牛顿定律的应用

前面我们建立了牛顿三定律的基本框架，现在我们要把这些定律用于更复杂的实际场景。生活中绝大多数力学问题，都不是单个物体静止在桌面上那么简单——绳子通过滑轮连接两个物体、汽车高速转弯、雨滴匀速落下……这些场景都需要综合运用受力分析方法和牛顿第二定律。掌握这部分内容的核心是：受力分析要细心，方程要逐个物体列写，最后联立求解。

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多物体系统的牛顿方程组

当多个物体通过绳子、滑轮或直接接触相互连接时，需要对每个物体分别列牛顿第二定律方程，再联立求解。

处理这类问题的步骤归纳如下：

例1　两木块 $A$（$m_A = 3\,\text{kg}$）和 $B$（$m_B = 5\,\text{kg}$）放在光滑水平面上，$A$ 在前，$B$ 在后，用绳子连在一起，对 $B$ 施加水平力 $F = 16\,\text{N}$，求加速度和绳中张力。

把两者视为整体，水平面光滑时合力等于 $F$：

$a = \frac{F}{m_A + m_B} = \frac{16}{3 + 5} = 2\,\text{m/s}^2$

对 $A$ 单独列方程（$A$ 只受绳的拉力 $T$）：

$T = m_A \cdot a = 3 \times 2 = 6\,\text{N}$

对 $B$ 验算：$F - T = m_B \cdot a \Rightarrow 16 - 6 = 5 \times 2 = 10$，结果正确。

例2（阿特伍德机）　轻绳跨过定滑轮，两端分别挂质量 $m_1 = 4\,\text{kg}$（重）和 $m_2 = 2\,\text{kg}$（轻）的物块，绳不可伸长，滑轮和绳质量不计，$g = 10\,\text{m/s}^2$，求加速度和绳中张力。

取 $m_1$ 下降为正方向，分别对两物体列方程：

$m_1 g - T = m_1 a$

$T - m_2 g = m_2 a$

两式相加消去 $T$：

$a = \frac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2} = \frac{(4-2) \times 10}{4+2} = \frac{20}{6} \approx 3.33\,\text{m/s}^2$

代入求绳中张力：

$T = m_2(g + a) = 2 \times (10 + 3.33) \approx 26.7\,\text{N}$

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静摩擦与动摩擦问题

摩擦力分为两类：物体相对静止时存在静摩擦力，物体相对滑动时存在动摩擦力。

其中 $N$ 是接触面的法向力，$\mu_s$ 是静摩擦系数，$\mu_k$ 是动摩擦系数。

例3　质量 $m = 10\,\text{kg}$ 的箱子放在水平地板上，$\mu_s = 0.5$，$\mu_k = 0.3$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。（1）施加水平推力 $F = 30\,\text{N}$ 时，箱子是否运动？（2）若 $F = 60\,\text{N}$，求加速度。

法向力 $N = mg = 100\,\text{N}$，最大静摩擦力：

$f_{s,\max} = \mu_s N = 0.5 \times 100 = 50\,\text{N}$

（1）$F = 30\,\text{N} < 50\,\text{N}$，箱子不运动，静摩擦力 $f_s = 30\,\text{N}$（与推力等大反向）。

（2）$F = 60\,\text{N} > 50\,\text{N}$，箱子开始滑动，摩擦力变为动摩擦力：

$f_k = \mu_k N = 0.3 \times 100 = 30\,\text{N}$

$a = \frac{F - f_k}{m} = \frac{60 - 30}{10} = 3\,\text{m/s}^2$

例4　质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的物块从倾角 $\theta = 30^{\circ}$ 的斜面顶端由静止开始下滑，动摩擦系数 $\mu_k = 0.2$，$g = 10\,\text{m/s}^2$，求加速度。

垂直斜面方向无加速度，法向力：

$N = mg\cos\theta = 5 \times 10 \times \cos 30^{\circ} \approx 43.3\,\text{N}$

沿斜面方向（取下滑为正）：

$mg\sin\theta - f_k = ma$

$a = g(\sin\theta - \mu_k \cos\theta) = 10 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866) \approx 3.27\,\text{m/s}^2$

