方程组

有些数学题，一开始看起来像在问一个数，其实是在问两件事能不能同时成立。

比如你和朋友小明一起存钱。你手里先有 100 元，以后每周存 20 元；小明从 0 元开始，但每周存 30 元。你们什么时候钱一样多？

如果只看你自己，这是一条规则：$y = 20x + 100$。如果只看小明，也是一条规则：$y = 30x$。可题目真正想问的是：有没有某一个 $x$，能让这两条规则给出同一个 $y$？

这就是方程组的味道。它不像单个方程那样只检查一个条件，而是把几个条件放在同一张桌子上，说：答案必须同时让它们都点头。

方程组最重要的一句话可以先记住：

一个方程是一条线，两个方程是在找这些线的公共点。

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方程组到底在问什么

线性方程组，就是把两个或更多线性方程联立起来，找一组数，让所有方程同时成立。

最常见的二元一次方程组长这样：

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

这里 $x$ 和 $y$ 是两个未知数。所谓方程组的解，不是随便让其中一个方程成立就行，而是一对数 $(x,y)$，代进每一个方程都成立。

这点特别关键。只满足第一个方程的点有很多，只满足第二个方程的点也有很多，但两个方程都满意的点，才是方程组真正要找的答案。

从图像上看，每个二元一次方程都是坐标平面里的一条直线。方程组就是问：这些直线有没有共同的地方？

有时它们会交在一个点。有时它们平行，怎么延长都不碰。有时它们其实是同一条线，重合在一起。后面我们会把这三种情况拆开说。

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图解法：先把答案看出来

解方程组最直观的方法，是把两个方程都画出来，然后找交点。这叫图解法（Graphing Method）。

它的优点很明显：你一眼就知道答案大概在哪里，也能看出两条线是相交、平行还是重合。它的缺点也很明显：如果交点不是整数格点，手画图基本读不准。

所以图解法更像是“先把故事拍成照片”。它不一定负责精确计算，但负责让你知道自己在算什么。

回到开头那个存钱问题：

$$\text{你的存款}: y = 20x + 100$$ $$\text{小明的存款}: y = 30x$$

你一开始领先 100 元，但每周只增加 20 元。小明一开始没有钱，但每周增加 30 元。一个起跑早，一个跑得快。两条线迟早会碰面。

图上交点是 $(10,300)$。意思是第 10 周时，你们的钱都是 300 元。

代回去验算一下：

$$20 \times 10 + 100 = 300$$ $$30 \times 10 = 300$$

两边都对，所以 $(10,300)$ 就是这个方程组的解。

图解法最想让你形成的直觉是：解不是从天上掉下来的，它就是两条规则共同承认的那个点。

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代入法：把一个未知数换掉

如果图解法像看地图，那么代入法（Substitution Method）就像做替换。

它的思路很朴素：既然一个方程已经告诉你 $y$ 等于什么，那就把另一个方程里的 $y$ 全部换成这个表达式。这样两个未知数的问题，就会变成一个未知数的问题。

比如下面这个方程组：

$$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 11 \end{cases}$$

第一个方程已经把 $y$ 单独写好了。那我们就把第二个方程里的 $y$ 换成 $3x-4$：

$$2x + (3x - 4) = 11$$

这一下，题目里只剩 $x$。解出 $x$ 后，再回去求 $y$。

代入法适合什么情况？很简单：当你看到某个方程已经写成 $x = \cdots$ 或 $y = \cdots$，或者某个未知数的系数是 $1$ 或 $-1$，代入通常会很舒服。

代入法的完整流程可以这样记：

1. 先用一个方程把某个未知数单独表示出来。
2. 把这个表达式代入另一个方程。
3. 解出剩下的那个未知数。
4. 代回去求另一个未知数。
5. 把结果代回两个原方程验算。

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消元法：让一个未知数自己消失

消元法（Elimination Method）的想法和代入法不一样。

代入法是“替换掉一个未知数”。消元法是“设计一场相遇，让一个未知数正好抵消”。

比如：

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$$

你会发现第一行有 $+2y$，第二行有 $-2y$。两行一加，$y$ 就没了：

$$(x+2y)+(3x-2y)=7+5$$ $$4x=12$$

于是 $x=3$，再代回去就能求出 $y=2$。

如果系数还没有互为相反数，就先给某个方程乘一个倍数。目标是把某个未知数的系数变成一正一负、大小相同。

比如一个方程里有 $4x$，另一个方程里有 $6x$。想消去 $x$，可以把它们都变成 $12x$ 的大小：一个变成 $12x$，另一个变成 $-12x$。这个时候再相加，$x$ 就退场了。

