第9章 焦耳定律与电热综合

冬天用电暖器，几分钟就能感到热；电水壶接通电源后，壶里的水逐渐沸腾；电脑运行时间长了，机身也会发热，却要靠散热孔和风扇把热量带走。同样是“通电后发热”，有的热量正是我们想要的，有的热量却会降低效率，甚至带来危险。

还有一个更值得追问的问题：电热器内部的电热丝会红热，连接它的导线却通常只是微微变暖。两处明明通过同一电流，为什么发热情况不同？如果换成更大的电流，热量会怎样变化？仅凭“功率大所以热”还不够，我们需要从实验中找出电热由哪些因素决定。

电流通过导体时，能量去了哪里

电流通过导体时，导体会发热，这种现象叫作电流的热效应。电炉丝发红、电热毯升温是明显的热效应；白炽灯丝亮起时也会产生大量热；手机充电器工作一段时间后温度略有升高，同样说明电流经过内部元件时产生了热量。

从能量角度看，导体发热不是凭空“生出热”。电流做功，电能转化为内能。若研究电水壶，电热元件先产生热，再把能量传给水、壶体和周围空气；若研究电动机，电能主要用来带动机械转动，同时也有一部分转化为内能。因此，“通电”并不保证所有电能都转化为热，必须先看用电器的工作目的和能量去向。

先想一想：两根外形相同的电阻丝，一根只通电 10 s，另一根通电 1 min，能否立刻断定第二根放热更多？还不能。通电时间只是影响因素之一，若两根电阻丝的电阻和电流不同，只比较时间就不公平。要找规律，实验中每次只能重点改变一个因素。

把“热量多少”变成可观察的现象

电流产生的热量看不见，怎样比较？一种常见装置是在两个相同的密闭容器中放入电阻丝，容器内装有等量空气并连接细管。电阻丝发热后，空气受热膨胀，推动液柱移动。液柱移动越明显，说明在相同条件下空气温度升高越多，也就间接说明电阻丝产生的热量越多。也可以用温度传感器记录等量液体或空气的温升。这里用到的是转换法：把不便直接测量的热量，转换成容易观察的温升或液柱变化。

为了研究电阻的影响，可以把两根电阻不同的电阻丝串联。串联电路中各处电流相等，同时接通、同时断开，又保证通电时间相同。这样，电流和时间被控制相同，只有电阻不同。若电阻较大的那一侧液柱移动更多，就说明在电流和通电时间相同时，电阻越大，产生的热量越多。

研究电流的影响时，应让电阻和通电时间相同，只改变通过电阻的电流。可以对同一电阻进行两次实验，每次都从相同初温开始，分别调节为不同电流并通电相同时间；也可以用经过合理设计的电路同时比较。观察会发现，电流较大时温升更明显，而且这种影响比简单的“增大一点”更强。

研究时间最直接：保持同一电阻中的电流不变，记录不同通电时刻的温升。在散热影响较小的时间范围内，通电越久，产生的热量越多。于是实验把三个猜想逐一变成了有条件的结论：电热与电流、电阻和通电时间都有关系。

下面的实验台可以把两组参数并排改变。先预测哪组温升更明显，再运行；若一次改了不止一个待研究因素，工具会提醒为什么这组数据不能直接说明单一关系。

真实实验还要留意误差。电阻丝产生的热量不会全部留在被测物质中，容器也会吸热，环境还会带走一部分热量。通电太久，两组与环境的温差不同，散热差异会变大。因此实验比较的是在装置和环境尽量相同、散热影响较小的条件下的趋势，不能把液柱格数直接当成热量的精确数值。

读实验数据时，也不能只挑一组“看起来符合”的结果。假设保持 $R=5\ \Omega$、$t=60\ \text{s}$，依次让电流为 0.5 A、1.0 A、1.5 A，按焦耳定律计算出的热量分别为 75 J、300 J、675 J。电流之比为 1:2:3，热量之比却为 1:4:9，正好对应电流平方之比。若实测温升没有严格等于这个比值，先检查散热、初温和测量误差，不能因此把“趋势不完全整齐”直接说成规律错误。多测几组数据，是为了寻找普遍关系，也能减少偶然现象造成的误判。

