^n}{3^n}$ 。这个幂级数以为中心，因为变量部分是。

比值判别法给出的是“内部收敛、外部发散”的信息。它在端点处常常失效，因为端点通常正好让比值极限等于 $1$ 。收敛区间是否包含端点，要把端点代回原级数重新判断。

端点检查

当 $0<R<\infty$ 时，半径只告诉我们开区间

c-R<x<c+R

内部收敛，外部发散。剩下的两个点 $x=c-R$ 与 $x=c+R$ ，必须逐个代入。代入后，幂级数会变成一个普通数项级数，此时要回到前两章的判别法。

端点代入后会得到不同的数项级数，结论不能只凭半径判断

端点检查不是形式步骤。左右端点代入后可能得到不同类型的数项级数，一个收敛，另一个发散。

例题：求下列幂级数的收敛区间。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{n}

中心是 $c=-1$ 。令一般项为 $u_n=\frac{(x+1)^n}{n}$ 。

端点检查的常见结果包括调和级数、交错调和级数、 $p$ 级数、交错 $p$ 级数以及通项不趋于 $0$ 的级数。不要把端点的式子想得太复杂；代入以后，它就不再是幂级数，而是一个普通级数。

部分和与稳定性

幂级数的值由部分和逼近：

S_N(x)=a_0+a_1(x-c)+\cdots+a_N(x-c)^N

当 $x$ 在收敛区间内部时， $S_N(x)$ 通常会随着 $N$ 增大而稳定下来。靠近端点时，稳定速度可能很慢；在区间外，部分和往往会震荡或快速变大。

这个现象可以在几何级数中看得很清楚。对

\sum_{n=0}^{\infty}x^n

部分和是

S_N(x)=1+x+x^2+\cdots+x^N

如果 $x=0.5$ ，项的绝对值越来越小，部分和靠近 $2$ 。如果 $x=1$ ，部分和等于 $N+1$ ，会一直增大。如果 $x=-1$ ，部分和在和之间来回跳，不会收敛。

“在函数上看起来合理”不等于“级数一定收敛”。例如 $\frac{1}{1-x}$ 在 $x=-2$ 有明确函数值 $1/3$ ，但级数 $\sum x^n$ 在发散。幂级数表示函数时，必须同时写出适用的范围。

逐项求导与逐项积分

多项式可以逐项求导、逐项积分。幂级数也可以，但要把话说清楚：它在收敛区间内部可以这样做。

设

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n

的收敛半径为 $R>0$ 。当 $|x-c|<R$ 时，可以逐项求导：

f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-c)^{n-1}

也可以逐项积分：

\int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1}

求导后和积分后的幂级数仍然有相同的收敛半径 $R$ ，但端点表现可能改变，所以端点仍要重新检查。

幂级数逐项求导和逐项积分时内部半径不变，但端点要重新检查

逐项求导和逐项积分在开区间内部可靠。端点处的收敛性不能直接从原级数继承。

从几何级数求导

从

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n

出发，两边在 $|x|<1$ 内逐项求导：

\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}

把指标改写成从 $0$ 开始的形式：

\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n

这个公式的收敛半径仍是 $1$ 。在端点 $x=1$ 与 $x=-1$ ，右边的通项都不趋于 $0$ ，所以级数在两个端点都发散。

从几何级数积分

把几何级数中的 $x$ 换成 $-x$ ，得到

\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n

它在 $|x|<1$ 内成立。两边从 $0$ 积分到 $x$ ：

\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n\,dt

在开区间内可以逐项积分，所以

\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}

也就是

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

至少在 $-1<x<1$ 内可靠。若只讨论右边这个级数本身，它在 $x=1$ 处变成交错调和级数而收敛，在 $x=-1$ 处变成调和级数的相反数而发散，所以它的收敛区间是 $(-1,1]$ 。

逐项积分给出的函数等式先在开区间内成立。端点处即使级数收敛，也还要确认它是否收敛到原函数的端点值；这件事在更高阶课程中会用 Abel 定理等工具处理。本课程中先把“端点级数是否收敛”和“端点是否仍表示原函数”分开看。

