矢量与运动学数学基础

物理学的核心任务之一是精确描述物体的运动状态。速度有大小，也有方向；力既能推也能拉，方向至关重要。为了处理这类既有大小又有方向的量，需要引入矢量的概念。这一部分从矢量的几何直觉出发，逐步建立起描述运动所需的数学工具——位置、速度、加速度，以及极坐标体系下的运动表达，为后续力学内容打下扎实的基础。

矢量的概念与运算

气温、质量、时间这些量只需要一个数值就能完整描述，称为标量（scalar）。而速度、力、位移这些量不仅有大小，还有方向——仅凭一个数值无法表达完整的物理信息，这类量称为矢量（vector）。

几何上，矢量用一条有方向的箭头表示：线段的长度代表矢量的大小，箭头的指向代表方向。矢量 $\vec{A}$ 的大小（模）记作 $|\vec{A}|$ 或简写为 $A$。

矢量加法

两个矢量 $\vec{A}$ 与 $\vec{B}$ 相加，遵循平行四边形法则：以两矢量为邻边构成平行四边形，对角线即为合矢量 $\stackrel{}{}$。等价地，将 的尾部接在 的头部，从 的尾到 的头画出的箭头就是合矢量，这称为。

矢量加法满足交换律和结合律：

$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$

$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$

数乘与减法

标量 $k$ 与矢量 $\vec{A}$ 的乘积 $k\vec{A}$ 是一个新矢量：当 时方向不变，大小变为 ；当 时方向反转，大小变为 。矢量减法定义为加上负矢量：

$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$

下表列出了几种典型运算的对比：

矢量的分量与基矢量

在平面直角坐标系中，引入沿 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向的单位矢量（基矢量） $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$（三维情形下还有沿 $z$ 轴的 ），它们的大小均为 1，方向两两垂直。

任意矢量 $\vec{A}$ 都可以分解为基矢量的线性组合：

$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$

其中 $A_x, A_y, A_z$ 称为 $\vec{A}$ 在三个坐标轴方向上的，矢量的大小由勾股定理推广得到：

$|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$

以下是几个典型矢量的分量示例：

分量形式使矢量运算极为方便，两矢量相加只需对应分量相加：

$\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}$

例 1　已知 $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$，，求 和 。

$\vec{A} + \vec{B} = (3-1)\hat{i} + (4+2)\hat{j} = 2\hat{i} + 6\hat{j}$

$|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

点积与叉积

矢量之间有两种乘法运算：点积（标积）和叉积（矢积），它们在物理中各有对应的含义。

点积

矢量 $\vec{A}$ 与 $\vec{B}$ 的点积定义为：

$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$

其中 $\theta$ 为两矢量之间的夹角。点积结果是一个标量。用分量表示：

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

点积的几何含义是 $\vec{A}$ 的大小乘以 $\vec{B}$ 在 $\vec{A}$ 方向上的投影长度。当两矢量垂直时 ，点积为零；同向时点积最大。在物理中，功的定义正是力与位移的点积：

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta$

叉积

矢量 $\vec{A}$ 与 $\vec{B}$ 的叉积 $\vec{A}\times$ 结果是一个，其大小为：

$|\vec{A} \times \vec{B}| = AB\sin\theta$

方向由右手定则确定：四指从 $\vec{A}$ 弯向 $\vec{B}$，大拇指所指方向即叉积方向，垂直于 $\stackrel{}{}$ 和 所在平面。

用分量表示叉积：

$\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$

例 2　已知 $\vec{A} = 2\hat{i} + 0\hat{j}$，，求 和 。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 \times 1 + 0 \times 1 = 2$

$\vec{A} \times \vec{B} = (2 \times 1 - 0 \times 1)\hat{k} = 2\hat{k}$

叉积方向沿 $z$ 轴正方向，大小为 $2$。

位置矢量与位移

描述质点在空间中的位置，需要选定一个参考点（原点），从原点到质点所在位置的有向线段称为位置矢量（position vector），记作 $\vec{r}$：

$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

当质点从位置 $\vec{r}_1$ 运动到 $\vec{r}_2$ 时，（displacement）定义为位置矢量的变化量：

$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$

例 3　质点从坐标 $(1,\,2)\,\text{m}$ 运动到 $(4,\,6)\,\text{m}$，求位移矢量和位移大小。

$\Delta\vec{r} = (4-1)\hat{i} + (6-2)\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j}\,\text{m}$

