功与动能

力作用在物体上，物体沿力的方向发生位移——这个过程中，力对物体做了“功”。功是能量转化的度量，它将“力”与“能量”两个概念连接起来。动能定理则揭示了合外力做功与物体动能变化之间的直接关系，是力学中最重要的能量方程之一。

功的定义

一个人用绳子拖动一个箱子，绳子与地面成角度 $\theta$，箱子沿地面水平移动了距离 $d$。绳子拉力并非完全沿运动方向，只有沿运动方向的分量才真正“推动”了箱子前进。

功（Work 的定义是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。对于大小为 $F$ 的恒力、与位移方向夹角为 $\theta$ 的情形：

$W = F\cos\theta \cdot d = \vec{F} \cdot \vec{d}$

功的单位是焦耳（J），$1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2$。

例 1　一个人用 $F = 50\,\text{N}$ 的力拉动箱子，力与水平方向夹角 $\theta = 37°$，箱子水平移动 $d = 10\,\text{m}$，求拉力做的功。

$W = F\cos 37° \cdot d = 50 \times 0.8 \times 10 = 400\,\text{J}$

例 2　一个质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的物体在水平面上移动 $d = 8\,\text{m}$，法向力竖直向上，大小 $N = 50\,\text{N}$，求法向力做的功。

法向力垂直于位移，夹角 $\theta = 90°$：

$W = N\cos 90° \cdot d = 0$

法向力不做功——垂直于运动方向的力，对物体做功恒为零。

变力做功

在许多实际问题中，力的大小随位置变化。弹簧弹力 $F = -kx$ 是典型例子——随弹簧伸长，弹力持续增大。对于变力，将路径划分为无数极小的位移元 $dx$，在每个极小段上力近似为常力，做功为 $dW = F(x)\,dx$，沿整个路径积分：

$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$

这就是变力做功的计算方法，其几何意义是 $F$-$x$ 图像下的面积。

例 3　劲度系数 $k = 200\,\text{N/m}$ 的弹簧，从自然长度被拉伸 $x = 0.3\,\text{m}$，求外力对弹簧做的功。

外力方向与位移方向相同，大小等于弹力：

$W_{\text{外}} = \int_0^{0.3} kx\,dx = \frac{1}{2}kx^2\bigg|_0^{0.3} = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.3)^2 = 9\,\text{J}$

弹力（恢复力）做功与外力做功等大反号：$W_{\text{弹}} = -9\,\text{J}$。

例 4　一个质点从 $x_1 = 1\,\text{m}$ 运动到 $x_2 = 4\,\text{m}$，受到沿运动方向的力 $F(x) = 3x\,\text{N}$，求力做的功。

$W = \int_1^4 3x\,dx = \frac{3x^2}{2}\bigg|_1^4 = \frac{3}{2}(16 - 1) = 22.5\,\text{J}$

弹力做功有一个常用结论，在之后分析弹性势能时会频繁用到：

$W_{\text{弹}} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$

动能定理

将牛顿第二定律与功的定义结合，可以推导出一个极为实用的结论。对一维运动，由 $F = ma = m\dfrac{dv}{dt}$，利用 $\dfrac{dv}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$：

$F\,dx = mv\,dv$

两侧从初态（位置 $x_1$，速度 $v_1$）到末态（位置 $x_2$，速度 $v_2$）积分：

$W = \int_{x_1}^{x_2} F\,dx = \int_{v_1}^{v_2} mv\,dv = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

定义 动能（Kinetic Energy 为：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

则动能定理表述为：

$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

合外力做的总功等于物体动能的变化量。

例 5　一辆质量 $m = 1000\,\text{kg}$ 的汽车从静止出发，合外力 $F_{\text{合}} = 2000\,\text{N}$，行驶 $s = 50\,\text{m}$ 后求速度。

合外力做功：

$W = F_{\text{合}} \cdot s = 2000 \times 50 = 1.0 \times 10^5\,\text{J}$

由动能定理（$v_1 = 0$）：

$W = \frac{1}{2}mv_2^2 \implies v_2 = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^5}{1000}} \approx 14.1\,\text{m/s}$

例 6　质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的球以 $v_1 = 20\,\text{m/s}$ 撞墙后弹回，弹回速度 $v_2 = 15\,\text{m/s}$，求墙对球做的功。

$E_{k1} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 20^2 = 100\,\text{J}$

$E_{k2} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 15^2 = 56.25\,\text{J}$

$W = \Delta E_k = 56.25 - 100 = -43.75\,\text{J}$

墙对球做负功，球损失了部分动能（转化为热能和声能）。

功率与效率

做相同的功，用时越短，说明机器或人“做功的速度”越快。功率（Power描述单位时间内做功的多少：

$P = \frac{W}{t}$

功率的单位是瓦特（W），$1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$。大功率场合常用千瓦（$\text{kW}$）。

对于瞬时功率，若物体以速度 $v$ 运动，受到沿运动方向大小为 $F$ 的力：

$P = Fv\cos\theta$

效率（$\eta$）定义为有用功与总输入功的比值：

$\eta = \frac{W_{\text{有用}}}{W_{\text{总}}} \times 100\%$

例 7　一台功率 $P = 20\,\text{kW}$ 的电动机，效率 $\eta = 80\%$，运行 $t = 60\,\text{s}$，求有用功。

总输入功：

$W_{\text{总}} = P \times t = 20000 \times 60 = 1.2 \times 10^6\,\text{J}$

有用功：

$W_{\text{有用}} = \eta \times W_{\text{总}} = 0.80 \times 1.2 \times 10^6 = 9.6 \times 10^5\,\text{J}$

