代数基础与表达式

先看一个很普通的问题：一支笔 6 元，买 4 支要付多少？你大概不会犹豫，直接算 $6\times4=24$。

可如果现在还不知道要买几支呢？算术没法替你猜出那个数量，但我们可以把“笔的支数”先写成 $n$，于是总价就是 $6n$。等到买 4 支时，把 $n$ 换成 4；买 10 支时，就把 $n$ 换成 10。式子没换，换的只是其中的数。

这就是代数真正开始的地方。它并不是故意把数字藏起来，也不只是“用字母做计算”。代数做的是另一件事：把许多具体计算里共同的关系写成一条规则。当你能读懂字母、括号和运算符各自在说什么，就能用一个短短的式子处理一整类问题。

这一节会把这些基础动作连起来：字母怎样代表数量，括号怎样规定结构，交换律、结合律和分配律为什么能帮我们改写式子，负号和分数又该怎样进入代数表达式。别急着背名称。我们先看每条规则究竟允许你做什么，也看它不允许你做什么。

字母在式子里代表什么

从一笔账到一类账

假设每张电影票 35 元。1 张票是 35 元，2 张票是 70 元，$n$ 张票就是 $35n$ 元。这里的 $n$ 是“票数”的简写，$35n$ 则把一句话压缩成了一条计算规则：

只要票价保持 35 元，任何合理的票数都可以代入 $n$。例如 $n=6$ 时，

字母让我们暂时不必决定具体数值。更重要的是，它把数量之间的关系保留下来了。看到 $35n$，你不只知道“将来要乘一下”，还知道总价会随着票数一起变化：票数增加 1，总价就增加 35 元。

变量、常量和未知数要看语境

在当前问题里会改变取值的量，叫做变量。票数 $n$ 可以是 1、2、3 等不同的数，所以它是变量。在规则

中，$v$ 可以表示速度，$t$ 表示时间，$d$ 表示路程。换一次运动情境，这三个量都可能改变。

在当前讨论中保持不变的量，叫做常量。票价固定为 35 元时，35 就是常量。注意“常量”说的是一个量在这件事里不变，不是说它必须写成数字。比如某道题规定机器始终以每分钟 $r$ 个零件的速度工作，那么在这道题里，字母 $r$ 也可以代表一个固定参数。

字母还可能表示未知数。如果题目说“买票共花了 210 元，每张 35 元，买了多少张”，写出

此时 $n$ 是等待求出的数。变量和未知数并不是由字母形状决定的。还是要回到题意：这个字母是在一组允许值中变化，还是在当前条件下等待确定？

代数里的乘号为什么常常消失

数字和字母相乘时，通常省略乘号：

两个字母相乘也可以写成 $ab$，它表示 $a\times b$，不是一个名叫“ab”的新变量。数字系数一般放在字母前面，所以写 $5x$，不写 $x5$。

但两个纯数字之间不能随便省略乘号。$3\times7=21$，而 $37$ 是三十七，意思完全不同。遇到容易看混的地方，可以用圆点或括号写乘法：

分数与字母相乘时，通常把系数写在前面，例如 $\dfrac{3}{4}x$。负一乘某个量时，$-1$ 也经常被省掉：

所以 $-x$ 的系数是 $-1$，不是“没有系数”。

把表达式拆成项、系数和常数项

像 $35n$、$2(x+5)$、$3x^2-5x+7$ 这样，由数、字母和运算符组成，但没有提出一个需要判断真假的等式，叫做代数表达式。

看这个表达式：

按最外层的加减号来切，它有三项：$3x^2$、$-5x$ 和 $7$。每一项前面的数叫做系数，所以 $3x^2$ 的系数是 3，$-5x$ 的系数是 $-5$。不含字母的 $7$ 叫做常数项。

切项时，符号要跟着后面的内容一起走。把 $-5x$ 拆成“负号”和“$5x$”会埋下麻烦，因为后面移动或合并这一项时，很容易把负号落下。

再看一个有多个字母的例子：

它的三项分别是 $-\dfrac{2}{3}a^2b$、$4ab$、$-9$。第一项的系数是 $-\dfrac{2}{3}$，字母部分是 $a^2b$。指数 2 只作用于 $a$，所以 $a^2b$ 表示 $a\cdot a\cdot b$。