用几何级数生成新函数表示

几何级数是幂级数运算的起点：

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad |x|<1

许多函数可以通过代换、代数变形、求导或积分与它联系起来。

从几何级数出发，通过代换、求导和积分生成新的幂级数表示

几何级数像一个模板。每次代换或运算，都要同步更新收敛条件。

例题：把下面的函数写成幂级数，并给出收敛区间。

f(x)=\frac{x}{4+x^2}

先把分母改写成几何级数模板的形式：

\frac{x}{4+x^2} = \frac{x}{4}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}

用幂级数近似积分

有些积分不容易直接用初等函数处理，幂级数可以提供近似。比如

\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n},\qquad |x|<1

在 $0\le x\le 0.5$ 上逐项积分：

\int_0^{0.5}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(0.5)^{2n+1}}{2n+1}

取前三个非零项：

0.5-\frac{(0.5)^3}{3}+\frac{(0.5)^5}{5} = 0.464583\ldots

实际值是 $\arctan(0.5)\approx 0.463648$ ，近似已经相当接近。这里的关键不是背出 $\arctan$ ，而是看到幂级数把一个函数变成了可逐项积分的多项式近似。

常见误区

把收敛半径当成收敛区间

收敛半径只是距离。若中心是 $c=2$ ，半径是 $R=3$ ，内部区间是 $-1<x<5$ ，不是 $(-3,3)$ 。端点是否包含，也不能从直接看出。

端点代入不回到原级数

端点检查要代入原来的幂级数，而不是代入已经由比值判别法化简出的不等式。比值判别法在端点处往往只告诉你“我不知道”，真正的判断来自端点代入后的数项级数。

忘记同步更新收敛条件

如果把几何级数中的 $x$ 换成 $-x^2/4$ ，收敛条件也要从 $|x|<1$ 换成

\left|-\frac{x^2}{4}\right|<1

不能仍然写 $|x|<1$ 。

在区间外使用函数表示

公式

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n

只在 $|x|<1$ 内成立。函数 $\frac{1}{1-x}$ 在很多区间外的点有值，但右侧级数在那里发散，两边不能相等。

幂级数题最容易出现的错误不是代数，而是范围。每次得到一个幂级数表示，都要同时写出收敛条件；每次做求导、积分或代换，都要重新检查条件是否改变。

方法小结

处理幂级数时，可以按下面的顺序做。

先识别中心 $c$ 和一般项 $a_n(x-c)^n$ 。
用比值判别法或根值判别法找出内部收敛条件。
把条件写成 $|x-c|<R$ ，得到收敛半径和开区间。

这个流程看起来比普通多项式麻烦，但它换来的是一种很强的工具：把函数放进级数框架后，我们可以用多项式的语言做近似、求导、积分和构造新函数。

练习

练习 1：指出下列幂级数的中心。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n}(x+2)^n

中心是 $c=-2$ ，因为变量部分是 $(x+2)^n=(x-(-2))^n$ 。

练习 2：求收敛半径和收敛区间。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n^2}

比值判别法给出 $|x-1|<1$ ，所以 $R=1$ ，开区间是 $0<x<2$ 。端点 $x=0$ 时得到，绝对收敛；端点时得到，收敛。因此收敛区间是。

练习 3：求收敛半径。

\sum_{n=0}^{\infty} n!(x+1)^n

一般项为 $u_n=n!(x+1)^n$ 。比值为 $(n+1)|x+1|$ 。若，这个量趋于无穷大，级数发散；若，只剩中心项，级数收敛。因此收敛半径是。

练习 4：求收敛区间。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n4^n}

比值判别法给出 $|x-3|/4<1$ ，所以开区间是 $-1<x<7$ ，半径是 $R=4$ 。端点 $x=-1$ 时得到，收敛；端点时得到，发散。因此收敛区间是。

练习 5：在 $|x|<1$ 内，对下列幂级数逐项求导。

g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}

逐项求导得到

g'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}

这就是几何级数，所以

练习 6：把函数写成以 $0$ 为中心的幂级数，并给出收敛区间。

\frac{1}{2-x}

先改写为

\frac{1}{2-x} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}