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}$

速度与加速度的矢量定义

速度

在时间 $\Delta t$ 内质点的位移为 $\Delta\vec{r}$，则平均速度定义为：

$\bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

取极限 $\Delta t \to 0$ 得到瞬时速度：

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

速度是位置矢量对时间的导数，是矢量。速度的大小称为速率（speed）：

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

加速度

速度随时间的变化率定义为加速度：

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

在分量形式下，各分量之间相互独立：

$v_x = \frac{dx}{dt},\quad v_y = \frac{dy}{dt},\quad v_z = \frac{dz}{dt}$

$a_x = \frac{dv_x}{dt},\quad a_y = \frac{dv_y}{dt},\quad a_z = \frac{dv_z}{dt}$

多维运动可以视为各坐标方向独立一维运动的叠加。以抛体运动为例，水平方向加速度为零（匀速），竖直方向加速度为 $-g$（匀加速），两个方向完全独立，可以分开处理。

例 4　质点的位置矢量为 $\vec{r}(t) = 2t^2\hat{i} + 3t\hat{j}\,\text{m}$，求 时的速度和加速度。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 4t\hat{i} + 3\hat{j}\,\text{m/s}$

在 $t = 1\,\text{s}$ 时：$\vec{v} = 4\hat{i} + 3\hat{j}\,\text{m/s}$，速率

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 4\hat{i}\,\text{m/s}^2$

加速度为常矢量，大小为 $4\,\text{m/s}^2$，方向沿 $x$ 轴正方向。

极坐标中的运动描述

直角坐标系在处理直线运动时直观方便，但对于圆周运动或行星轨道等问题，极坐标（polar coordinates）往往更为自然。

在极坐标中，质点的位置用 $(r,\,\theta)$ 表示：$r$ 是到原点的距离，$\theta$ 是与参考方向的夹角。与直角坐标系不同，极坐标引入两个随质点位置变化的单位矢量：

$\hat{r}$：沿径向（从原点指向质点）方向；$\hat{\theta}$：沿切向（$\theta$ 增大的方向），与 $\hat{r}$ 垂直。

速度

对位置矢量 $\vec{r} = r\hat{r}$ 求时间导数，注意 $\hat{r}$ 本身也在随时间变化（），可以推导出：

$\vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta}$

其中 $\dot{r} = dr/dt$ 是径向速度分量（沿 $\hat{r}$ 方向，表示质点靠近或远离原点的速率），$r\dot{\theta}$ 是（沿 方向， 为角速度）。

加速度

类似地，对速度求导（利用 $\dot{\hat{\theta}} = -\dot{\theta}\hat{r}$）得到：

$\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$

匀速圆周运动的特殊情形

当 $r = \text{常数}$（即 $\dot{r} = \ddot{r} = 0$），$\dot{\theta} = \omega = \text{常数}$， 时：

$\vec{v} = r\omega\hat{\theta},\quad \vec{a} = -r\omega^2\hat{r}$

加速度只有径向分量，方向指向圆心（负号表示向内），称为向心加速度：

$a_c = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}$

例 5　一质点做半径 $r = 2\,\text{m}$ 的匀速圆周运动，角速度 $\omega = 3\,\text{rad/s}$，求速率和向心加速度大小。

$v = r\omega = 2 \times 3 = 6\,\text{m/s}$

$a_c = r\omega^2 = 2 \times 9 = 18\,\text{m/s}^2，方向指向圆心。$

近似方法初步

物理计算中常会遇到结构复杂的数学式，在特定条件下可做近似化简，这是分析问题的重要技巧。

二项式近似

当 $|x| \ll 1$ 时，$(1+x)^n$ 可以近似为：

$(1+x)^n \approx 1 + nx$

这个近似精度很高，误差随 $x$ 减小而迅速降低：

泰勒展开（定性了解）

泰勒展开将函数表示为幂级数。在 $x$ 很小时，常用的一阶近似为：

$\sin x \approx x,\quad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2},\quad e^x \approx 1 + x$