焦耳定律把三种影响写进一个式子

大量实验表明：电流通过导体产生的热量，跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。这个规律叫作焦耳定律：

$Q=I^2Rt$

式中，Q 表示电流产生的热量，单位是焦耳（J）；I 表示电流，单位是安培（A）；R 表示电阻，单位是欧姆（Ω）；t 表示通电时间，单位是秒（s）。把数据代入公式前要先统一单位，例如 3 min 必须换成 180 s。

公式中的“二次方”很关键。在电阻和时间相同时，电流变为原来的 2 倍，电热不是 2 倍，而是 4 倍；电流变为原来的 3 倍，电热就是 9 倍。在电流和时间相同时，电阻变为原来的 2 倍，电热才变为 2 倍；在电流和电阻相同时，时间变为原来的几倍，电热也变为原来的几倍。

还要区分“产生热量”和“产生热量的快慢”。$Q$ 是一段时间内累计的热量，时间越长通常越大；电热功率表示每秒产生多少热量。由焦耳定律可得 $P_{热}=Q/t=I^2R$。同一电阻在不同电流下工作，电热功率越大，升温通常越快；但最终温度还取决于工作时间、物体的质量和比热容以及散热情况。功率较大不等于任何时刻温度一定更高，比较温度时不能忘记这些条件。

例1：电阻丝产生多少热量

一根电阻为 10 Ω 的电阻丝，通过的电流为 2 A，通电 3 min。求电阻丝产生的热量。

先别急着记比例，试着回答：电流增加 10%，电热也只增加 10% 吗？设原电流为 $I$，新电流为 $1.1I$，在其余条件相同时，新电热是原来的 $(1.1)^2=1.21$ 倍，即增加 21%。过载或短路主要使电路中的电流过大，电流的平方效应会让导线发热显著增加；接头接触不良则主要使局部接触电阻增大，同一电流通过接头时，局部 $I^2R$ 热功率增大，因而容易形成过热点。

三个公式看似都能算，使用条件却不同

上一章已经知道，电流做功可写成 $W=UIt$，电功率可写成 $P=UI$。对于电热器、电炉丝等主要把电能转化为内能的纯电阻用电器，可以认为电流做的功全部转化为热量，因此：

$Q=W=UIt=Pt$

再利用欧姆定律，还可以得到：

$Q=I^2Rt=\frac{U^2}{R}t$

这些式子不是几条互不相干的新规律，而是纯电阻电路中同一能量关系的不同写法。题目给出 I、R、t 时，$I^2Rt$ 最直接；给出 U、I、t 时，可用 $UIt$；给出额定功率和正常工作时间时，可用 $Pt$；给出 U、R、t 时，可用 $U^2t/R$。

但焦耳定律 $Q=I^2Rt$ 对所有导体都适用。电风扇、电动机等工作时，电能还会转化为机械能，不能把总电功 $UIt$ 全部当成电热；此时若只求线圈产生的热量，仍应使用 $I^2Rt$。初中阶段只需分清这条边界，不展开电动机内部的复杂计算。

另一个常见困惑是：有时说电阻越大发热越多，有时又说电阻越小发热越多，究竟哪句对？关键在于谁保持不变。若电流相同，$Q=I^2Rt$ 表明 $Q$ 随 $R$ 增大；若电压相同，$Q=U^2t/R$ 表明 $Q$ 随 $R$ 减小而增大。没有说明电路连接和不变量，单独说“电阻大就更热”或“电阻小就更热”都不完整。

公式选择工作台会把“是否纯电阻”“已知哪些量”“哪个量保持不变”放在一起判断。先选适用关系，再进行计算，比看到数字就套公式更可靠。

电热器为什么“该热的地方热”

电饭锅、电熨斗、电暖器的核心部件是电热元件。常见电热丝由电阻率较大、熔点较高、耐高温的合金制成。连接电热丝的导线通常用电阻率较小的铜制成，并有足够的横截面积。电热丝和导线串联时电流相同，根据 $Q=I^2Rt$，相同时间内电阻较大的电热丝产生更多热量，而电阻很小的连接导线产生热量较少。这样，热量集中在需要加热的位置。