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圆周运动中的动力学分析

做圆周运动的物体，必定受到一个指向圆心的合力——向心力。向心力的来源因情境不同而不同，分析的核心始终是：找出哪些力共同提供了向心力。

水平转盘

物体放在匀速旋转的水平圆盘上，转盘对物体的静摩擦力指向圆心，充当向心力，使物体保持圆周运动。如果转速过高，所需向心力超过最大静摩擦力，物体就会向外滑出。

例5　质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的小物块放在水平旋转圆盘上，距转轴 $r = 0.4\,\text{m}$，静摩擦系数 $\mu_s = 0.5$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。求物块不滑出时圆盘的最大角速度。

最大静摩擦力提供向心力：

$\mu_s mg = m\omega_{\max}^2 r$

消去 $m$，解出 $\omega_{\max}$：

$\omega_{\max} = \sqrt{\frac{\mu_s g}{r}} = \sqrt{\frac{0.5 \times 10}{0.4}} = \sqrt{12.5} \approx 3.54\,\text{rad/s}$

超过此角速度，物块将向外滑出。

斜面弯道

高速公路弯道通常设计成倾斜路面（外侧高于内侧），此时路面法向力的水平分量参与提供向心力，减少对轮胎摩擦力的依赖，提高行驶安全性。

设倾斜角为 $\theta$，忽略摩擦力时，对车辆进行受力分析：

两式相除消去 $N$ 和 $m$，得到设计速度：

$v = \sqrt{Rg\tan\theta}$

例6　某弯道半径 $R = 200\,\text{m}$，倾斜角 $\theta = 15^{\circ}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$，忽略摩擦力，求该弯道的设计速度。

$v = \sqrt{Rg\tan\theta} = \sqrt{200 \times 10 \times \tan 15^{\circ}} = \sqrt{2000 \times 0.268} \approx 23.2\,\text{m/s}$

折合约 $83.5\,\text{km/h}$。以这个速度通过弯道时，不需要摩擦力就能维持圆周运动。

竖直圆周运动

物体在竖直平面内做圆周运动时，重力方向始终向下，而向心力方向随位置改变，导致各处绳中张力大小不同。

在最高点，绳中张力最小。令 $T = 0$ 可求出维持圆周运动的最小速度，称为临界速度：

$v_{\min} = \sqrt{gR}$

速度低于 $v_{\min}$ 时，物体脱离圆轨道。

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空气阻力与终端速度

实际运动中，物体受到空气阻力的作用。对低速运动，空气阻力近似与速度成正比：

$f = bv$

对高速运动（如跳伞、雨滴下落），空气阻力近似与速度的平方成正比：

$f = cv^2$

其中 $b$、$c$ 是与物体形状、尺寸和空气密度有关的阻力系数。

终端速度是空气阻力与重力达到平衡时，物体下落的最终匀速速度。以高速情形为例，物体竖直下落达到终端速度 $v_t$ 时：

$mg = cv_t^2 \quad \Rightarrow \quad v_t = \sqrt{\frac{mg}{c}}$

下图展示了物体从静止开始在空气阻力下下落的全过程：

例7　跳伞员（含设备）总质量 $m = 80\,\text{kg}$，未开伞时空气阻力系数 $c_1 = 0.2\,\text{kg/m}$，开伞后阻力系数 $c_2 = 80\,\text{kg/m}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。分别求未开伞和开伞后的终端速度。

未开伞阶段：

$v_{t1} = \sqrt{\frac{mg}{c_1}} = \sqrt{\frac{80 \times 10}{0.2}} = \sqrt{4000} \approx 63.2\,\text{m/s}$

开伞后：

$v_{t2} = \sqrt{\frac{mg}{c_2}} = \sqrt{\frac{80 \times 10}{80}} = \sqrt{10} \approx 3.16\,\text{m/s}$

开伞后终端速度从约 $63\,\text{m/s}$ 降至约 $3\,\text{m/s}$，降落伞大幅增加了阻力系数，保证安全着陆。

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练习题

选择题

第1题（考查知识点：多物体系统加速度与绳中张力）

质量 $m_1 = 6\,\text{kg}$ 和 $m_2 = 4\,\text{kg}$ 的两个物块用轻绳相连，放在光滑水平面上，对 $m_1$ 施加水平力 $F = 20\,\text{N}$，则绳中张力 $T$ 为：

