函数概念

学到这里，代数已经从“把一个未知数解出来”慢慢转向另一件更有用的事：描述变化。

前面讲方程时，我们常常在找一个答案。比如“这个数是多少”“哪一段区间满足条件”。可现实里的问题很少这么安静。气温一小时一小时地变，车开得越久路程越长，篮球被投出去后高度先升后降，奶茶店的总价跟杯数一起变。你会发现，真正值得研究的不是某一个孤零零的数，而是“一个量变了，另一个量会怎么跟着变”。

函数就是为这件事准备的语言。

你可以先别把它想得太高冷。函数像一台有脾气但守规矩的机器：你丢进去一个输入，它按照自己的规则处理一下，然后吐出一个输出。机器可以很简单，比如“乘以 2 再加 3”；也可以很复杂，比如“先判断在哪个区间，再选对应公式”。但只要它是函数，就必须遵守一条底线：同一个输入，只能给出一个输出。

这条底线听起来朴素，却是后面所有函数知识的地基。线性函数、二次函数、指数函数、根式函数，说到底都是这台机器换了不同的内部规则。今天先把机器本身看明白。

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函数的定义

想象你在一家奶茶店扫码点单。你点“中杯少冰三分糖”，系统如果一会儿给你乌龙奶茶，一会儿又给你柠檬茶，你肯定会觉得后台坏了。对同一个订单，结果应该是确定的。函数也是这样：同一个输入不能对应两个不同输出。

用数学话说：

一个函数，就是从一个输入集合到一个输出集合的对应规则。它要求定义域中的每一个输入，都恰好对应一个唯一输出。

写成符号就是

$$f: A \to B, \quad \text{对每个 } x \in A，\text{都有唯一的 } f(x) \in B.$$

这里的 $A$ 是所有允许输入的集合，也叫定义域（Domain）；$B$ 是输出可能所在的大集合；$f$ 是那条处理规则；$f(x)$ 是把 $x$ 丢进规则之后得到的结果。

多对一可以，一对多不行

函数定义里最容易误会的是“唯一”这两个字。它说的是：输出对于输入要唯一。它没有说“输入对于输出也必须唯一”。

比如 $f(x)=x^2$。当 $x=2$ 时，$f(2)=4$；当 $x=-2$ 时，。两个不同输入都得到同一个输出，这叫。这完全合法， 当然是函数。

但如果某条规则说“输入 $3$ 可以得到 $5$，也可以得到 $7$”，那就不行。因为同一个输入 $3$ 被分配了两个输出，这叫一对多，直接违反函数定义。

所以我们可以这样记：

• 多个学生可以同一天过生日，这不冲突。
• 但一个学生不能在同一份名单里有两个不同出生日期。

数学里的函数，也是在维护这种“输入身份的唯一记录”。

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函数的四种表示方式

同一个函数，可以用不同方式讲出来。就像同一个故事，可以写成文字、画成图、做成表格、拍成视频。函数常见有四种表达方式：解析式、表格、映射图、图像。

解析式：一句话写出机器规则

解析式就是公式，比如

$$f(x)=2x+3,\quad g(x)=x^2-4,\quad h(x)=\dfrac{1}{x-1}.$$

它的优点是短、准、方便计算。想知道 $f(10)$，把 $10$ 代进去就行。缺点也很明显：光盯着公式，有时候不容易立刻看出它的整体走势。它会一直增加吗？有没有最低点？哪些输入不允许？这些问题常常需要搭配图像或表格一起看。

表格：把几个样本摆在桌面上

表格像是抽样记录。比如 $f(x)=2x+3$ 在几个输入上的输出是：

表格最适合处理实验数据、统计记录和有限个输入。判断表格是不是函数时，不用管输出有没有重复，只看一件事：有没有同一个 $x$ 出现两次，却对应不同的 $f(x)$。如果有，就不是函数；如果没有，就是函数。

