功与动能

牛顿定律从力的角度分析了力与运动的关系，回答的是“物体受力后怎么运动”的问题。现在引入一个新的视角——能量。能量方法的优势在于，很多情况下不需要追踪运动的每一个细节，只需要比较初末状态就能得到答案。功是能量传递的桥梁，动能则是运动物体所拥有的能量。掌握功和动能的联系，是理解后续所有能量问题的基础。

功的定义

力作用在物体上，物体沿力的方向产生了位移，这个力就对物体做了功。功的大小不仅取决于力的大小，也取决于位移的大小，以及力与位移方向之间的夹角。

恒力 $\vec{F}$ 使物体产生位移 $\vec{d}$，功的定义为两者的点积：

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta$

其中 $\theta$ 是力的方向与位移方向之间的夹角，$F$ 和 $d$ 分别是力和位移的大小。功的单位是焦耳（J），$1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot \text{m}$。

下表展示了不同夹角下功的符号与意义：

例1　搬运工用 $F = 50\,\text{N}$ 的力推一辆购物车，力的方向水平向前，推动购物车前进了 $d = 10\,\text{m}$，求推力做的功。

力与位移方向相同，$\theta = 0^{\circ}$：

$W = Fd\cos 0^{\circ} = 50 \times 10 \times 1 = 500\,\text{J}$

例2　一名工人用绳子拖拉一个质量 $m = 20\,\text{kg}$ 的箱子，绳子与水平地面的夹角 $\theta = 30^{\circ}$，拉力 $F = 60\,\text{N}$，箱子沿水平方向移动了 $d=5\text{m}$，。分别求拉力、重力和法向力做的功。

拉力做的功（$\theta = 30^{\circ}$）：

$W_F = Fd\cos 30^{\circ} = 60 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 60 \times 5 \times 0.866 = 259.8\,\text{J}$

重力方向竖直向下，位移方向水平，两者垂直（$\theta = 90^{\circ}$）：

$W_G = mgd\cos 90^{\circ} = 0$

法向力方向竖直向上，同样与水平位移垂直：$W_N = 0$

变力做功

当力的大小或方向随位移变化时，不能直接用 $W = Fd\cos\theta$ 计算，需要把路径分成很多小段，每一小段内力近似恒定，累加各小段的功，这就是积分的思想。

对于沿 $x$ 方向运动、力的大小随位置变化的情形：

$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$

弹簧弹力做功是变力做功最典型的例子。弹簧的弹力满足胡克定律：$F = -kx$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$x$ 是弹簧的形变量（压缩为负，伸长为正）。外力拉伸弹簧从形变量 $x = 0$ 到 $x = x_0$，外力大小等于 ，做的功为：

$W = \int_0^{x_0} kx\,dx = \frac{1}{2}kx_0^2$

这个结果可以用图像来理解：在 $F$-$x$ 图上，外力 $F = kx$ 是过原点的直线，从 $x = 0$ 到 $x = x_0$ 围成的三角形面积就是外力做的功 。

例3　一根劲度系数 $k = 200\,\text{N/m}$ 的弹簧，自然长度为 $l_0 = 0.20\,\text{m}$。现将其从自然状态压缩到长度 $l = 0.15\,\text{m}$，即压缩量 ，求外力做的功。

$W = \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.05)^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.0025 = 0.25\,\text{J}$

例4　某力沿 $x$ 方向的分量为 $F(x) = 3x^2\,\text{N}$（$x$ 的单位为 $\text{m}$），求该力在 $x = 1\,\text{m}$ 到 范围内做的功。

$W = \int_1^3 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_1^3 = 27 - 1 = 26\,\text{J}$

动能定理

物体的动能是运动物体因运动而拥有的能量，定义为：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

动能的单位也是焦耳（J）。动能始终是正值，与运动方向无关，只与质量和速率有关。

合力对物体做的总功等于物体动能的变化量，这就是动能定理：

$W_{\text{net}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

其中 $v_1$ 是初速度，$v_2$ 是末速度，$W_{\text{net}}$ 是所有力做功的代数和。

例5　质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的滑块在光滑水平面上，初速度 $v_1 = 3\,\text{m/s}$，受到水平推力 $F = 10\,\text{N}$ 作用，经过位移 ，求末速度。

合力等于推力（光滑面，无摩擦），合力做功：

$W_{\text{net}} = Fd = 10 \times 4 = 40\,\text{J}$

由动能定理：

$\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = W_{\text{net}}$

$\frac{1}{2} \times 2 \times v_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 9 + 40 = 9 + 40 = 49\,\text{J}$

$v_2 = \sqrt{49} = 7\,\text{m/s}$

例6　质量 $m = 1.5\,\text{kg}$ 的物块在粗糙水平地面上滑行，初速度 $v_1 = 6\,\text{m/s}$，动摩擦系数 $\mu_k = 0.4$，，求物块停下来前滑行的距离。

物块只受动摩擦力做功（重力和法向力不做功），物块停下时末速度 $v_2 = 0$：

$W_{\text{net}} = -f_k \cdot d = -\mu_k mg \cdot d$

由动能定理：

$-\mu_k mg \cdot d = 0 - \frac{1}{2}mv_1^2$

$d = \frac{v_1^2}{2\mu_k g} = \frac{36}{2 \times 0.4 \times 10} = \frac{36}{8} = 4.5\,\text{m}$

功率与效率

功率描述做功的快慢，定义为单位时间内完成的功：

$P = \frac{W}{t}$

功率的单位是瓦特（W），$1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$。常用单位还有千瓦（kW）：$1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$。

