动量与质心

动量把“质量”与“速度”结合在一起，用一个矢量描述物体运动的强弱。当多个物体相互作用时，单独分析每一个物体往往相当繁琐，而从动量的视角出发，可以将整个系统看作一个整体——质心的运动只取决于外力，内部粒子之间复杂的交互作用全部消除。这种从整体着眼的思维方式，在碰撞、爆炸、火箭推进等实际问题中尤为有效。

动量的定义

对于质量为 $m$、速度为 $\vec{v}$ 的质点，定义其线动量（简称动量）为：

$\vec{p} = m\vec{v}$

动量是矢量，方向与速度方向相同，SI 单位为 $\text{kg}\cdot\text{m/s}$（等价于 $\text{N}\cdot\text{s}$）。

将牛顿第二定律 $\vec{F} = m\vec{a}$ 用动量改写：

$\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

这是牛顿第二定律更一般的表述：合外力等于动量对时间的变化率。在质量不变的情况下，这与 $\vec{F} = m\vec{a}$ 完全等价；但当质量随时间改变（如火箭喷气）时，必须用 $\vec{F}$ 这种形式。

下面对比了几个常见物体的动量大小，直观感受动量的量级：

子弹质量极小却有相当大的动量，是因为速度很高；汽车质量大，高速行驶时动量惊人，这正是高速碰撞破坏力极强的原因。

冲量与动量定理

力作用在物体上，经过一段时间 $\Delta t$，物体的动量发生变化。定义力在时间上的累积效果为冲量：

$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt$

若力为恒力，则 $\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t$。冲量的单位为 $$，与动量单位相同。

对牛顿第二定律 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ 在时间 上积分，得到：

$\vec{I} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$

即：合外力的冲量等于物体动量的变化量。

例 1　一个质量 $m = 0.15\,\text{kg}$ 的棒球以 $v_0 = 40\,\text{m/s}$ 的速度水平飞来，被球棒击打后以 $v = 50\,\text{m/s}$ 沿相反方向飞出，接触时间 ，求球棒对棒球的平均力。

取棒球初始运动方向为正方向，初动量 $p_1 = 0.15 \times 40 = 6\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$，末动量 $p_2 = 0.15 \times (-50) = -7.5\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$（方向已反转）。

动量变化：

$\Delta p = p_2 - p_1 = -7.5 - 6 = -13.5\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$

平均力：

$\bar{F} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-13.5}{0.002} = -6750\,\text{N}$

力的大小为 $6750\,\text{N}$，方向与棒球初速度方向相反（球棒向反方向击打球）。

例 2　动量定理是安全气囊设计的物理依据。汽车碰撞时，乘客头部（约 $5\,\text{kg}$）从 $15\,\text{m/s}$ 减速至零，动量变化相同（$75\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$），但作用时间不同：

气囊将作用时间延长 20 倍，冲击力降低到原来的 $1/20$，从严重的 $15000\,\text{N}$ 降至可承受的 $750\,\text{N}$。

多粒子系统与质心

现实中的物体往往由许多质点组成。对于由 $N$ 个质点构成的系统，第 $i$ 个质点质量为 $m_i$、位置为 $\vec{r}_i$，定义位置为各质点位置的质量加权平均：

$\vec{r}_C = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i}{M}, \quad M = \sum_{i=1}^{N} m_i$

在直角坐标系中，质心坐标为：

$x_C = \frac{\sum m_i x_i}{M}, \quad y_C = \frac{\sum m_i y_i}{M}$

对于密度均匀的连续物体，求和变为积分：

$\vec{r}_C = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$

例 3　两个质点 A（$m_A = 2\,\text{kg}$，$x_A = 1\,\text{m}$）和 B（$m_B = 3\,\text{kg}$，），求系统质心位置。

$x_C = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 1 + 3 \times 6}{5} = \frac{20}{5} = 4\,\text{m}$

质心在 $x = 4\,\text{m}$ 处，偏向质量更大的 B（B 在 $6\,\text{m}$，A 在 $1\,\text{m}$）。质心始终偏向较重一侧，这符合直觉。

例 4　三个质点的二维质心计算：

总质量 $M = 6\,\text{kg}$，质心坐标：

$x_C = \frac{1 \times 0 + 2 \times 3 + 3 \times 0}{6} = \frac{6}{6} = 1\,\text{m}$

$y_C = \frac{1 \times 0 + 2 \times 0 + 3 \times 4}{6} = \frac{12}{6} = 2\,\text{m}$

