指数与指数函数

假设一只培养皿里的细菌每小时都变成原来的 $2$ 倍。开始时有 $1$ 个，过一小时是 $2$ 个，再过一小时是 $4$ 个，然后是 $8$ 个、$16$ 个……

前几步看着不算夸张。可到了第 $20$ 个小时，数量已经变成 $2^{20}$，也就是 $1\,048\,576$。真正推动数量变大的，不是“每次多几个”，而是“每次乘几倍”。

指数就是记录这种重复乘法的语言。

这一章不准备让你背一页公式。我们会先看数值怎样一步步变化，再问：为了让同一套运算规则始终成立，零指数、负指数和分数指数应该是什么意思？地基搭好以后，指数函数、等比模型和指数方程就会自然接上。

幂在记录什么

先看一串普通乘法：

四个 $3$ 连乘，可以压缩成：

一般地，当 $n$ 是正整数时，

这里的 $a$ 叫底数，$n$ 叫指数，整个 $a^n$ 叫 $a$ 的 $n$ 次幂。

别小看这三个名字。以后做题时，先认清底数是谁、指数管到哪里，能避开一半的符号错误。

指数为正整数时的几个边界

• $a^1=a$，一个因子没有必要重复写。
• 当 $n$ 是正整数时，$0^n=0$。
• $a^2$ 常读作“$a$ 的平方”，$a^3$ 常读作“$a$ 的立方”。
• 指数表示因子的个数，不表示拿底数去乘指数。比如 $5^3=5\times5\times5=125$，不是 $5\times3$。

负号到底在不在底数里

比较下面两个式子：

第一个式子里，括号把 $-2$ 整体圈成了底数：

第二个式子没有括号。按照运算顺序，要先算幂，再处理前面的负号：

如果指数是奇数，负底数的幂是负数；如果指数是偶数，负底数的幂是正数。这里说的“负底数”，必须真的写成 $(-a)^n$。

指数律从重复乘法里长出来

指数律看起来有好几条，其实每一条都在整理因子。先从正整数指数出发，最容易看出它们为什么成立。

同底数的幂相乘

$a^m$ 里有 $m$ 个 $a$，$a^n$ 里有 $n$ 个 $a$。把两组因子接起来，一共就是 $m+n$ 个 $a$。

例如：

注意，能直接相加的是同底数幂的指数。$2^3\cdot3^4$ 的底数不同，不能写成 $6^7$。

同底数的幂相除

当 $a\neq0$ 时，

分子和分母里的相同因子可以一对一约去。比如：

条件 $a\neq0$ 不能省，因为分母中的 $a^n$ 不能等于 $0$。

幂的幂

括号里每组有 $m$ 个 $a$，这样的组重复 $n$ 次，总因子数是 $m\times n$。

这里是指数相乘，不是相加。$(a^3)^4$ 和 $a^3\cdot a^4$ 长得有点像，运算却完全不同。

积与商的幂

当 $b\neq0$ 时，

这是因为每一份括号里都有一个 $a$ 和一个 $b$。重复 $n$ 次后，$a$ 出现 $n$ 次，$b$ 也出现 $n$ 次。

适用条件要跟着公式一起记

正整数指数只是在数因子，底数通常可以是任意实数。可一旦出现除法或负指数，底数就不能为 $0$。到了分数指数，为了让所有指数律在实数范围内安稳地工作，我们通常先要求底数为正。

