多项式运算
先说一个很真实的场景。
你刚学完指数法则，感觉自己终于摸到一点代数的门了。x2⋅x3=x5，(x2)3=x6，这些都还算顺手。
结果下一页突然冒出来：
4x3−7x2+2x−9
很多同学会卡一下：这不是一个幂了，这是一串。它看起来像把几种不同规格的零件混在一起，还带正负号。
这串东西就叫多项式。
如果只有一项，比如 5x2，叫单项式。两项叫二项式，三项叫三项式。再多一点也不用纠结名字，统一当多项式处理就行。
多项式运算的核心，其实没有想象中那么玄。你只要记住一条主线：先认清每一项，再按同类项整理，乘法靠分配律，除法按长除法的节奏走。
这章我们就按这个顺序来：先看结构，再做加减，再做乘法，最后看特殊公式和除法。
先认人：项、系数、次数
多项式最像什么？
我觉得像一张账单。账单里有好几行，每一行都有金额、类别和正负。多项式也是这样，每一小段叫一个项。
比如：
P(x)=4x3−7x2+2x−9
它有四项：
- 4x3
- −7x2
- 2x
- −9
每一项前面的数字叫系数。注意，负号要一起带走，所以 −7x2 的系数是 −7，不是 7。
变量上面的指数叫这一项的次数。4x3 是三次项，−7x2 是二次项，2x 没写指数，默认是一次项。常数 −9 可以看成 −9，所以次数是 。
整个多项式的次数，看最高的那一项。这里最高是 3，所以 P(x) 是三次多项式。
还有一个书写习惯，建议一开始就养成：按次数从高到低写。
也就是写成：
6x4−x3+5x−11
不要把项随手乱放。现在看只是整齐，后面做竖式加减和长除法时，这个习惯会直接救命。
如果某一次缺项，比如没有 x2 项，心里也要给它留一个位置。必要时写成 0x2。这不是多此一举，是为了防止后面列竖式时错位。
判断一个式子是不是多项式，要看变量的指数是不是非负整数。x1、x1/2、x 都不属于这里讨论的多项式。
加减法：把同款放回同一堆
多项式加减法，听起来像一个新章节，其实就两件事：
- 去括号。
- 合并同类项。
同类项的标准很严格：变量一样，指数也一样。
3x2 和 5x2 是同类项，因为它们都是 x2 的若干份。
3x2 和 3x3 不是同类项。系数一样没用，次数不同。
2xy 和 2x 也不是同类项。变量结构不一样。
所以加法像整理桌面，把同款东西放在一起：
(3x2−2x+7)+(x2+5x−4)
先去括号：
3x2−2x+7+x2+5x−4
再合并：
4x2+3x+3
减法最容易出错。因为括号前面的减号不是只影响第一项，而是要分给括号里的每一项。
比如：
(5x2+3x−1)−(2x2−4x+6)
第二个括号整体被减掉，所以里面每一项都要变号：
5x2+3x−1−2x2+4x−6
合并后得到：
3x2+7x−7
这里的坑很固定：只改了第一项的符号，后面忘了改。最稳的办法就是先把括号完整展开，不要急着心算。
当项很多时，可以像加减整数那样竖着列：
同次数对同次数，缺项补 0 占位。只要列对了，加减本身并不难。
乘法：每一项都要乘到
多项式乘法的底层规则只有一个：分配律。
你可以把它想成握手。左边括号里的每一项，都要和右边括号里的每一项握一次手。漏握一次，答案就少一项。
单项式乘多项式
先看最简单的：
3x2(2x3−4x+1)
3x2 要分别乘进括号里的三项：
3x2⋅2x3=6x5
3x2⋅(−4x)=−12x3
3x2⋅1=3x2
所以：
3x2(2x3−4x+1)=6x5−
系数相乘，指数相加。这里用到的还是上一章的指数法则。
二项式乘二项式：FOIL 只是顺序表
(x+3)(x−5) 这种题，常用一个英文口诀 FOIL：
- First：首项乘首项
- Outer：外侧乘外侧
- Inner：内侧乘内侧
- Last：末项乘末项
它不是新法则，只是提醒你别漏项。
以 (x+3)(x−5) 为例：
x⋅x=x2
x⋅(−5)=−5x
3⋅x=3x
3⋅(−5)=−15
合并中间两项：
x2−5x+3x−15=x2−2x−15
多项式乘多项式：回到分配律
如果括号里不止两项，FOIL 就不够用了。
比如：
(x2+2x−1)(x−3)
把第一个括号里的每一项分别乘到第二个括号：
=x2(x−3)+2x(x−3)+(−1)(x−3)
展开：
=x3−3x2+2x2−6x−x
合并同类项：
=x3−x2−7x+3
一个快速检查方法：结果的最高次数，通常应该等于两个因式最高次数之和。这里是 2+1=3，结果确实是三次。这个检查不能保证全对，但能很快发现指数算错。
特殊乘积公式：不是背答案，是认剧情
有些乘法反复出现。每次都从头 FOIL 也行，但太慢。