等号是在作出承诺

等号不是“答案马上出现”的提示符，它表示左右两边的值相同。

有些等式只在特定取值下成立，例如 $35n=210$ 只在 $n=6$ 时成立。有些等式对允许范围内的每个取值都成立，例如

无论把 $a$、$b$ 换成哪些实数，左右两边都相等。后面说“两个表达式等价”，指的正是：在共同允许的取值范围内，它们总能算出同一个值。

你可以随手代一个数来发现错误，却不能只代一个数就证明恒等。比如 $x^2=x$ 在 $x=0$ 时碰巧成立，在 $x=2$ 时就不成立。一个例子足以推翻“总是成立”，却不足以证明“总是成立”。

改写表达式的三条基本规律

代数化简不是把式子“看着改短一点”。每一步改写都需要保证值没有变化。最常用的依据就是交换律、结合律和分配律。

交换律：换位置，结果不变

加法中，两个加数交换位置，和不变：

乘法中，两个因数交换位置，积也不变：

这条规则很适合把容易凑整的数挪到一起。例如：

先把 899 和 101 放到一起：

乘法也一样：

这里先交换、再分组，让 $25\times4$ 先凑成 100。

减法和除法没有交换律。一个反例就够说明问题：

所以你能交换的是“加数”或“因数”，不能看见几个数就随意换位置。

结合律：只改分组，不改顺序

三个数相加时，先算前两个还是先算后两个，结果相同：

三个数相乘也有同样的性质：

结合律改的是括号，也就是运算的分组；它没有改变数的先后顺序。比如心算

可以把后两个数先结合：

减法和除法不满足结合律：

而

两种括号给出了不同结果。除法也是如此：

括号在这里不是装饰。它明确告诉读者，哪个整体要先算。

没有括号时，大家按同一套顺序读

如果每个人都凭感觉给式子加括号，同一个式子可能得到不同结果。为了避免这种情况，我们约定：

1. 先算括号，并从最内层开始。
2. 再算乘方。
3. 然后算乘法和除法；它们同级，从左到右。
4. 最后算加法和减法；它们也同级，从左到右。

例如：

先算括号和乘方，得到

再算乘法：

最后从左到右做加减，结果是 32。

分配律：一个整体可以拆开算

5 个同学每人拿 7 张蓝色卡片和 3 张黄色卡片。一种算法是每人共有 $7+3$ 张，再乘 5：

另一种算法是先算所有蓝色卡片，再算所有黄色卡片：

两种算法数的是同一批卡片，所以得到一般规律：

括号里是差时也一样：

最容易漏的是第二项。比如

不能写成 $3x+4$，因为括号里的 $x$ 和 4 都属于被乘的整体。

括号外是负数时，负号跟着系数一起分配：

最后一项变成正 6，是因为 $(-2)\times(-3)=6$。负数乘法的理由我们下一部分会讲清楚。

分配律也能反着用

从 $a(b+c)=ab+ac$ 的右边回到左边，就是提取公因数：

例如：

这个动作不是“把两个 47 消掉”，而是把两项里共同的因数 47 提出来。原来有 8 份 47 和 2 份 47，合起来就是 10 份 47。

两个和相乘时，要让第一组中的每一项都乘到第二组中的每一项：

你可以把 $(m+n)$ 暂时看成一个整体，先写成

再分别分配一次，就得到四项。这样理解比背“首项乘首项、外项乘外项”更稳，因为以后括号里不只两项时，分配律仍然照常工作。

规则的适用范围比名称更重要

初学时很容易记住几个名称，却把规则用过界。可以用下面三句话检查：

• 交换律只负责交换两个加数或两个因数。
• 结合律只负责改变连续加法或连续乘法的分组。
• 分配律处理的是括号外的乘法与括号内的加减法。

例如 $a(b+c)$ 能展开，是分配律；$(a+b)+c$ 能改成 $a+(b+c)$，是结合律；$a+b$ 能改成 $b+a$，是交换律。把每次动作说清楚，符号就不容易乱。

