线性方程与不等式
如果把代数比作一门外语，上一节我们刚学会了几个基础词：变量、常数、表达式。会写 ，说明你已经能把“买几杯奶茶，总价是多少”这种关系压缩成一句代数话。但光会描述还不够，真正让人觉得代数有用的，是它能把一个藏起来的数找出来。
我第一次觉得方程没那么玄，是因为一个很普通的场景：几个人拼单点外卖，平台优惠已经扣掉，最后账单写着“每个人再付 23 元”。如果你想知道原价、优惠、人数之间到底怎么凑出这个 23 元，就不能只看结果，要把背后的关系拆开。方程做的就是这件事：有些信息已知，有一个量暂时未知，但题目告诉我们它们之间必须平衡。于是我们一点点把未知量从人堆里拉出来，让它单独站到等号一边。
不等式则更像现实生活本身。很多事情不是“刚好等于”，而是“不超过预算”“至少考到某个分数”“最多工作几天”。它不追求一个孤零零的答案，而是给出一段允许的范围。学会线性方程和线性不等式，其实就是学会两种非常常见的判断方式：这件事有没有一个准确答案，以及如果没有，哪些选择是被允许的。
先把“线性”这个词讲明白
“线性”这个词来自英文 linear，和 line 这条“直线”有关。放在这一章里，它最朴素的意思是：未知数只出现一次方。像
就是线性的，因为 没有平方、立方，也没有藏在分母、根号或指数里。更一般地，一元一次方程可以写成
这里的 和 是已知数， 是我们要找的未知数。要求 不是数学家喜欢加条件，而是因为如果 ，式子里就没有真正的 项了，方程也就不再是“用一次项找到未知数”的问题。
线性不等式长得几乎一样，只是把等号换成了不等号，例如
它问的不是“哪个 正好让两边相等”，而是“哪些 会让左边不超过右边”。所以方程的解常常是一个点，不等式的解常常是一段区间。这个差别很关键：点像门牌号，区间像可活动范围。
判断一个式子是不是这里讨论的“线性”，别只看它有没有字母，而要看未知数的出现方式。 是线性的， 不是； 仍然是线性的，因为它只是 ，未知数还是一次方。
解方程：不要先背移项，先想天平
很多人学方程时，脑子里最先出现的是“移项变号”。这个口诀当然能用，但如果只背口诀，很容易在复杂一点的题里丢符号。更稳的理解是天平：等式两边原来是平衡的，你对左边做什么，也必须对右边做同样的事。两边同时加同一个数、减同一个数、乘同一个非零数、除以同一个非零数，平衡都不会被破坏。
比如
左边的 被两层东西包住：先乘了 ，又减了 。要把 单独留下来，就反着拆。最后一步发生的“减 ”，先用“加 ”撤掉；再把“乘 ”用“除以 ”撤掉。
两边同时加 ，得到 ，也就是 。这一步不是把 随便扔到右边，而是在等式两边做了同样的加法。
真正的熟练不是把每一道题都算得很快，而是知道每一步为什么合法。比如方程
第一眼看起来比刚才麻烦，是因为左边有括号，右边也有 。但它的故事还是一样：先把伪装拆掉，再把含 的项放到一边，把常数放到另一边。
先用分配律展开左边：，方程变成 。
无解和无穷多解不是事故
线性方程不总是给你一个唯一答案。有时候你化简到最后，会发现 消失了。如果最后得到
这种明显不可能成立的句子，说明原方程无解。它不是你算着算着把 算没了，而是题目本身在要求一件矛盾的事。换成图像语言，两条直线平行，永远没有交点。
如果最后得到
那就完全相反，说明无论 取什么值，原方程都成立。它的解不是一个数，而是全体实数。图像上看，两条直线其实重合了，每一个点都是交点。
遇到 被消掉时，不要急着说“没答案”。先看最后剩下的是矛盾句还是恒真句。矛盾句对应无解，恒真句对应无穷多解，这两种结局在代数上都很正常。
分数和小数：把它们先清场
很多同学不是不会解方程，而是一见分数就紧张。其实含分数方程的核心策略很简单：把分母清掉。你不需要在一堆分数里硬算通分，只要找到所有分母的最小公倍数，然后等式两边同时乘它。因为两边做的是同一个乘法，所以方程的解不会改变。
看这个例子：
分母有 、、，最小公倍数是 。两边同时乘以 ，题目立刻从“分数局”变成“整数局”。
两边同时乘以 ，每一项都要乘到：。
这里最容易出错的地方，是只给含分数的项乘 ，却忘了整数项也要一起乘。等式两边同时乘以 ，意思是整个左边和整个右边都乘以 ，没有哪一项可以逃票。
小数的处理其实同一个思路。小数就是分母为 、、 的分数，所以我们可以用 的幂把它们变成整数。比如
这里最多有两位小数，所以两边同时乘以 。
两边乘以 ，得到 。
清分母和清小数不是“改变题目”，而是把同一个关系换成更好算的外形。只要你对等式两边做的是同一个合法操作，解集就不会变。
不等式：最像方程，也最容易在一处翻车