质心在 $(1\,\text{m},\, 2\,\text{m})$ 处。C 质量最大（$3\,\text{kg}$），质心明显偏向 C 的位置方向。

质心运动定理

对系统总动量 $\vec{p}_{\text{总}} = M\vec{v}_C$ 求时间导数，并利用内力两两相消的性质（牛顿第三定律），得到：

$\vec{F}_{\text{外}} = \frac{d\vec{p}_{\text{总}}}{dt} = M\vec{a}_C$

这就是质心运动定理：系统所受合外力等于系统总质量乘以质心加速度。

例 5　一颗炮弹在空中飞行时炸成两块碎片（爆炸时间极短，爆炸力为内力）。爆炸前后，系统外力只有重力，因此质心沿原来的抛体轨迹继续运动，无论两块碎片飞向何方。

这一结论在实际问题中非常有用：分析碎裂、爆炸等复杂过程时，只需追踪质心，就能掌握系统整体的运动规律。

例 6　一辆质量 $M = 60\,\text{kg}$ 的平板车静止在光滑冰面上，一个质量 $m = 40\,\text{kg}$ 的人从车的一端走到另一端（车长 $L = 3\,\text{m}$）。求人走动后车移动的距离。

系统不受水平外力，质心保持静止（$x_C$ 不变）。设车向左移动距离 $d$，人向右移动距离 $L - d$（相对地面），则：

$M \cdot (-d) + m \cdot (L - d) = 0$

$-60d + 40(3 - d) = 0 \implies -60d + 120 - 40d = 0 \implies d = 1.2\,\text{m}$

车向左移动 $1.2\,\text{m}$，人相对地面向右移动 $1.8\,\text{m}$。质心始终静止不动。

动量守恒定律

由质心运动定理，当系统所受合外力为零时：

$\frac{d\vec{p}_{\text{总}}}{dt} = \vec{F}_{\text{外}} = \vec{0} \implies \vec{p}_{\text{总}} = \text{常矢量}$

这就是动量守恒定律：若系统所受合外力为零，系统总动量保持不变。

碰撞是动量守恒最典型的应用场景，按动能变化分为三类：

例 7　质量 $m_1 = 2\,\text{kg}$ 的滑块以 $v_1 = 4\,\text{m/s}$ 向右运动，与质量 $m_2 = 2\,\text{kg}$、以 向左运动的滑块发生弹性碰撞，求碰后两者的速度。

弹性碰撞同时满足动量守恒和动能守恒（等质量弹性正碰时，两者交换速度）：

$v_1' = v_2 = -1\,\text{m/s}\quad(\text{向左}),\quad v_2' = v_1 = 4\,\text{m/s}\quad(\text{向右})$

例 8　质量 $m_1 = 3\,\text{kg}$ 的小车以 $v_1 = 4\,\text{m/s}$ 向右运动，与静止的质量 $m_2 = 2\,\text{kg}$ 的小车发生完全非弹性碰撞，求碰后共同速度及动能损失。

取向右为正：

$v' = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4\,\text{m/s}$

碰前动能：$E_{k1} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 = 24\,\text{J}$

碰后动能：$E_{k2} = \frac{1}{2} \times 5 \times 2.4^2 = 14.4\,\text{J}$

动能损失：$\Delta E_k = 24 - 14.4 = 9.6\,\text{J}$，以热能、声能等形式耗散。

质量流动与火箭推进

火箭在真空中飞行，没有空气和地面可以借力，却能持续加速——依靠的正是动量守恒。火箭向后喷出高速气体，气体获得向后的动量，火箭获得等量向前的动量。

设某时刻火箭（含燃料）总质量为 $m$，速度为 $v$，在极短时间 $dt$ 内喷出质量 $|dm|$ 的气体（$dm < 0$，质量减小），气体相对火箭的喷出速度为 $v_e$。

对火箭系统应用动量守恒（无外力），可推导出火箭方程（齐奥尔科夫斯基方程）：

$m\frac{dv}{dt} = v_e \left(-\frac{dm}{dt}\right)$

对此方程从初始状态（质量 $m_0$，速度 $0$）积分到末态（质量 $m_f$，速度 $\Delta v$），得：

$\Delta v = v_e \ln\frac{m_0}{m_f}$

下图展示不同质量比下的速度增量（取 $v_e = 3000\,\text{m/s}$）：

第一宇宙速度约为 $7900\,\text{m/s}$，从图中可看出，即使喷气速度达 $3000\,\text{m/s}$，质量比也需超过 $13$。这就是为什么火箭绝大部分重量都是燃料——燃料质量比越大，速度增量越大，但回报是对数关系，边际效益递减。