所以我们把这些固定形状记下来。
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
记法很简单：首平方，末平方，中间是两者乘积的两倍。
最常见的错误是把 (a+b)2 写成 a2+b2。这相当于把中间的 2ab 整个漏掉。
比如：
(3x+4)2
这里 a=3x，b=4：
(3x)2+2(3x)(4)+42=9x2
平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
为什么中间没了？
因为展开时有一个 +ab，也有一个 −ab，它们刚好抵消。
所以见到两个括号长得一样，只是中间符号相反，就要想到平方差。
比如：
(x2+1)(x2−1)=x4−1
这里的 a 是 x2，不是 x。
三次方公式也可以提前见一下：(a+b)3=a3+3a2b+，。系数 来自杨辉三角。考试不一定高频，但理解这个模式，对以后展开更复杂的式子很有帮助。
除法：长除法那套老节奏
多项式除法看起来压迫感很强，但本质上就是小学长除法换了对象。
整数长除法怎么做？
除、乘、减、拉下。
多项式长除法也一样。
长除法怎么走
先把被除式和除式按降幂排列。缺项补 0。
然后重复四步：
- 用当前最高次项除以除式最高次项，得到商的一项。
- 用这一项乘回整个除式。
- 做减法。
- 把下一项拉下来。
一直做到余式次数低于除式次数为止。
比如：
(2x3+3x2−8x+3)÷(x+3)
三轮之后余式为 0，商是：
2x2−3x+1
所以：
2x3+3x2−8x+3=(x+3)(
长除法一定要验算。
验算方式很直接：把“除式 × 商 + 余式”展开，看看能不能回到被除式。
如果余式是 0，说明除式是被除式的一个因式。后面做因式分解时，这个信号非常重要。
综合除法：只在特定情况好用
当除式是 x−a 这种形式时，可以用综合除法。
它把长除法压缩成一行系数表。变量先不写，只看系数怎么传递。
比如：
(x3−2x2+4x−5)÷(x−1)
这里 a=1，系数写成：
1, −2, 4, −5
操作后得到商：
x2−x+3
余数：
−2
所以：
x3−2x2+4x−5=(x−1)(x
综合除法快，但前提很窄：除式必须是 x−a，首项系数必须是 1。不符合这个形状，就回到长除法。
例题
例题 1：多项式加减混合
化简并按 x 降幂排列：
(6x3−2x2+x−4)−(3x
先去括号。第二个括号前面是减号，所以里面每一项都要变号：
6x3−2x2+x例题 2：FOIL 乘法与完全平方公式组合
展开并化简：
(2x−1)(3x+4)−(x+2)2
先展开第一部分：
(2x−1)(3x+4)=6x例题 3：特殊乘积公式的识别
不逐项展开，直接用公式：
(1) (4x−3y)2
(2) (x2+5)(x2−5)
(3) (a+2b)2+(a−2b)2
第 (1) 题是差的平方。a=4x，b=3y：
(4x例题 4：多项式长除法
用长除法计算，并写出恒等式形式：
(3x3−5x2+2x+1)÷(x
第一轮看最高次项：
3x3÷x2=3x用 3x 乘回除式：
自我练习
练习 1：化简：
(4x2−3x+1)−(x2+2x−5
第二个括号前面是减号，展开为 −x2−2x+5。原式变成 4x2−3x+。合并同类项： 项为 ， 项为 ，常数项为 ，所以结果是 。
练习 2：展开化简：
(3x−2)2−(3x+2)(3x−2)
第一部分：(3x−2)2=9x2−12x+4。第二部分是平方差：。相减得 。
练习 3：验证 (x−2) 是否是 x3−3x2+4 的因式。若是，请写出完全分解。
用综合除法，a=2，系数是 1,−3,0,4，注意 x 项缺失要补 0。结果余数为 0，说明 是因式，商是 。继续分解：。所以完全分解为 。
练习 4：用长除法计算，并写出恒等式形式：
(2x3+x2−3x+5)÷(x2
第一轮：2x3÷x2=2x，乘回得 2x3+2x，相减后余 。第二轮：，乘回得 ，相减后余 。商是 ，余式是 。恒等式为 。
小结
多项式运算说到底不是一堆零散技巧，而是一条很清楚的整理路线。
加减法：去括号，盯紧符号，再合并同类项。
乘法：分配律打底，每一项都要乘到。FOIL 和特殊公式只是常见形状的快捷方式。
除法：按长除法的节奏走，除、乘、减、拉下，最后用“被除式 = 除式 × 商 + 余式”验算。
把这些练熟，后面的因式分解、有理表达式、方程求解都会轻很多。因为很多复杂题拆到最后，仍然是在问：你能不能把多项式这串“账单”整理清楚。