映射图：把箭头画出来

映射图会把输入放在左边，输出放在右边，用箭头连接。它几乎是函数定义的可视化版本。

判断映射图很简单：左边每个输入必须恰好发出一条箭头。 左边某个输入发出两条箭头，说明它有两个输出，不是函数。不同输入的箭头指向同一个输出，则完全没问题。

图像：把所有输入输出放到坐标系里

图像会把所有满足关系的点 $(x, f(x))$ 画在坐标平面上。它最有画面感。你一眼能看到函数是上升还是下降，有没有转折，在哪里穿过坐标轴。

但图像也会带来一个新问题：一条曲线到底是不是函数图像？这时就要用到后面的竖线检验。

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定义域与值域

如果函数是一台机器，定义域就是“能放进机器的所有输入”。有些东西不能放，不是因为我们懒得算，而是机器真的处理不了。

比如分母不能为零。你写 $\dfrac{1}{x-2}$，当 $x=2$ 时分母变成 $0$，除法没有意义。再比如根号下不能是负数。你写 $\sqrt{x+1}$，在实数范围内就必须要求 。还有现实情境里的限制：时间不能是负数，人数不能是 个人，长方形边长不能小于等于 。

定义域（Domain）就是所有合法输入组成的集合。值域（Range）则是这些合法输入全部代入后，实际能产生的所有输出。

找定义域：先排雷

在代数 I 里，找定义域最常见的三类雷区是：

• 分母不能为零。 例如 $f(x)=\dfrac{3}{x-5}$，要排除 $x=5$，所以定义域是 $(-\infty,5)\cup(5,+\infty)$。

如果好几个限制同时出现，就取它们的交集。比如

$$h(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}$$

根号要求 $x+3\geq 0$，所以 $x\geq -3$；分母要求 $x-2\neq 0$，所以 $$。合在一起，定义域就是

$$[-3,2)\cup(2,+\infty).$$

找值域：再问机器能吐出什么

定义域问的是“哪些 $x$ 能进去”。值域问的是“所有合法 $x$ 都试过之后，输出会覆盖哪些 $y$”。

这一步比定义域更像侦探工作。比如 $f(x)=x^2$，不管 $x$ 是正数、负数还是 $0$，平方结果都不会小于 $0$，所以值域是 $[0,+\infty)$。而 ，当 取遍全体实数时，输出也能取遍全体实数，值域就是 。

再看 $g(x)=\sqrt{x}$。它的定义域是 $x\geq 0$，输出也永远非负，所以值域是 $[0,+\infty)$。

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竖线检验

如果函数被画成图像，怎么快速判断它是不是函数？拿一条竖线扫过去。

竖线的方程是 $x=a$。它代表“把输入固定为同一个 $a$”。如果这条竖线碰到图像两个点，比如 $(a,y_1)$ 和 $(a,y_2)$，那就说明同一个输入 对应两个输出。函数定义不允许这件事。

所以竖线检验的规则是：

一条图像如果被任何竖线都至多交于一个点，它表示函数；如果存在某条竖线与它交于两个或更多点，它就不是函数图像。

抛物线 $y=x^2$ 能通过竖线检验，因为每个 $x$ 只对应一个 $y$。完整的圆 $x^2+y^2=9$ 就不行，因为当 时，圆上有 和 两个点。可是，如果只取圆的上半部分

$$y=\sqrt{9-x^2},$$

它又能通过检验。这个例子很重要：一个关系本身不是函数，但截取其中某一条单值分支后，可能变成函数。

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函数符号 $f(x)$ 的正确理解

$f(x)$ 不是 $f$ 乘以 $x$

很多人第一次见到 $f(x)$，脑子里会自动读成“$f$ 乘 $x$”。这很正常，因为我们太习惯括号表示乘法了。但在函数里，$f(x)$ 读作“$f$ of $x$”，意思是：把 $x$ 作为输入，交给函数 处理，得到的输出。

$f$ 是机器名字，括号里的 $x$ 是投进去的原料，$f(x)$ 是机器吐出来的结果。

这也是为什么函数符号比单纯写 $y$ 更好用。$y=2x+3$ 和 $f(x)=2x+3$ 表达的是同一条关系，但 $f(x)$ 明确告诉你：这是一个叫 的规则，输入是 ，输出是 。以后同时出现 、、 时，这种命名会让你不容易混乱。