电热的利用远不只“烧水”。电热孵化、电烘干、电热切割、熔断保护都利用了电流的热效应。不过，电热器也要控制温度。温控器在达到设定温度后切断或减小电流；绝缘层、隔热层和防烫外壳把高温部位与人隔开；铭牌和插座的额定参数保证装置在允许范围内工作。

不需要的电热则要尽量减少或及时散去。输电线选用电阻较小且粗细合适的导线，是为了减小线路发热；电脑、电源适配器等设置散热片、散热孔或风扇，是为了加快散热；接线处必须牢固，因为接触不良会使局部电阻增大，可能形成过热点。散热孔被衣物遮挡、多个大功率用电器挤在同一插线板上，都可能让温度异常升高。

在下面的安全诊断中，不只要选出“危险”，还要说明它改变了电流、电阻、通电时间或散热条件中的哪一项。能说出因果链，才算真正理解电热防护。

串、并联中的电热比较

电热综合题看似公式很多，真正起点仍是电路关系。两个纯电阻串联时，通过它们的电流相同，通电时间也相同，所以：

$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_1}{R_2}$

电阻较大的电阻产生的热量较多。两个纯电阻并联时，两端电压相同，通电时间相同，所以：

$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_2}{R_1}$

这时电阻较小的支路产生的热量较多。两条结论方向相反，并不矛盾：串联抓住“同电流”，并联抓住“同电压”。

如果求整个电路在一段时间内产生的总热量，可以分别求各电阻的热量再相加。串联时 $Q_{总}=I^2(R_1+R_2)t$，这与把串联总电阻代入焦耳定律相同；并联时 $Q_{总}=U^2t/R_1+U^2t/R_2$，也与先求总功率再乘时间相同。这里的“总”指题目所选电路范围，若只问其中一个电阻，就不能把全电路消耗的电能都记到它身上。画一个方框圈定研究范围，常能避免这类对象混乱。

例2：串联电阻的放热

电阻 $R_1=10\ \Omega$、$R_2=20\ \Omega$ 串联在 6 V 电源两端，通电 5 min。求两电阻产生的热量。

交互电路会在串联和并联之间切换，同时显示电流、电压、功率与累计热量。切换后先看哪个量相同，再预测哪只电阻更热。

电能、吸热与效率连成一条线

电热器产生的热量不一定全部被目标物体吸收。加热水时，水吸收的热量为：

$Q_{吸}=cm(t_2-t_1)$

用电器消耗的电能可由 $W=Pt$、$W=UIt$ 或电能表读数求出。若用电器是纯电阻电热器，电热元件产生的热量等于消耗的电能，但水只吸收其中一部分，其余能量会被壶体和周围环境吸收。因此加热效率为：

$\eta=\frac{Q_{吸}}{W}\times100\%$

例3：电水壶的加热效率

一只 1000 W 的电水壶正常工作 420 s，把 1.5 kg 的水从 20 ℃ 加热到 70 ℃。取水的比热容为 $4.2\times10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C})$，求水吸收的热量和加热效率。

水吸收的热量为 $Q_{吸}=cm\Delta t=4.2\times10^3\times1.5\times(70-20)\ \text{J}=3.15\times10^5\ \text{J}$。电水壶消耗的电能为 $W=Pt=1000\times420\ \text{J}=4.2\times10^5\ \text{J}$，所以 $\eta=Q_{吸}/W=75\%$。剩余能量不是“消失了”，而是主要被壶体和环境吸收。

如果亲自测量加热效率，应先测水的质量和初温，再让电热器在规定状态下工作并计时，最后迅速读出末温。若实验使用浸入式电热器，应使允许加热的部分完全浸入水中，但接线部位不能进水；实验前后还应保持装置和环境条件尽量一致。效率不可能大于 100%。若算出超过 100%，通常是质量单位没有化成千克、温差算成了末温、工作时间单位错误，或把有用能量与总能量的位置颠倒了。减少散热、加盖保温可以提高水吸收能量所占的比例，却不会让能量凭空增加。

到这里再看中考中的电热综合题，常见考查才有了落点：实验题看控制变量和转换法；比例题先认串、并联；计算题先分清总电功、导体产生的热量和目标物体吸收的热量；生活题则要写出“什么量怎样变化，所以电热怎样变化”的因果关系。公式可以有多种写法，物理过程只有一条清楚的能量线索。

课后练习