例 8　一辆汽车在平直公路上以恒速 $v = 30\,\text{m/s}$ 行驶，所受阻力 $f = 1500\,\text{N}$，求发动机的输出功率。

匀速行驶时，牵引力等于阻力：$F = f = 1500\,\text{N}$

$P = Fv = 1500 \times 30 = 4.5 \times 10^4\,\text{W} = 45\,\text{kW}$

多维情形下的功能定理

在二维或三维空间中，力和位移都是矢量。沿曲线路径运动时，功推广为曲线积分：

$W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz)$

其中 $d\vec{r} = dx\,\hat{i} + dy\,\hat{j} + dz\,\hat{k}$ 是路径上的微元位移。

动能定理在多维情形下形式不变，速度大小 $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$：

$W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

例 9　质点在 $xOy$ 平面内受恒力 $\vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j}\,\text{N}$，从点 沿直线运动到点 ，求力做的功。

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 3 \times 2 + 4 \times 3 = 6 + 12 = 18\,\text{J}$

若质点质量 $m = 2\,\text{kg}$，初速度为零，由动能定理求末速度：

$\frac{1}{2} \times 2 \times v^2 = 18 \implies v = \sqrt{18} \approx 4.24\,\text{m/s}$

练习题

选择题

题目一（功的计算）

一个物体受到大小 $F = 40\,\text{N}$ 的力，力与位移方向夹角 $\theta = 60°$，物体沿位移方向移动 $d = 5\,\text{m}$，该力做的功为：

A. $200\,\text{J}$

B. $100\,\text{J}$

C. $173\,\text{J}$

D. $0\,\text{J}$

题目二（动能定理）

质量 $m = 4\,\text{kg}$ 的物体，初速度 $v_1 = 3\,\text{m/s}$，末速度 $v_2 = 5\,\text{m/s}$，合外力对物体做的功为：

A. $16\,\text{J}$

B. $32\,\text{J}$

C. $4\,\text{J}$

D. $8\,\text{J}$

题目三（功率与速度）

一辆质量 $m = 1200\,\text{kg}$ 的汽车发动机额定功率 $P = 60\,\text{kW}$，在平直公路上匀速行驶时所受阻力 $f = 2000\,\text{N}$，此时汽车的速度为：

A. $10\,\text{m/s}$

B. $20\,\text{m/s}$

C. $30\,\text{m/s}$

D. $40\,\text{m/s}$

题目四（弹力做功）

劲度系数 $k = 400\,\text{N/m}$ 的弹簧，从压缩 $x_1 = 0.1\,\text{m}$ 继续压缩到 $x_2 = 0.2\,\text{m}$，弹力做的功为：

A. $+6\,\text{J}$

B. $-6\,\text{J}$

C. $+2\,\text{J}$

D. $-2\,\text{J}$

计算题

题目五（动能定理综合应用）

一个质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的滑块，初速度 $v_0 = 8\,\text{m/s}$，在水平面上运动，动摩擦系数 $\mu_k = 0.3$，取 。

（1）求滑块能滑行多远后停下；

（2）若在滑块运动方向上再施加一个恒力 $F = 10\,\text{N}$，求滑块从初速度 $v_0 = 8\,\text{m/s}$ 运动 $s = 10\,\text{m}$ 后的速度。

题目六（功率与效率综合）

一台起重机的电动机额定功率 $P = 30\,\text{kW}$，效率 $\eta = 75\%$，将质量 $m = 500\,\text{kg}$ 的货物从地面匀速提升，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求克服货物重力的有用功率；

（2）求货物被提升的速度；

（3）求 $t = 2\,\text{min}$ 内货物被提升的高度。

知识点：计算功时必须取力在位移方向上的分量，即乘以 $\cos\theta$，不能直接用 $F \times d$。

$E_{k2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50\,\text{J}$

$W = \Delta E_k = 50 - 18 = 32\,\text{J}$

知识点：动能定理 $W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$，合外力做功等于动能的变化量。

知识点：匀速行驶时牵引力等于阻力，利用 $P = Fv$ 可求速度。

$= 2\,\text{J} - 8\,\text{J} = -6\,\text{J}$

弹力做负功，说明在压缩过程中弹力阻碍位移（弹力指向伸长方向，位移指向压缩方向，二者反向）。

知识点：弹力做功公式 $W = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$，形变量增大时弹力做负功。

从初速度 $v_0 = 8\,\text{m/s}$ 滑行至停止（$v = 0$），由动能定理：

$W_{\text{合}} = \Delta E_k$

$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$s = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2}{f_k} = \frac{\frac{1}{2} \times 2 \times 64}{6} = \frac{64}{6} \approx 10.7\,\text{m}$

（2） 施加 $F = 10\,\text{N}$ 后，合外力做功：

$W_{\text{合}} = (F - f_k) \times s = (10 - 6) \times 10 = 40\,\text{J}$

由动能定理：

$W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$40 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 - \frac{1}{2} \times 2 \times 8^2$

$40 = v^2 - 64$

$v = \sqrt{104} \approx 10.2\,\text{m/s}$

（2） 货物匀速提升，牵引力等于重力：$F = mg = 500 \times 10 = 5000\,\text{N}$

$P_{\text{有用}} = Fv \implies v = \frac{P_{\text{有用}}}{F} = \frac{22500}{5000} = 4.5\,\text{m/s}$

（3） $t = 2\,\text{min} = 120\,\text{s}$，提升高度：

$h = v \times t = 4.5 \times 120 = 540\,\text{m}$

验证：有用功 $W_{\text{有用}} = mgh = 500 \times 10 \times 540 = 2.7 \times 10^6\,\text{J}$；

总输入功 $W_{\text{总}} = P \times t = 30000 \times 120 = 3.6 \times 10^6\,\text{J}$；

效率 $\eta = 2.7/3.6 = 75\%$ ✓