一个综合化简

设 $a\neq0$，化简：

零指数和负指数不是凭空规定的

先把 $2$ 的幂顺着写下来：

指数每减少 $1$，数值就除以 $2$。如果继续保持这个节奏：

这条数值链已经在暗示零指数和负指数应该怎样定义。

为什么非零数的零次幂等于 1

当 $a\neq0$ 时，同一个数除以自己等于 $1$：

另一方面，按照同底相除的规则：

为了让这两种算法给出同一个结果，只能定义：

条件必须留下。$0^0$ 在基础代数里不定义，不能把上面的结论硬套给它。

为什么负指数表示倒数

还是让同底相除的规则继续成立：

由于 $a^0=1$，左边就是 $1/a^n$，所以：

负指数说的是“取倒数”，不是“答案变成负数”。

而

把负指数移过分数线

负指数因子从分子移到分母，或者从分母移到分子，指数会变成正数：

这不是“负号搬家”的口诀，而是倒数定义的直接结果：

分数指数把幂和根连在一起

整数指数已经能记录“乘多少次”，但像 $4^{1/2}$、$8^{1/3}$ 这样的写法又是什么意思？

我们仍然让幂的幂规则保持成立。假设 $a>0$，希望：

能满足这个条件的正数，正是 $a$ 的 $n$ 次算术根。因此定义：

于是：

更一般地，若 $m$ 是整数、$n$ 是正整数，并且 $a>0$，则：

分母 $n$ 告诉你“开几次根”，分子 $m$ 告诉你“取几次幂”。

先开根还是先乘方

例如：

可以先开立方根，再平方：

也可以先平方，再开立方根。对正底数来说，两条路结果相同。实际计算时，通常先开根能让数字小一些。

负的分数指数

先处理负号带来的倒数，再处理分数带来的根：

为什么常把底数限制为正

在实数范围内，$\sqrt{-4}$ 没有实数值，所以 $(-4)^{1/2}$ 不能当作实数。负数的奇次根虽然存在，例如 $\sqrt[3]{-8}=-2$，但若任意使用不同形式的分数指数，很容易遇到定义不一致的问题。

因此，在建立通用的指数函数和完整的指数律时，我们采用最稳妥的条件：

在这个条件下，任意有理指数都能一致定义。把指数继续扩展到无理数时，也仍然能得到唯一的正数值；这一层的严格构造留到后续课程。

科学记数法是在管理数量级

写 $300\,000\,000$ 不算难，可零一多就容易看错。科学记数法把非零数写成：

其中：

$c$ 决定有效数字，$10^k$ 决定数量级。

例如：

原数的小数点向左移动了 $6$ 位，所以指数是 $6$。

要把 $5.2$ 还原成原数，小数点需要向左移动 $5$ 位，所以指数是 $-5$。

乘除：系数与数量级分开算

除法也一样：

加减：先把十的幂统一

不能直接把系数和指数各自相加。先统一数量级：

所以：

计算器上的“E”也是同一种写法。屏幕显示“6.02E23”，意思是 $6.02\times10^{23}$，不是再乘一个叫 $E$ 的变量。

当指数变成变量

前面计算的 $2^5$、$10^{-3}$，指数都是固定的。现在把底数固定，让指数 $x$ 自己变化：

当

时，我们把它叫作指数函数。

为什么底数要为正？因为我们希望每一个实数 $x$ 都能代入。正底数能让整数、分数乃至无理指数接成一条连续的数值链。

为什么通常排除 $a=1$？因为 $1^x$ 永远等于 $1$，它是一条常数函数，不表现指数增长或衰减。当然，式子 $1^x$ 本身有意义，只是不列入通常所说的指数函数家族。

所有指数函数都认得同一个点

无论底数是哪一个正数：

所以所有指数函数都经过：

而且 $a^x$ 始终是正数，因此图像不会碰到或穿过 $x$ 轴。

底数大于 1：越走越高

以 $f(x)=2^x$ 为例，$x$ 每增加 $1$，函数值就乘以 $2$：

所以当 $a>1$ 时，$a^x$ 在整个实数范围内单调递增。

底数在 0 和 1 之间：越走越低

以 $g(x)=\left(\frac12\right)^x$ 为例，$x$ 每增加 $1$，函数值就乘以 $\frac12$。因此它单调递减。

同时：

把 $2^x$ 中的 $x$ 换成 $-x$，图像会关于 $y$ 轴翻折。这就是两条曲线互为镜像的原因。

指数函数的共同性质可以收在一起：

• 定义域是全体实数。
• 值域是 $(0,+\infty)$。
• 图像经过 $(0,1)$。
• $y=0$ 是水平渐近线，曲线可以无限靠近，却不会到达。
• $a>1$ 时单调递增；$0<a<1$ 时单调递减。

