牛顿定律与力学基础

物体为什么会运动？推力、拉力、重力……这些力如何决定物体的运动状态？牛顿在17世纪提出的三条定律，将“力”与“运动”之间的关系用精确的语言表达出来，奠定了经典力学的完整体系。理解这三条定律，并掌握如何分析一个物体所受到的各种力、列写运动方程，是整个力学学习的核心基础。

牛顿第一定律与惯性参考系

一辆行驶中的汽车突然刹车，车内的人会向前倾。这个现象并非有一股力把人向前推，而是因为人的身体“抵抗”速度改变——这种性质叫作惯性。

牛顿第一定律（惯性定律）指出：任何物体在不受外力（或所受合外力为零）的情况下，将保持静止或匀速直线运动状态不变。

这条定律包含两层意思。第一，物体有维持原有运动状态的倾向；第二，要改变物体的运动状态，必须施加净力。

惯性参考系

牛顿定律只在特定的参考系中成立。一个相对于“遥远星系”（可近似认为是绝对静止的背景）做匀速直线运动的参考系，称为惯性参考系（inertial frame of reference）。在匀速行驶的火车上，物理定律与地面完全等价；但在加速的电梯中，人会感受到“多余的力”，此时这个参考系不再是惯性系。

地球表面因地球自转有微小加速度，严格来说并非理想惯性系，但在大多数日常问题中，以地面为惯性系引入的误差完全可以忽略不计。

牛顿第二定律

牛顿第二定律是力学中最核心的方程。它将合外力、质量与加速度联系起来：

$\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$

其中 $\vec{F}_{\text{合}}$ 是物体所受所有力的矢量合力，$m$ 是物体的质量，$\vec{a}$ 是加速度。质量越大，产生相同加速度所需的力越大——质量是惯性大小的量度。

在分量形式下，各方向相互独立：

$F_x = ma_x,\quad F_y = ma_y,\quad F_z = ma_z$

例 1　一个质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体，受到合外力 $\vec{F} = 6\hat{i} + 4\hat{j}\,\text{N}$，求加速度。

$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j}}{2} = 3\hat{i} + 2\hat{j}\,\text{m/s}^2$

加速度大小为 $|\vec{a}| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3.6\,\text{m/s}^2$，方向由 确定。

例 2　一辆质量 $m = 1000\,\text{kg}$ 的汽车，从静止出发在 $5\,\text{s}$ 内达到速度 $20\,\text{m/s}$，求驱动力（忽略阻力）。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{5} = 4\,\text{m/s}^2$

$F = ma = 1000 \times 4 = 4000\,\text{N}$

牛顿第三定律

当你用手压桌面，桌面同时也在压你的手——这是牛顿第三定律的直接体验。

牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：两个物体之间的相互作用力，大小相等、方向相反、作用在不同物体上。若物体 A 对物体 B 施加力 $\vec{F}_{AB}$，则 B 对 A 施加力 $\vec{F}_{BA}$，满足：

$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$

一个关键点容易混淆：作用力与反作用力作用在不同物体上，因此不能合并为“一对平衡力”。

例 3　一个人（质量 $60\,\text{kg}$）站在体重秤上，体重秤示数是多少？用牛顿第三定律分析。

人受两个力：重力 $G = mg = 60 \times 10 = 600\,\text{N}$（向下）和支持力 $N$（向上）。人处于静止，合力为零：

$N - G = 0 \implies N = 600\,\text{N}$

由牛顿第三定律，人对体重秤的压力等于体重秤对人的支持力（大小相同，方向相反），即 $600\,\text{N}$。体重秤示数为 $60\,\text{kg}$（换算自 $600\,\text{N}$）。

常见力的模型

重力与万有引力

地球附近的物体都受到地球的引力。在地面附近，重力可以近似为常力：

$\vec{G} = m\vec{g}$

其中 $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$，方向竖直向下。在更大尺度的问题中，引力遵循牛顿万有引力定律：

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

其中 $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\text{N}{\cdot}\text{m}^2/\text{kg}^2$ 是引力常数，$r$ 是两物体质心间的距离。地面处的 就是地球对单位质量物体的引力加速度：

$g = \frac{GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2} \approx 9.8\,\text{m/s}^2$