负号不是一条凭空增加的规则

加负数是在数轴上向左走

把正数理解成向右移动，把负数理解成向左移动，负数加法就很直观。

从 3 出发，加上 $-5$，就是向左走 5 个单位：

从 $-3$ 出发，再加 $-5$，继续向左走 5 个单位：

加上一个数的相反数，等价于减去这个数：

因此减法可以统一看成“加上相反数”。例如：

两个紧挨着的负号并不是被口诀随便“变成了正号”。外面的减号表示“减去”，括号里的负号属于数 $-2$；减去一个负数，就等于加上它的相反数 2。

一个负数乘正数为什么是负数

$5\times(-3)$ 可以看成 5 个 $-3$ 相加：

利用乘法交换律，$(-3)\times5$ 也等于 $-15$。所以一正一负相乘，结果为负。

零乘任何数都等于零。因为

如果从等式两边同时减去 $0\times a$，便得到 $0\times a=0$。

负负得正是为了让分配律继续成立

真正让人卡住的是 $(-3)\times(-5)$。我们不靠“负号有两个所以抵消”的口号，直接用已经接受的规则推一遍。

5 与 $-5$ 互为相反数，所以它们的和是 0：

两边都乘 $-3$，左边使用分配律：

第一项是 $-15$，于是

能与 $-15$ 相加得到 0 的数只有 15，所以

这就是负负得正的来由：如果希望整数仍然服从分配律和相反数的规则，结果只能是正数。

乘法的符号规律可以压缩成一句：同号得正，异号得负。除法沿用同样的符号规律，因为 $a\div b$ 是在找一个数 $q$，使得 $bq=a$。例如

因为 $(-3)\times6=-18$。

负号、减号和括号要分清

负号有时属于一个数，例如 $-4$；有时表示取相反数，例如 $-x$；写在两个式子中间时，才是减法运算。位置不同，工作也不同。

尤其要区分：

和

第一式的平方作用于整个 $-3$，第二式按运算顺序先算 $3^2$，再取相反数。给负数代值时，先加括号是一个很稳的习惯。比如 $x=-3$ 时，$x^2$ 应写成 $(-3)^2$。

分数进入代数以后，规则并没有换

分母先做一件事：排除零

分数

表示 $a\div b$。除数不能为 0，所以必须有 $b\ne0$。这个条件看起来短，却不能省。比如表达式 $\dfrac{1}{x-2}$ 中，$x=2$ 会让分母变成 0，因此不允许取 2。

当字母出现在分母里，先找“哪些值会让分母为 0”，是以后研究有理式和函数定义域时必须养成的习惯。

等值分数来自同时乘同一个非零数

分子、分母同时乘同一个非零数，分数的值不变：

原因很简单：

约分就是把这条规则反过来用。例如：

这里分子、分母同时除以 6，分母里并没有 $x$，所以不能再约。若式子是 $\dfrac{18x}{24x}$，那么上下同时约去 $x$ 之前，必须先说明 $x\ne0$；不能在没有条件时把可能为 0 的因子随手消掉。

比较分数，先看你在比较什么

分母相同的正分数，分子大的更大；分子相同且为正时，分母小的更大。分母不同则可以通分。

比较 $\dfrac{1}{3}$ 和 $\dfrac{2}{7}$：

所以

若两个分母都是正数，还可以交叉相乘。比较 $\dfrac{a}{b}$ 与 $\dfrac{c}{d}$ 时，$b>0$、$d>0$，只需比较 $ad$ 和 $bc$。这是因为把两边同乘正数 $bd$ 不会改变大小方向。

有时“离 1 还差多少”更省力。例如比较

它们都小于 1。前者离 1 差 $\dfrac{1}{10002}$，后者离 1 差 $\dfrac{1}{100002}$。后一个差距更小，所以 $\dfrac{100001}{100002}$ 更大。看到分子比分母只小一点时，这种看法比硬做大数乘法舒服得多。

分数相加为什么必须通分

$\dfrac{1}{2}$ 表示把整体平均分成 2 份后取 1 份，$\dfrac{1}{3}$ 表示分成 3 份后取 1 份。两种“每份”的大小不同，不能直接把份数相加。先把它们都改写成六分之一：

