根式函数与分式方程

根式函数和分式方程看起来属于两块内容：一个研究图像，一个研究方程。它们真正相通的地方，是都要求我们先问一句：这个式子什么时候有意义？

平方根要求根号内不能为负，分母要求不能为零。只要这个前提被忽略，后面的代数计算就可能给出看似漂亮、实际不能用的答案。本章会把根式函数的定义域和值域、根式方程的平方步骤、分式方程的共同分母，以及实际问题中的可行解放在同一条思路下处理。

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根式函数从允许输入开始

根式函数是含有形如 $\sqrt[n]{g(x)}$ 的函数，其中变量出现在根号内。讨论它以前，先看根指数 $n$ 是偶数还是奇数。

当 $n$ 是偶数时，根号内必须非负。在实数范围内，$\sqrt{x-3}$ 要有意义，就必须有 $x-3 \ge 0$。当 $n$ 是奇数时，根号内可以是任意实数，因为负数也有实数立方根，例如 $\sqrt[3]{-8}=-2$。

对母函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 来说，输入从 $0$ 开始，输出也从 $0$ 开始：

$$\text{定义域 } [0,\infty),\qquad \text{值域 } [0,\infty)$$

对母函数 $g(x)=\sqrt[3]{x}$ 来说，任意实数都能开立方，输出也能覆盖全部实数：

$$\text{定义域 } (-\infty,\infty),\qquad \text{值域 } (-\infty,\infty)$$

这两个母函数决定了后面所有变换的底色。平方根图像有一个端点，立方根图像没有端点；平方根输出从一侧开始，立方根会穿过整个坐标平面。

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图像特征与定义域值域

平方根函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 的图像经过 $(0,0)$、$(1,1)$、、。它增长得越来越慢，因为让输出增加 ，输入需要从 到 ，再到 ，再到 ，间隔越来越大。

立方根函数 $g(x)=\sqrt[3]{x}$ 经过 $(-8,-2)$、、、、。它在原点附近比较陡，向左右两侧逐渐变平。它是奇函数，图像关于原点对称。

判断根式函数的定义域时，不要先画图猜。先从式子本身写出限制，再用图像解释这些限制为什么合理。

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从母函数到变换图像

平方根函数的常见变换可以写成：

$$y=a\sqrt{x-h}+k$$

其中 $(h,k)$ 是图像的端点。因为根号内要求 $x-h \ge 0$，所以定义域是：

$$x \ge h$$

如果 $a>0$，图像从端点向右上方延伸，值域是 $y \ge k$。如果 $a<0$，图像从端点向右下方延伸，值域是 $y \le k$。

例如：

$$y=-2\sqrt{x+3}+5$$

根号内要求 $x+3 \ge 0$，所以定义域是 $[-3,\infty)$。端点是 $(-3,5)$，由于系数 $-2$ 为负，图像向右下方延伸，所以值域是 $(-\mathrm{\infty },$。

立方根函数的常见变换可以写成：

$$y=a\sqrt[3]{x-h}+k$$

立方根对根号内没有非负限制，所以定义域仍是全体实数。只要 $a \ne 0$，值域也仍是全体实数。点 $(h,k)$ 不再是端点，而是整条曲线的中心转折位置。

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根式方程为什么必须验根

根式方程是含有根式的方程，例如：

$$\sqrt{x+6}=x$$

为了去掉平方根，我们常常会把两边平方。问题是，两边平方会保留原方程的解，但也可能引入原来不满足方程的数。

原因可以写成一句话：

$$A=B \Longrightarrow A^2=B^2$$

但反过来不一定成立：

$$A^2=B^2 \Longrightarrow A=B \text{ 或 } A=-B$$

平方之后的方程可能同时接纳了原来的方程和“符号相反”的情况。因此，平方得到的只是候选解。候选解必须代回原方程检查，不能只代回平方后的方程。

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解平方根方程的四步

解含平方根的方程，可以采用稳定的四步：写限制、孤立根式、平方求候选、代回验根。

以 $\sqrt{x+6}=x$ 为例。

因此原方程的解是：

$$x=3$$

如果方程中有多个根式，一般每次只孤立一个根式，再平方一次。平方后若仍有根式，就再次孤立、再次平方。每一次平方都可能扩大候选范围，所以最后仍要回到原方程检查。

例如：

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=2$$

先把一个根式移到另一边：

$$\sqrt{x+5}=\sqrt{x-1}+2$$

两边平方：

$$x+5=x-1+4\sqrt{x-1}+4$$

整理：

$$2=4\sqrt{x-1}$$

再平方或直接解得：

$$\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}$$ $$x=\frac{5}{4}$$

代回原方程：

$$\sqrt{\frac{5}{4}+5}-\sqrt{\frac{5}{4}-1} =\sqrt{\frac{25}{4}}-\sqrt{\frac{1}{4}} =\frac{5}{2}-\frac{1}{2} =2$$