弹力与胡克定律

弹簧（或弹性体）在被拉伸或压缩时会产生恢复力，称为弹力。在弹性限度内，弹力大小与形变量成正比，方向与形变方向相反：

$F = -kx$

其中 $k$ 是弹簧的劲度系数（弹簧常数），单位为 $\text{N/m}$；$x$ 是相对于自然长度的形变量，负号表示恢复力与位移方向相反。

摩擦力

两个接触面之间阻碍相对运动（或相对运动趋势）的力称为摩擦力。

静摩擦力：物体有运动趋势但尚未运动时，静摩擦力阻止运动发生。其大小随外力增大而增大，直到达到最大静摩擦力 $f_{s,\max}$：

$f_{s,\max} = \mu_s N$

动摩擦力：物体已在运动时，动摩擦力大小近似为：

$f_k = \mu_k N$

其中 $N$ 是法向力（接触面垂直方向的支持力），$\mu_s$ 和 $\mu_k$ 分别是静摩擦系数和动摩擦系数，通常 $\mu_s > \mu_k$。

张力与法向力

• 张力（绳子拉力）：轻质绳子（不可伸长、质量忽略）两端的张力大小相等。绳子只能拉不能推，张力沿绳子方向指向绳子内部。

• 法向力（支持力）：物体放在支撑面上时，支撑面垂直于接触面向物体施加的力。法向力方向始终垂直于接触面，与接触面平行的分量不是法向力。

例 4　一个质量 $m = 3\,\text{kg}$ 的物体放在倾角 $\theta = 30°$ 的光滑斜面上（不计摩擦），求法向力 $N$ 和沿斜面向下的加速度 $a$。

建立坐标系：沿斜面方向为 $x$（向下为正），垂直斜面方向为 $y$（向外为正）。

$y$ 方向（无加速度）：

$N - mg\cos 30° = 0 \implies N = mg\cos 30° = 3 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 26\,\text{N}$

$x$ 方向：

$mg\sin 30° = ma \implies a = g\sin 30° = 10 \times 0.5 = 5\,\text{m/s}^2$

受力分析与方程建立

受力分析（自由体图）是将研究对象从周围环境“隔离”出来，画出作用在该物体上的所有力，再列写牛顿第二定律方程。

基本步骤如下：

例 5　一个质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的木箱放在水平地面上，用水平绳拉动它，绳的拉力 $T = 20\,\text{N}$，动摩擦系数 $\mu_k = 0.3$，求木箱的加速度（取 $$）。

受力分析：重力 $G = mg = 50\,\text{N}$（向下），法向力 $N$（向上），拉力 $T = 20\,\text{N}$（向右），摩擦力 $f_k$（向左）。

竖直方向（无加速度）：$N = G = 50\,\text{N}$

摩擦力：$f_k = \mu_k N = 0.3 \times 50 = 15\,\text{N}$

水平方向：

$T - f_k = ma \implies 20 - 15 = 5a \implies a = 1\,\text{m/s}^2$

木箱以 $1\,\text{m/s}^2$ 的加速度向右加速。

简谐运动初步

将一个物体连接在弹簧上，拉开一段距离后释放。弹力 $F = -kx$ 始终指向平衡位置，物体在平衡位置附近来回振动，这种运动称为简谐运动（simple harmonic motion，SHM）。

将胡克定律代入牛顿第二定律：

$m\ddot{x} = -kx$

$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$

令 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$，方程变为 $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$，其解为：

$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$

其中 $A$ 是振幅（最大位移），$\omega_0$ 是固有角频率，$\phi$ 是初相位（由初始条件决定）。振动的周期为：

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

例 6　劲度系数 $k = 100\,\text{N/m}$ 的弹簧连接质量 $m = 0.25\,\text{kg}$ 的小球，将小球从平衡位置拉开 $0.1\,\text{m}$ 后由静止释放，求振动角频率、周期及最大速度。

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.25}} = \sqrt{400} = 20\,\text{rad/s}$

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.31\,\text{s}$

振幅 $A = 0.1\,\text{m}$，最大速度出现在平衡位置：

$v_{\max} = A\omega_0 = 0.1 \times 20 = 2\,\text{m/s}$

SI单位制与量纲检验

物理计算的结果必须有正确的单位。国际单位制（SI）以七个基本量为基础，力学中常用的三个基本量及其单位为：

由基本量导出的常用单位：

量纲检验是一种快速验证公式是否可能正确的方法。若方程两侧量纲不一致，则公式一定有误。

以弹簧周期公式 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ 为例，检验量纲：

$[T] = \sqrt{\frac{[m]}{[k]}} = \sqrt{\frac{\text{kg}}{\text{N/m}}} = \sqrt{\frac{\text{kg}}{\text{kg/s}^2}} = \sqrt{\text{s}^2} = \text{s}$