这些近似在分析小角度摆动、微小扰动等问题时极为常用。

例 6　单摆的小角度近似利用了 $\sin\theta \approx \theta$（$\theta$ 以弧度计）。当 $\theta = 10° = 0.1745\,\text{rad}$ 时，$\sin 10° = 0.1736$，近似值为 ，相对误差约为 ，在工程精度范围内完全可以接受。

练习题

选择题

题目一（矢量加法）

已知 $\vec{A} = 3\hat{i}\,\text{N}$，$\vec{B} = 4\hat{j}\,\text{N}$，合力 等于：

A. $1\,\text{N}$　　B. $5\,\text{N}$　　C. $7\,\text{N}$　　D. $12\,\text{N}$

题目二（点积与垂直判断）

$\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ 与 的点积 等于：

A. $4$　　B. $2\sqrt{2}$　　C. $0$　　D. $-4$

题目三（瞬时速度）

质点的位置矢量为 $\vec{r}(t) = t^3\hat{i}\,\text{m}$，则 $t=$ 时速度大小为：

A. $4\,\text{m/s}$　　B. $8\,\text{m/s}$　　C. $12\,\text{m/s}$　　D. $16\,\text{m/s}$

题目四（向心加速度）

质点做匀速圆周运动，速率 $v = 4\,\text{m/s}$，轨道半径 $r = 2\,\text{m}$，向心加速度大小为：

A. $2\,\text{m/s}^2$　　B. $4\,\text{m/s}^2$　　C. $8\,\text{m/s}^2$　　D. $16\,\text{m/s}^2$

计算题

题目五（矢量运算综合）

两个力 $\vec{F}_1 = 3\hat{i} + 4\hat{j}\,\text{N}$ 和 同时作用在一个物体上。

（1）求合力 $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ 的大小和方向；

（2）求两力的点积 $\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2$，并由此求出两力的夹角。

题目六（极坐标运动）

一质点的运动由极坐标描述：$r(t) = 2\,\text{m}$（常数），$\theta(t) = 2t\,\text{rad}$。

（1）写出速度矢量 $\vec{v}$，求速率；

（2）写出加速度矢量 $\vec{a}$，说明其物理意义；

（3）若质量 $m = 0.5\,\text{kg}$，维持该运动所需向心力的大小是多少？

知识点：矢量合成用分量法，再取模求大小，不能直接把数值相加。

知识点：点积为零意味着两矢量相互垂直，这是判断垂直关系的快捷方法。

知识点：瞬时速度是位置矢量对时间的一阶导数。

知识点：向心加速度公式 $a_c = v^2/r = r\omega^2$，方向指向圆心，是匀速圆周运动的唯一加速度。

合力大小为 $8\,\text{N}$，方向沿 $y$ 轴正方向。

（2）点积：

$\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = 3 \times (-3) + 4 \times 4 = -9 + 16 = 7\,\text{N}^2$

两力大小均为 $|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = \sqrt{9+16} = 5\,\text{N}$，由点积公式：

$\cos\theta = \frac{\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2}{|\vec{F}_1||\vec{F}_2|} = \frac{7}{25} = 0.28$

$\theta = \arccos(0.28) \approx 73.7°$

（1）速度：

$\vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} = 0 + 2 \times 2\,\hat{\theta} = 4\hat{\theta}\,\text{m/s}$

速率 $v = 4\,\text{m/s}$，方向沿切线。

（2）加速度：

$\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} = (0 - 2 \times 4)\hat{r} + 0 = -8\hat{r}\,\text{m/s}^2$

加速度大小为 $8\,\text{m/s}^2$，方向沿 $-\hat{r}$（指向圆心），即向心加速度。此质点做匀速圆周运动。

（3）向心力：

$F = ma_c = 0.5 \times 8 = 4\,\text{N}$