代入法和消元法没有高低之分。真正会做题的人，通常先扫一眼系数：

• 已经有 $x=\cdots$ 或 $y=\cdots$，优先想代入法。
• 某个未知数的系数正好相同或相反，优先想消元法。
• 两边系数都很别扭，就选能少出分数的那条路。

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解的三种情况

方程组不一定永远给出一个点。两条直线放在平面上，只有三种关系。

第一种，相交。斜率不同，两条线会在某处碰一下。这个时候方程组有唯一解。

第二种，平行。斜率相同，截距不同，两条线一直保持距离。这个时候方程组无解。

第三种，重合。两个方程看起来不一样，但其实描述的是同一条线。这个时候直线上的每个点都是解，所以有无穷多解。

代数上也有对应信号。

如果正常算出 $x$ 和 $y$，就是唯一解。

如果算着算着，两个未知数都消失了，最后出现类似

$$0 = 4$$

这种不可能成立的句子，就是无解。

如果最后出现

$$0 = 0$$

这种永远成立的句子，就是无穷多解。

用表格收一下：

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现实里为什么会用到方程组

方程组最有价值的地方，不是让你多背一种解题格式，而是它很适合处理“两个条件同时成立”的现实问题。

混合问题：总量一条线，总价一条线

比如咖啡馆要把 A 豆和 B 豆混在一起。A 豆 8 元/100 g，B 豆 12 元/100 g。老板想配出 500 g，均价 9 元/100 g。

这里不是只有一个条件。

总量要对：

$$x+y=500$$

总价也要对：

$$8x+12y=4500$$

为什么是 $4500$？因为价格单位是“每 100 g”，写成不带小数的形式时，相当于把两边都按同一单位放大了。你也可以先写成 $\dfrac{8x+12y}{500}=9$，再整理。

速度问题：顺流和逆流各说一句话

一条船在静水中的速度是 $v$，水流速度是 $u$。

顺流时，水帮它一把，所以速度是 $v+u$。

逆流时，水拖它一下，所以速度是 $v-u$。

如果题目告诉你顺流速度和逆流速度，其实就是给了两条方程。把它们联立，就能把船速和水速分开。

盈亏平衡：成本线和收入线在哪里相遇

做小生意也一样。成本函数 $C(x)$ 和收入函数 $R(x)$ 都可以看成线。

当

$$C(x)=R(x)$$

时，赚的钱刚好覆盖成本，这个点叫盈亏平衡点。它不是玄学判断，而是两条线的交点。

这类题的通用套路是：先别急着算，先问自己“题目给了哪两个必须同时满足的条件”。条件找对了，方程组基本就搭起来了。

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例题

例题 1：代入法

解方程组：

$$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 11 \end{cases}$$

例题 2：直接消元

解方程组：

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$$

例题 3：需要先乘倍数

解方程组：

$$\begin{cases} 4x + 3y = 5 \\ 6x - 5y = -2 \end{cases}$$

例题 4：判断解的类型

判断方程组的解的类型：

$$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases}$$

例题 5：混合问题

某咖啡馆将单价 8 元/100 g 的 A 豆与单价 12 元/100 g 的 B 豆混合，想配出 500 g、均价 9 元/100 g 的混合豆。应各取多少克？

例题 6：盈亏平衡

某小摊每件产品的可变成本为 3 元，每天固定成本为 150 元，每件产品售价 8 元。求盈亏平衡的日销量；如果每天至少想赚 100 元，又要卖多少件？

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自我练习

练习 1：用代入法解方程组 $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + 3y = 14 \end{cases}$，并验算。

练习 2：判断方程组 $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$ 的解的类型，写出几何解释。

练习 3：用消元法解 $\begin{cases} 3x + 5y = 7 \\ 2x - 3y = 11 \end{cases}$，要求消去 $x$，并验算。

练习 4：一条船顺流行驶 2 小时走了 36 km，逆流行驶 3 小时走了 27 km。求船在静水中的速度和水流速度，并解释两个方程各自表达了什么。

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小结

方程组其实是在处理“多个条件同时成立”的问题。一个线性方程是一条直线，两个线性方程联立，就是在找两条直线的公共点。

图解法帮你看见交点在哪里；代入法通过替换，把二元问题变成一元问题；消元法通过倍乘和相加，让一个未知数直接消失。

最后记住三种结局：

• 算出确定的 $(x,y)$，就是唯一解。
• 出现 $0=\text{非零数}$，就是无解。
• 出现 $0=0$，就是无穷多解。

以后看到文字题，不妨先问一句：这里到底有哪两个条件必须同时成立？这个问题问对了，方程组就已经搭起一半了。