结果量纲为时间，与周期一致，验证通过。

练习题

选择题

题目一（牛顿第一定律）

下列说法正确的是：

A. 物体静止就说明它不受任何力的作用

B. 物体受到合外力不为零，一定处于运动状态

C. 匀速直线运动的物体，其合外力一定为零

D. 运动的物体必然受到合外力的作用

题目二（摩擦力方向）

一个人用力向前推一辆车，人脚与地面之间摩擦力的方向是：

A. 向前

B. 向后

C. 竖直向下

D. 无摩擦力

题目三（弹簧系统）

一弹簧的劲度系数 $k = 400\,\text{N/m}$，连接质量 $m = 1\,\text{kg}$ 的物体做简谐振动，振动周期最接近：

A. $0.05\,\text{s}$

B. $0.16\,\text{s}$

C. $0.31\,\text{s}$

D. $0.63\,\text{s}$

题目四（受力分析）

质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体放在水平面上，受到水平拉力 $F = 10\,\text{N}$，动摩擦系数 $\mu_k = 0.2$，取 $g=10$，物体的加速度为：

A. $1\,\text{m/s}^2$

B. $3\,\text{m/s}^2$

C. $5\,\text{m/s}^2$

D. $7\,\text{m/s}^2$

计算题

题目五（连接体问题）

两个物体通过轻质绳子连接，物体 A 的质量 $m_A = 3\,\text{kg}$，放在光滑水平桌面上；物体 B 的质量 $m_B = 1\,\text{kg}$，通过绳子绕过桌边的光滑滑轮悬挂在空中（取 $g=10{\text{m/s}}^{}$）。

（1）求整个系统的加速度 $a$；

（2）求绳子中的张力 $T$。

题目六（斜面摩擦问题）

一个质量 $m = 4\,\text{kg}$ 的物体放在倾角 $\theta = 30°$ 的斜面上，静摩擦系数 $\mu_s = 0.6$，动摩擦系数 $\mu_k = 0.4$，取 。

（1）判断物体是否会在斜面上滑动；

（2）若物体滑动，求其加速度大小；

（3）用量纲检验公式 $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$ 的量纲是否正确。

$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{20} = \frac{6.28}{20} \approx 0.31\,\text{s}$

知识点：弹簧振动周期 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$，与振幅无关，只与质量和劲度系数有关。

水平方向：$F - f_k = ma$

$a = \frac{F - f_k}{m} = \frac{10 - 4}{2} = 3\,\text{m/s}^2$

知识点：受力分析时先求法向力，再求摩擦力，最后用牛顿第二定律列方程。

$a = \frac{m_B g}{m_A + m_B} = \frac{1 \times 10}{3 + 1} = \frac{10}{4} = 2.5\,\text{m/s}^2$

（2）单独对物体 A 列方程（水平方向，合力为张力 $T$）：

$T = m_A a = 3 \times 2.5 = 7.5\,\text{N}$

验证：对物体 B 列方程（竖直方向，合力为重力减张力）：

$m_B g - T = m_B a \implies 10 - 7.5 = 1 \times 2.5 = 2.5\,\text{N}$ ✓

最大静摩擦力 $f_{s,\max} = \mu_s N = 0.6 \times 34.6 \approx 20.8\,\text{N}$。

重力沿斜面分量（$20\,\text{N}$）略小于最大静摩擦力（$20.8\,\text{N}$），物体不会滑动，静摩擦力提供恰好 $20\,\text{N}$ 保持平衡。

（2）若题目改为 $\mu_s = 0.4$（使其滑动），则：

$f_{s,\max} = 0.4 \times 34.6 \approx 13.8\,\text{N} < 20\,\text{N}$，物体滑动。

动摩擦力 $f_k = \mu_k N = 0.4 \times 34.6 \approx 13.8\,\text{N}$

沿斜面方向（向下为正）：

$ma = mg\sin 30° - f_k = 20 - 13.8 = 6.2\,\text{N}$

$a = \frac{6.2}{4} = 1.55\,\text{m/s}^2$

（3）量纲检验：

$[g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)] = \left[\text{m/s}^2\right] \times 1 = \text{m/s}^2 = [a]$

两侧量纲相同（加速度），公式量纲正确。