一般地，在 $b\ne0$、$d\ne0$ 时，

减法同理：

常见错误是把分子、分母分别相加：

左边两项都是正数，所以它们的和一定大于其中任何一项；可右边的 $\dfrac{7}{10}$ 夹在 $\dfrac{2}{3}$ 和 $\dfrac{5}{7}$ 之间，连这个最基本的大小检查都过不了。正确结果是

乘法、除法和负号的位置

分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母：

可以先约分，再相乘。例如：

因为 7 与 14 可以先约去因数 7，9 与 12 可以先约去因数 3。

除以一个非零分数，等于乘它的倒数：

这里除了 $b\ne0$、$d\ne0$，还要有 $c\ne0$，因为除数 $\dfrac{c}{d}$ 不能等于 0。

负号可以放在分数前，也可以放到分子或分母中：

分子、分母前的两个负号可以同时消去，分数的值与 $\dfrac{a}{b}$ 相同；它是否为正，还要看 $a$ 与 $b$ 是否同号：

化简与求值：每一步都要保持等价

同类项为什么能够合并

$3x$ 表示 3 个 $x$，$7x$ 表示 7 个 $x$。合在一起就是 10 个 $x$：

这个过程本质上是分配律反着用。能这样合并的项叫做同类项：它们的字母部分必须完全相同，每个字母的指数也必须相同。

$5x^2$ 与 $-2x^2$ 是同类项；$3ab$ 与 $-8ba$ 也是同类项，因为乘法交换律告诉我们 $ba=ab$。但下面这些不能合并：

• $x$ 与 $x^2$，指数不同。
• $2a$ 与 $2b$，字母不同。
• $3ab$ 与 $3a^2b$，$a$ 的指数不同。
• $4x$ 与 4，一个含字母，一个是常数项。

合并同类项只对系数做加减，字母部分原样保留：

这里 $-a$ 的系数是 $-1$，所以 $4a-a=(4-1)a=3a$。

打开括号再归队

化简

可以按一个稳定的顺序处理。

如果括号前是减号，可以先把它看成乘以 $-1$：

展开后得到

求值时先保留结构

已知变量的值，把数代入表达式并计算，叫做求值。例如 $a=-2$、$b=3$，求

直接代入时，把负数放进括号：

按顺序计算：

也可以先认出原式等于 $(a-b)^2$，再代入：

两种做法结果相同。第二种更短，但第一种更适合检查符号。刚开始时不用追求每次都找到巧法，先保证代入和运算顺序可靠。

怎样检查一次化简有没有改坏

化简前后的表达式应该对所有允许值都相等。严格理由来自每一步使用的运算规律；代值检查则能快速抓出许多粗心错误。

例如有人把

化成了 $x-8$。取 $x=0$，原式是 8，所谓结果却是 $-8$，立刻知道出错。重新展开：

代值检查不是证明，但很适合当“烟雾报警器”。建议优先选 $x=0$、$x=1$、$x=-1$ 这类好算的值。

把文字翻译成表达式

先找数量关系，不要急着认关键词

“比 $x$ 多 5”写成 $x+5$；“$x$ 的 4 倍”写成 $4x$。这类短句看起来像关键词配对，但题目一长，只盯关键词就容易把顺序和括号写错。

更稳的做法是先用完整句子说明关系。例如“甲比乙少 10”可以改写成：

如果用 $a$ 表示甲、$b$ 表示乙，那么就是 $a=b-10$。

括号是在保护一个整体

“$a$ 与 $b$ 的和的一半”中，被取一半的是整个和，所以写成

不能写成 $a+\dfrac{b}{2}$，那只把 $b$ 除以 2。

再看“一个数的 3 倍与 4 的和”。设这个数为 $x$，先有 3 倍 $3x$，再加 4，得到 $3x+4$。可“一个数与 4 的和的 3 倍”就不同：先求 $x+4$，再把整个和乘 3，得到 $3(x+4)$。