练习题

选择题

题目一（动量与冲量）

一个质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的物体，动量从 $10\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ 增大到 $25\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$，历时 $3\,\text{s}$，作用在物体上的平均合外力大小为：

A. $3.3\,\text{N}$

B. $5\,\text{N}$

C. $8.3\,\text{N}$

D. $10\,\text{N}$

题目二（质心位置）

两个质点 A（$m_A = 1\,\text{kg}$，$x_A = 0$）和 B（$m_B = 3\,\text{kg}$，），系统质心位置 为：

A. $1\,\text{m}$

B. $2\,\text{m}$

C. $3\,\text{m}$

D. $3.5\,\text{m}$

题目三（动量守恒与碰撞）

质量 $m_1 = 4\,\text{kg}$ 的小车以 $v_1 = 2\,\text{m/s}$ 向右运动，与质量 $m_2 = 1\,\text{kg}$、以 向左运动的小车发生完全非弹性碰撞，合并后的速度为：

A. $0\,\text{m/s}$

B. $1.2\,\text{m/s}$，向右

C. $1.2\,\text{m/s}$，向左

D. $2\,\text{m/s}$，向右

题目四（冲量与安全设计）

两种情况下，物体从相同速度减速至零：方式甲用时 $0.01\,\text{s}$，方式乙用时 $0.1\,\text{s}$。两种方式动量变化量相同，则方式甲中平均冲击力与方式乙之比为：

A. $1:10$

B. $10:1$

C. $1:1$

D. $\sqrt{10}:1$

计算题

题目五（碰撞与动量守恒）

一颗质量 $m = 0.02\,\text{kg}$ 的子弹以 $v_0 = 400\,\text{m/s}$ 的速度水平射入质量 $M = 2\,\text{kg}$ 的静止木块，子弹嵌入木块中（完全非弹性碰撞）。木块放在光滑水平面上。

（1）求碰后木块（含子弹）的速度 $v'$；

（2）求碰撞过程中损失的动能 $\Delta E_k$。

题目六（火箭推进）

一枚火箭初始总质量（含燃料）$m_0 = 1000\,\text{kg}$，燃料燃尽后质量 $m_f = 200\,\text{kg}$，发动机喷气速度 $v_e = 2500\,\text{m/s}$（相对火箭），火箭初始静止，不计重力和空气阻力。

（1）求燃料全部喷出后火箭的最终速度；

（2）若将喷气速度提高到 $v_e = 3000\,\text{m/s}$，其他条件不变，最终速度提高多少？

知识点：合外力等于动量的变化率，$\bar{F} = \Delta p / \Delta t$。题中给出的质量 $m = 5\,\text{kg}$ 是干扰信息——动量已直接给出，无需再乘以质量。

知识点：质心偏向质量较大的一侧。B 的质量是 A 的三倍，质心在 $x = 0$ 到 $x = 4\,\text{m}$ 的四分之三处，即 $3\,\text{m}$。

正值表示方向向右。知识点：完全非弹性碰撞动量守恒，速度方向须用正负号表示，切勿直接用大小代入计算。

方式甲的冲击力是方式乙的 10 倍，比值为 $10:1$。知识点：延长碰撞时间可有效减小冲击力，这是安全带、安全气囊、运动鞋缓震材料等安全设计的物理依据。

（2）碰前总动能：

$E_{k1} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times 400^2 = 1600\,\text{J}$

碰后总动能：

$E_{k2} = \frac{1}{2}(m + M)v'^2 = \frac{1}{2} \times 2.02 \times 3.96^2 \approx 15.8\,\text{J}$

动能损失：

$\Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = 1600 - 15.8 \approx 1584\,\text{J}$

绝大部分动能以热能、声能及木块形变能的形式耗散。子弹初动能巨大，碰后合体速度极小，能量损失率高达 $99\%$。

（2）喷气速度提高到 $v_e = 3000\,\text{m/s}$，质量比不变：

$\Delta v' = 3000 \times \ln 5 = 3000 \times 1.609 \approx 4827\,\text{m/s}$

速度提高量：

$\Delta v' - \Delta v = 4827 - 4023 = 804\,\text{m/s}$

喷气速度提高 $20\%$（从 $2500$ 到 $3000\,\text{m/s}$），最终速度也提高约 $20\%$（$804/4023 \approx 20\%$）——这说明速度增量与 $v_e$ 成正比，提高发动机喷气速度是提升火箭性能最直接的手段。