对于恒力做功，还可以用力与速度的乘积表示瞬时功率：

$P = Fv\cos\theta$

当力的方向与速度方向相同时（$\theta = 0^{\circ}$）：$P = Fv$

常见机器或设备的额定功率（参考值）如下：

效率衡量能量的利用程度，定义为有效输出功率与总输入功率之比：

$\eta = \frac{P_{\text{输出}}}{P_{\text{输入}}} \times 100\%$

实际机器中总存在摩擦、热损耗等，效率恒小于 $100\%$。

例7　一台电动机额定功率 $P = 5\,\text{kW}$，效率 $\eta = 80\%$，用于匀速提升货物。求每秒内有效输出的功，以及该电动机能以 $v = 2\,\text{m/s}$ 的速度匀速提升多重的货物（$g = 10\,\text{m/s}^2$）。

每秒内有效输出的功等于输出功率：

$P_{\text{输出}} = \eta P = 0.8 \times 5000 = 4000\,\text{W}$

匀速提升时，拉力等于重力，输出功率全部用于克服重力：

$P_{\text{输出}} = Fv = mgv$

$m = \frac{P_{\text{输出}}}{gv} = \frac{4000}{10 \times 2} = 200\,\text{kg}$

练习题

选择题

第1题（考查知识点：功的定义与方向夹角）

用力 $F = 40\,\text{N}$ 斜向上拉一木箱，力与水平方向夹角 $\theta = 60^{\circ}$，木箱沿水平方向移动了 $d = 5\,\text{m}$，则该力做的功为：

A. $200\,\text{J}$　　　B. $100\,\text{J}$　　　C. $173\,\text{J}$　　　D. $0$

第2题（考查知识点：弹簧做功与劲度系数）

劲度系数 $k = 500\,\text{N/m}$ 的弹簧，从自然状态被拉伸了 $x = 0.04\,\text{m}$，外力做的功为：

A. $20\,\text{J}$　　　B. $0.4\,\text{J}$　　　C. $0.04\,\text{J}$　　　D. $2\,\text{J}$

第3题（考查知识点：动能定理的应用）

质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体在水平面上运动，初速度 $v_1 = 2\,\text{m/s}$，合力做功 $W = 32\,\text{J}$，则末速度 为：

A. $4\,\text{m/s}$　　　B. $\sqrt{32}\,\text{m/s}$　　　C. $6\,\text{m/s}$　　　D. $8\,\text{m/s}$

第4题（考查知识点：功率与速度的关系）

一辆质量 $m = 1500\,\text{kg}$ 的汽车在平直公路上匀速行驶，速度 $v = 20\,\text{m/s}$，行驶阻力为车重的 $0.05$ 倍，$g = 10\,\text{m/s}^2$，则发动机的输出功率为：

A. $15000\,\text{W}$　　　B. $7500\,\text{W}$　　　C. $30000\,\text{W}$　　　D. $1500\,\text{W}$

计算题

第5题（考查知识点：动能定理求速度，含摩擦力做功）

质量 $m = 3\,\text{kg}$ 的木块放在水平地面上，初速度 $v_1 = 0$（由静止开始）。水平推力 $F = 18\,\text{N}$，动摩擦系数 ${\mu }_k$，，经过位移 。

（1）求推力和摩擦力各自做的功；

（2）用动能定理求木块的末速度。

第6题（考查知识点：功率、效率与提升重物）

建筑工地用一台吊机以匀速 $v = 0.5\,\text{m/s}$ 将质量 $m = 800\,\text{kg}$ 的建筑材料从地面提升到高度 $h = 20\,\text{m}$ 处，$g = 10\,\text{m/s}^2$，吊机的机械效率 。

（1）求提升这批材料克服重力所做的功（有效功）；

（2）求吊机输出的有效功率；

（3）求吊机消耗的总功率（输入功率）。

选 B。力方向与位移方向夹角为 $60^{\circ}$，只有力在位移方向上的分量 $F\cos 60^{\circ}$ 做功。

选 B。弹簧从自然状态拉伸，外力做功等于 $\dfrac{1}{2}kx^2$，这是变力做功的标准结果。

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 36}{2}} = \sqrt{36} = 6\,\text{m/s}$

选 C。

选 A。

推力做功（力与位移方向相同）：

$W_F = Fd = 18 \times 6 = 108\,\text{J}$

摩擦力做功（力与位移方向相反，$\theta = 180^{\circ}$）：

$W_f = -f_k d = -6 \times 6 = -36\,\text{J}$

（2）合力做的总功：

$W_{\text{net}} = W_F + W_f = 108 + (-36) = 72\,\text{J}$

由动能定理（初速度为零）：

$\frac{1}{2}mv_2^2 = W_{\text{net}} = 72\,\text{J}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 72}{3}} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93\,\text{m/s}$

（2）匀速提升时，拉力等于重力 $mg = 8000\,\text{N}$，有效输出功率：

$P_{\text{输出}} = Fv = mgv = 8000 \times 0.5 = 4000\,\text{W} = 4\,\text{kW}$

（3）由效率公式：

$\eta = \frac{P_{\text{输出}}}{P_{\text{输入}}}$

$P_{\text{输入}} = \frac{P_{\text{输出}}}{\eta} = \frac{4000}{0.75} \approx 5333\,\text{W} \approx 5.33\,\text{kW}$

提升整批材料所需时间：$t = \dfrac{h}{v} = \dfrac{20}{0.5} = 40\,\text{s}$，此时间内消耗的总能量为 $P_{\text{输入}} \times t \approx 5333 \times 40 \approx 213333\,\text{J} \approx 213\,\text{kJ}$，其中有效功 $160\,\text{kJ}$，其余约 $53\,\text{kJ}$ 转化为热能等损耗。