只多了一个“和的”，结构已经变了。括号负责把这个结构写出来。

减法和除法最怕顺序反掉

“8 与 $x$ 的差”通常表示 $8-x$；“$x$ 与 8 的差”则表示 $x-8$。若题目说“用 8 减去 $x$”，也是 $8-x$。

除法同样要看顺序。“$a$ 除以 $b$”是

“$a$ 除 $b$”在日常语言里容易产生歧义，严谨题目通常会改写得更清楚。自己读题时，可以主动还原成“谁是被除数，谁是除数”。

单位和取值范围能帮你检查

某停车场前 2 小时免费，超过的部分每小时收费 $a$ 元。若停车 $t$ 小时且 $t>2$，费用应为

$t-2$ 的单位是小时，再乘每小时 $a$ 元，结果单位是元，正好符合题意。如果误写成 $at-2$，前一项单位是元，后面的 2 却只是一个没有说明单位的数，两者相减就很可疑。

取值范围也能揭示问题。上式规定 $t>2$；若题目还允许 $t\le2$，就不能用同一条式子直接表示全部情况，因为免费时费用应为 0。这时需要以后会学到的分段表示。

例题：把规则串成一条推理链

例题：用交换律和结合律简算

计算

这里不能写成“加法随便算”。真正允许我们这么做的是：这些量之间全是加法，交换和重新分组都不会改变和。

例题：含两个括号的化简

化简

例题：负数、乘方与运算顺序

当 $x=-2$ 时，计算

若把 $(-2)^2$ 错写成 $-2^2$，第一项就会从 12 变成 $-12$。这道题的难点不在计算量，而在括号是否准确保留了“底数是 $-2$”这件事。

例题：分数表达式的计算

计算

不要一上来给整道式子里的所有分数通分。先看运算顺序，完成乘法后，剩下的减法甚至不需要再找分母。

例题：用字母解释一个“固定答案”

任取一个数，先加 3，把结果乘 2，再减去原来的数，再减 4，最后再减一次原来的数。为什么最后总是得到 2？

这正是字母的价值。如果只试 1、5、100，我们只能看到几个例子都成功；把任意数写成 $x$ 并化简，才解释了为什么每次都会成功。

例题：从文字到表达式再求值

某活动有学生票和成人票。成人票每张 $p$ 元，学生票比成人票便宜 18 元。一个家庭买了 2 张成人票和 3 张学生票。写出总价，并在 $p=60$ 时求值。

自我练习

先自己写，遇到卡点再展开解析。每道题的解析都把依据写出来，不只给最后答案。

基本规律与括号

练习 1：不用竖式，计算 $125\times37\times8$。

练习 2：判断 $(18-6)-2$ 与 $18-(6-2)$ 是否相等，并说明这反映了什么。

练习 3：展开 $(a+b)(x+y)$，并解释为什么有四项。

负数与分数

练习 4：计算 $-3^2+(-3)^2-2(-4)$。

练习 5：计算 $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}$。

练习 6：比较 $\dfrac{999}{1000}$ 与 $\dfrac{9999}{10000}$ 的大小，尽量不做大数乘法。

化简与翻译

练习 7：化简 $5(3x-2)-3(x+4)+1$。

练习 8：某停车场前 2 小时免费，超过 2 小时后，每小时收费 $a$ 元。小林停车 $t$ 小时，且 $t>2$。写出费用；当 $a=6$、$t=5.5$ 时求值。

练习 9：连续三个整数中，最小的一个是 $n$。写出三个整数的和并化简。

练习 10：有人把 $2(x-3)-4(x+1)$ 化简成 $-2x-2$。请判断结果是否正确；若不正确，找出错误并写出正确答案。

把基础动作变成习惯

读一个表达式时，先别急着算。先看最外层结构：它是一个和、一个差、一个积，还是一个分式？再确认括号控制了哪一部分，负号属于哪个数或哪一项，分母有没有可能为 0。

准备改写时，问自己这一步依据什么。换加数或因数的位置，用交换律；只改连续加法或乘法的分组，用结合律；打开括号或提取公因数，用分配律。合并同类项，其实也是分配律的反向应用。

最后做两个检查。第一，代一个简单数，看看化简前后是否一致；第二，回到题意，看看单位、数量范围和括号结构是否合理。这两个检查不能代替推理，却很会抓错。

下一次看到字母时，你可以先把它当成一个有具体含义的位置。弄清它代表什么，剩下的符号就不再是一团密码，而是一句压缩过、但可以一步步展开的人话。