整体代入：括号里的东西是一整包

求函数值时，规则很简单：公式里每一处 $x$，都换成括号里的输入。

设

$$f(x)=3x^2-2x+1.$$

求 $f(4)$，就是把每个 $x$ 都换成 $4$：

$$f(4)=3\cdot4^2-2\cdot4+1=48-8+1=41.$$

如果输入不是一个数，而是一个表达式，比如 $a+2$，那就把每个 $x$ 都换成整个 $(a+2)$：

$$f(a+2)=3(a+2)^2-2(a+2)+1.$$

继续展开：

$$f(a+2)=3a^2+12a+12-2a-4+1=3a^2+10a+9.$$

这里最容易犯的错，是把 $f(a+2)$ 写成 $f(a)+2$ 或 $f(a)+f(2)$。这相当于把“输入”拆开了。函数括号里的东西是一整包，不能随便拆。

分段函数：同一台机器有几个工作模式

有些函数不是一条公式管到底，而是根据输入落在哪个区间，使用不同规则。这叫分段函数（Piecewise Function）。

例如

$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x<0, \\ 2x+1, & 0\leq x\leq 4, \\ 9, & x>4. \end{cases}$$

求分段函数值时，先判断输入属于哪一段，再代入那一段的公式。比如 $x=0$ 属于第二段，因为第二段包含等号；$x=4$ 也属于第二段；$x=4.001$ 才属于第三段。

现实中分段函数很多。快递按重量阶梯收费，打车按里程分段计价，个税按收入区间计算。这些都不是数学家故意把公式写复杂，而是现实规则本来就分段。

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例题

例题 1：映射图判断函数

给定两个映射图。甲的配对是 $1\to5$，$2\to7$，$3\to5$，$4\to9$；乙的配对是 $1\to5$，，，。判断哪个表示函数。

例题 2：表格判断函数与读取定义域、值域

判断下表是否表示函数，并写出定义域和值域。

例题 3：求函数的定义域

求下面两个函数的定义域：

（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x+4}{x^2-9}$

（2）$g(x)=\sqrt{5-2x}$

例题 4：函数符号代入求值

设 $f(x)=x^2-3x+2$，求 $f(-1)$ 和 $f(t+1)$，并说明为什么一般不能把 拆成 。

例题 5：分段函数求值与值域分析

已知

$$f(x)= \begin{cases} -x+4, & x\leq1, \\ x^2-1, & x>1. \end{cases}$$

求 $f(-2)$、$f(1)$、$f(3)$，并写出定义域和值域。

例题 6：从图像读取定义域与值域

某函数图像是一条从点 $(-3,0)$ 到点 $(5,8)$ 的线段，包含两端点。说明它是函数图像，并读出定义域和值域。

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自我练习

练习 1：下列哪种情形构成函数？（甲）一个学生的学号对应他的姓名；（乙）一个人的姓名对应他所有的电话号码；（丙）一个正整数对应它的所有因数。

练习 2：求函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}$ 的定义域。

练习 3：设 $g(x)=2x^2+1$，计算 $g(3)$、$g(-3)$、$g(a-1)$，并说明 说明了什么。

练习 4：已知 $h(x)=\begin{cases}3x+1, & x<0, \\ x^2+2, & x\geq0.\end{cases}$，求 、、，并判断值域是否包含 。

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小结

函数不是又一个新公式，而是一种描述变化关系的语言。它的核心规则很简单：每个合法输入必须对应唯一输出。多对一允许，一对多不允许。

一个函数可以用解析式、表格、映射图和图像来表示。解析式方便计算，表格适合看样本，映射图适合检查箭头，图像适合观察整体走势。定义域告诉我们哪些输入能用，值域告诉我们这些输入实际能产生哪些输出。

图像形式下，竖线检验把“唯一输出”变成了肉眼可见的规则：一条竖线如果能碰到两个点，就说明同一个输入有两个输出。函数符号 $f(x)$ 则要理解为“把 $x$ 整体代入函数 $f$ 后的输出”，不是乘法，也不能随便拆分。

把这些基础习惯练熟，后面遇到线性函数、二次函数、指数函数时，你只是换了一台机器的内部规则；判断框架仍然是同一套。