别把指数函数和幂函数混在一起

是指数函数，因为变量在指数上。

是幂函数，因为变量在底数上。两者都出现了“次方”，可变化机制完全不同。

等比数列：把每一步乘同一因子写出来

看两串数：

第一串每次乘 $2$，第二串每次乘 $\frac12$。像这样，从第二项开始，每一项都是前一项乘同一个常数，这样的数列叫等比数列。这个固定常数叫公比，常记作 $q$。

用递推式写就是：

如果首项是 $u_1$，且 $q\neq0$，第 $n$ 项为：

指数是 $n-1$，因为从第 $1$ 项走到第 $n$ 项，只经历了 $n-1$ 次乘法。

若 $q=0$，递推定义仍然说得通：从第二项开始全部为 $0$。若 $q<0$，各项的正负号会交替出现。等比数列不一定只会“越来越大”或“越来越小”。

等比数列的前 n 项和

设：

把等式两边乘以 $q$：

两式相减，中间的项会成批抵消：

因此，当 $q\neq1$ 时：

如果 $q=1$，每一项都等于 $u_1$，不能套上面那个分母为 $0$ 的公式，而应直接写：

无穷等比和为什么要看公比

考虑：

项数虽然不断增加，但新加的每一项越来越小。前 $n$ 项和为：

当 $n$ 越来越大时，$\left(\frac12\right)^n$ 越来越接近 $0$，所以前 $n$ 项和越来越接近 $2$。

一般地，只有当

时，$q^n$ 才会趋近 $0$，无穷等比级数才有有限的和：

若 $|q|\geq1$，不能套这个无穷和公式。比如 $1+2+4+8+\cdots$ 会不断增大；$1-1+1-1+\cdots$ 的部分和会来回跳动。

增长与衰减模型

指数模型的识别信号很简单：经过相同时间，数量总是乘同一个因子。

设初始量为 $N_0$，每个周期乘以 $q$。经过 $t$ 个周期后：

当 $t$ 只取 $0,1,2,\ldots$ 时，它就是一串等比数列；当情境允许把时间看成连续量，并且 $q>0$、$q\neq1$ 时，它对应真正的指数增长或衰减函数。若 $q=1$，数量始终等于 $N_0$，得到的是常数模型。

按百分比增长

如果每个周期增长率为 $r$，新的数量等于原数量的 $1+r$ 倍：

例如初始有 $500$ 个细菌，每小时增长 $40\%$，增长因子是 $1.4$：

三小时后：

按百分比衰减

如果每个周期减少率为 $r$，每次保留原来的 $1-r$：

“减少 $20\%$”的衰减因子是 $0.8$，不是 $0.2$。$0.2$ 是丢掉的比例，$0.8$ 才是下一期真正留下来的比例。

半衰期

如果某个量每经过 $T$ 个时间单位就减为一半，那么：

$t/T$ 表示一共经历了多少个半衰期。比如经过 $3T$，就连续减半三次，剩下：

指数方程先从统一底数入手

未知数出现在指数上的方程，叫指数方程。基础阶段最常用的方法不是展开，而是寻找共同底数。

例如：

$4$ 和 $8$ 都能写成 $2$ 的幂：

于是：

因为 $2^x$ 是严格递增的，同一个函数不可能让两个不同指数得到相同值，所以：

同底化的完整检查

有时可以把一个幂当作整体

解方程：

注意 $4^x=(2^x)^2$。令：

因为 $2^x>0$，所以 $u>0$。原方程变成：

于是 $u=1$ 或 $u=4$。再换回去：

所以原方程有两个解：

有些方程能立刻判断无解

因为 $2^x$ 对任何实数 $x$ 都大于 $0$，所以：

在实数范围内没有解。

如果两边找不到共同底数，也不能把指数直接“拿下来”。这类题以后可以用对数处理；在还没学对数之前，先停在“不能用同底化精确求解”这个判断上，比编一条不存在的规则更重要。