所以 $x=\frac{5}{4}$ 是原方程的解。

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分式方程先写限制条件

分式方程是含有分式表达式的方程，例如：

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+2}=1$$

分式方程的第一步不是清分母，而是写出让每个分母不为零的限制。对上面的方程，必须有：

$$x \ne 0,\qquad x \ne -2$$

这两个数从一开始就不在原方程的定义域中。后面即使清分母后的方程算出了它们，也必须舍去。

分式方程的增根常常来自“同乘含变量的共同分母”。如果共同分母在某个候选值处等于 $0$，那么这一乘法在原方程里并没有合法意义。

一个极短的例子是：

$$\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}$$

限制条件是 $x \ne 2$。若直接同乘 $x-2$，会得到 $x=2$。但 $x=2$ 会让原方程分母为 $$，所以原方程没有解。

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共同分母清分母

当限制条件写好后，就可以找最小公分母或合适的共同分母，把方程化为整式方程。

仍以这个方程为例：

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+2}=1$$

限制条件是 $x \ne 0$ 且 $x \ne -2$。共同分母可以取 $x(x+2)$。两边同乘：

$$x(x+2)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+2}\right)=x(x+2)$$

约去分母：

$$x+2+2x=x^2+2x$$

整理：

$$x^2-x-2=0$$

因式分解：

$$(x-2)(x+1)=0$$

候选值是 $x=2$ 和 $x=-1$。它们都没有触碰限制条件，所以都是原方程的解。

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实际问题中的可行解

分式方程在实际问题中常出现在“速度、时间、效率”这些关系里。因为时间常写成 $\frac{\text{路程}}{\text{速度}}$，工作量常写成 $\text{效率}\times \text{时间}$，分母自然会出现变量。

例如，一个人上坡走 $10$ km，下坡走同一段 $10$ km。下坡速度比上坡速度快 $5$ km/h，总时间为 $3$ h。设上坡速度为 $v$ km/h，则：

$$\frac{10}{v}+\frac{10}{v+5}=3$$

这里不仅有代数限制 $v \ne 0$、$v \ne -5$，还有实际限制 $v>0$。

两边同乘 $v(v+5)$：

$$10(v+5)+10v=3v(v+5)$$

整理：

$$3v^2-5v-50=0$$

因式分解：

$$(3v+10)(v-5)=0$$

候选值是：

$$v=-\frac{10}{3}\quad \text{或}\quad v=5$$

速度不能为负，所以 $v=-\frac{10}{3}$ 不符合实际意义。可行解是 $v=5$，也就是上坡速度为 $5$ km/h，下坡速度为 $10$ km/h。代回检查：

$$\frac{10}{5}+\frac{10}{10}=2+1=3$$

实际问题的最后一句不能只写“解得 $v=5$”。要说明这个解满足限制条件，并且符合题目语境。

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常见误区与自检

根式函数和分式方程的错误往往不是复杂计算造成的，而是前提条件被跳过。

常见误区包括：

1. 看到平方根函数就忘记根号内必须非负。
2. 把 $\sqrt{x^2}$ 写成 $x$，但在实数范围内应为 $|x|$。
3. 两边平方后不验根，只检查平方后的方程。
4. 解分式方程时先清分母，最后忘记排除使原分母为 $$ 的值。

可以用下面的自检顺序收尾：

1. 原式什么时候有意义？
2. 我做过平方、清分母或其他可能扩大解集的操作吗？
3. 候选值有没有触碰定义域限制？
4. 候选值代回原方程是否成立？
5. 如果题目有现实语境，这个数在现实中可行吗？

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练习

1. 求函数 $f(x)=\sqrt{2x-6}$ 的定义域和值域。

2. 求函数 $g(x)=-3\sqrt{x+4}+2$ 的定义域和值域。

3. 求函数 $h(x)=2\sqrt[3]{x-1}-5$ 的定义域和值域。

4. 解方程 $\sqrt{x+10}=x+2$。

5. 解方程 $\sqrt{x+2}=x$。

6. 解方程 $\frac{3}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$。

7. 解方程 $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=1$。

8. 一台机器单独完成任务需要 $6$ 小时，另一台机器单独完成同一任务需要 $8$ 小时。两台一起工作需要多少小时？