不等式的前半段几乎照搬方程。你可以两边同加、同减，也可以两边同乘或同除一个正数，目标仍然是把 单独留下来。真正需要单独拎出来讲的，是那条著名规则：两边同乘或同除负数时，不等号方向必须反转。
为什么会反转？不妨从最小的例子看：
这是对的。但两边同时乘以 后，左边变成 ，右边变成 。在数轴上， 反而在 的左边，所以应该写成
乘以负数就像把整条数轴绕着 翻过去，原来在右边的数会跑到左边，大小顺序自然也被翻转。
以
为例，这道题最后就会除以负数。
两边同时减去 ，得到 。
两边同时除以 。因为除的是负数，不等号方向从 变成 ，所以得到 。
数轴表示不等式时，有一个很直观的约定：如果端点被包含，也就是出现 或 ，就在端点画实心圆；如果端点不包含，也就是出现 或 ，就画空心圆。然后根据 是“大于某个数”还是“小于某个数”，向右或向左画射线。
不等号翻转只发生在乘除负数时。加减不会翻，乘除正数也不会翻。很多错误都来自“看到负号就翻”，其实要看的是你正在做的操作是不是乘以或除以负数。
复合不等式：一句话里有两个限制
现实里的限制经常不是一条，而是两条。比如“温度至少 度，但不能超过 度”，这就不是一个单独的不等式，而是两个条件同时成立。复合不等式就是把多个限制放在一起看。
“且”型复合不等式要求两边条件都满足。比如
意思是 既要不小于 ，又要小于 。这种夹在中间的写法很适合一起操作：三边同时减，同除正数时方向不变，同除负数时两个不等号都要反转。
三边同时减去 ，得到 。
三边同时除以 ，因为 是正数，不等号方向不变，得到 。
“或”型复合不等式的味道不一样。它只要求满足其中一个条件，所以最后取的是两个解集的并集。比如
左边解得 ，右边解得 ，所以答案是
这表示两段都要保留，中间那段不是答案。
可以把“且”想成找重叠，把“或”想成保留两边。很多复合不等式的难点不是计算，而是最后到底应该取交集还是并集。
文字题：先讲人话，再写代数话
真正上考场时，最让人头疼的往往不是已经写好的方程，而是那段长长的文字。其实文字题的第一步不该是“看见关键词就套公式”，而是先把故事里的主角找出来。哪个量不知道？哪个关系是“等于”？哪个关系是“至少”或“不超过”？只要这三件事清楚，方程或不等式就不会凭空乱写。
比如“两个连续整数之和为 ，求这两个整数”。这里的未知量不是两个完全没关系的数，因为“连续”已经告诉我们它们相差 。设较小的整数为 ，较大的整数自然就是 。
根据“之和为 ”，建立方程 。
再看预算问题：“小明每月收入 元，房租不得超过月收入的 ，他最多能承担多少月租？”这题的关键词不是“房租”本身，而是“不得超过”。它告诉我们要写不等式。
设月租为 元。“不得超过”对应 ，所以有 。
相遇问题也很典型。甲乙两人从相距 km 的两城同时相向而行，速度分别是 km/h 和 km/h。问几小时后相遇。设经过 小时相遇，那么甲走了 ，乙走了 。相遇时，两个人走过的路程合起来正好是总距离。
建立方程 。
合并同类项得到 ，所以 。
文字题的答案要回到现实语境里。算出 还不够，你要知道它是 小时、 元、 个人，还是 天。代数负责找到数，最后一句话负责把数放回故事里。
再练几道，看看自己是不是真的会了
练习 1：解方程 。
先展开括号，得到 。合并同类项后是 ，两边减去 得到 ，所以 。代回原式可以验证结果正确。
练习 2：解方程 。
分母 、、 的最小公倍数是 。两边同时乘以 ，得到 。展开后是 ，也就是 ，所以 。
练习 3：解不等式 ，并用区间记号表示解集。
展开左边得到 。两边减去 ，得到 ；再两边减去 ，得到 。最后除以 时，不等号要翻转，所以 ，解集是 。
练习 4：小华前四次数学测验成绩为 。她希望五次平均分至少达到 分，第五次至少要考多少分？
设第五次成绩为 。前四次总分是 ，所以平均分条件可以写成 。两边乘以 得到 ，于是 。因此她第五次至少要考 分。
小结
线性方程的核心不是“把东西搬来搬去”，而是始终维护等式平衡。你对一边做什么，也对另一边做什么；你想把 单独留下来，就按相反顺序拆掉它身上的加减和乘除。括号、分数、小数只是外形不同，本质上都可以通过分配律、清分母、乘以 的幂来整理成更好处理的样子。
线性不等式和方程共享大部分操作，但它有一条必须刻进手感里的规则：乘除负数时，不等号方向要反转。这个规则来自数轴方向的反射，不是额外背出来的花招。复合不等式则进一步要求我们分清“且”和“或”：前者找交集，后者取并集。
最后，把这些工具放进文字题时，先别急着写式子。先问三个问题：未知量是谁，关系词是什么，答案在现实里要满足什么限制。只要这三步稳住，方程和不等式就不再像凭空冒出来的符号，而会变成故事里数量关系的自然翻译。