综合例题

例题：含负指数的式子

设 $x,y\neq0$，化简：

例题：分数指数

计算：

例题：科学记数法

计算并写成规范科学记数法：

例题：有限等比和

求：

这是首项 $u_1=3$、公比 $q=2$、共 $10$ 项的等比和：

别把末项的指数 $9$ 当成项数。第一项是 $3\cdot2^0$，所以从 $0$ 数到 $9$，一共有 $10$ 项。

例题：无穷等比和

求：

公比是：

因为 $|q|<1$，可以使用无穷等比和：

例题：半衰期模型

某物质初始质量为 $160\,\text{g}$，每 $6$ 小时减半。$18$ 小时后还剩多少？

经过的半衰期个数是：

因此：

常见坑逐个拆开

把乘法规则误用到加法

错误：

指数相加只适用于同底数幂相乘。这里是加法，只能算成：

把幂的幂算成指数相加

错误：

正确的是：

把负指数看成负数

错误：

正确的是：

忘了零底数的限制

$0^5=0$ 没问题，但 $0^{-2}$ 意味着 $1/0^2$，没有定义；$0^0$ 也不能用 $a^0=1$ 直接处理。

百分比模型选错因子

增长 $15\%$ 的因子是 $1.15$；减少 $15\%$ 的因子是 $0.85$。指数模型里放的是“下一期保留下来的倍数”，不是百分数本身。

无穷和忘记检查公比

看到省略号不代表一定有和。先算 $q$，只有 $|q|<1$ 才能写 $u_1/(1-q)$。

同底数还没统一就令指数相等

从 $2^{x}=3^{x}$ 不能直接得到“$x=x$，所以任意实数都行”。底数不同，令指数相等没有意义。这个方程实际只有 $x=0$。

自我练习

练习 1：不使用计算器，比较 $(-2)^6$、$-2^6$ 和 $(-2)^5$ 的值。

练习 2：设 $a,b\neq0$，化简：

练习 3：计算：

练习 4：把 $0.000000708$ 写成科学记数法，并说明指数为什么是负数。

练习 5：判断下列说法是否正确：函数 $y=(1/3)^x$ 经过 $(0,1)$，随 $x$ 增大而减小，并且会在某个有限的 $x$ 处等于 $0$。

练习 6：等比数列首项为 $5$，公比为 $-2$。求第 $5$ 项与前 $5$ 项和。

练习 7：判断下面的无穷等比级数是否有有限的和；若有，求出它。

练习 8：一批药物初始含量为 $240\,\text{mg}$，每小时保留原来的 $75\%$。写出 $t$ 小时后的模型，并求 $4$ 小时后的含量。

练习 9：解方程：

练习 10：解方程：

学完后请抓住这条主线

指数从来不是孤零零写在右上角的小数字。正整数指数在数重复因子；零指数和负指数让同一套运算规则继续成立；分数指数再把幂与根接在一起。

科学记数法用 $10$ 的幂整理数量级。指数函数把“每次乘同一因子”画成曲线，等比数列则把同一件事按一步一步的离散时刻列出来。有限等比和与无穷等比和的公式看着相似，真正决定能不能用的是公比条件。

做题时可以一直问三个问题：

1. 底数究竟是谁，括号管到哪里？
2. 当前运算满足哪条指数律，它的条件有没有满足？
3. 这个情境是每次加同样多，还是每次乘同一倍数？

这三问答得清楚，指数运算、指数函数和指数模型就不会各学各的。