A. $20\,\text{N}$　　　B. $12\,\text{N}$　　　C. $8\,\text{N}$　　　D. $4\,\text{N}$

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答案：C

整体加速度：$a = \dfrac{F}{m_1 + m_2} = \dfrac{20}{10} = 2\,\text{m/s}^2$

绳中张力等于 $m_2$ 所需的合力：$T = m_2 \cdot a = 4 \times 2 = 8\,\text{N}$，选 C。

第2题（考查知识点：静摩擦力与动摩擦力的判断）

质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的物块放在水平地面上，$\mu_s = 0.4$，$\mu_k = 0.3$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。施加水平推力 $F = 15\,\text{N}$ 时，物块所受摩擦力的大小为：

A. $15\,\text{N}$　　　B. $20\,\text{N}$　　　C. $12\,\text{N}$　　　D. $0$

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答案：A

最大静摩擦力：$f_{s,\max} = \mu_s mg = 0.4 \times 5 \times 10 = 20\,\text{N}$

$F = 15\,\text{N} < 20\,\text{N}$，物块未运动，静摩擦力与推力等大：$f_s = 15\,\text{N}$，选 A。

第3题（考查知识点：竖直圆周运动最高点临界速度）

一个质量 $m = 0.2\,\text{kg}$ 的小球用细绳系住，在竖直平面内做圆周运动，圆的半径 $R = 0.5\,\text{m}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。绳子在最高点不断裂的最低速度是：

A. $1\,\text{m/s}$　　　B. $\sqrt{5}\,\text{m/s}$　　　C. $5\,\text{m/s}$　　　D. $\sqrt{10}\,\text{m/s}$

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答案：B

最高点临界速度：$v_{\min} = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.24\,\text{m/s}$，选 B。

此时绳中张力恰好为零，再慢则绳子松弛，小球脱离圆轨道。

第4题（考查知识点：终端速度与质量的关系）

两个形状相同的小球，质量分别为 $m$ 和 $4m$，在空气中自由下落（空气阻力与速度平方成正比，比例系数 $c$ 相同）。两者终端速度之比 $v_{t1} : v_{t2}$ 为：

A. $1:4$　　　B. $1:2$　　　C. $1:\sqrt{2}$　　　D. $2:1$

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答案：B

终端速度公式 $v_t = \sqrt{\dfrac{mg}{c}}$，两球形状相同故 $c$ 相同：

$\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

两者终端速度之比为 $1:2$，选 B。

计算题

第5题（考查知识点：斜面摩擦与牛顿第二定律）

质量 $m = 4\,\text{kg}$ 的物块从倾角 $\theta = 37^{\circ}$ 的粗糙斜面顶端由静止开始下滑，斜面长 $L = 5\,\text{m}$。已知 $\sin 37^{\circ} = 0.6$，$\cos 37^{\circ} = 0.8$，动摩擦系数 $\mu_k = 0.25$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求物块沿斜面下滑的加速度；

（2）求物块滑到斜面底端时的速度大小。

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解题过程：

（1）垂直斜面方向，法向力：

$N = mg\cos\theta = 4 \times 10 \times 0.8 = 32\,\text{N}$

动摩擦力（沿斜面向上）：

$f_k = \mu_k N = 0.25 \times 32 = 8\,\text{N}$

沿斜面方向（取下滑方向为正）：

$ma = mg\sin\theta - f_k = 4 \times 10 \times 0.6 - 8 = 24 - 8 = 16\,\text{N}$

$a = \frac{16}{4} = 4\,\text{m/s}^2$

（2）由运动学公式 $v^2 = 2aL$（初速度为零）：

$v = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \times 4 \times 5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32\,\text{m/s}$

第6题（考查知识点：竖直圆周运动的最低点与最高点张力）

一根长 $L = 1\,\text{m}$ 的轻绳，一端固定，另一端系一质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的小球，小球在竖直平面内做完整圆周运动，经过最低点时的速度 $v = 8\,\text{m/s}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求小球经过最低点时绳中张力；

（2）求小球经过最高点时绳中张力；

（3）判断绳子在最高点是否会断裂（设绳子最大承受拉力为 $30\,\text{N}$）。

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解题过程：

（1）最低点，绳中张力 $T_{\text{低}}$ 减去重力提供向心力：

$T_{\text{低}} - mg = \frac{mv^2}{L}$

$T_{\text{低}} = mg + \frac{mv^2}{L} = 0.5 \times 10 + \frac{0.5 \times 64}{1} = 5 + 32 = 37\,\text{N}$

（2）从最低点到最高点，高度增加 $2L = 2\,\text{m}$，由机械能守恒（绳中张力不做功）求最高点速度：

$\frac{1}{2}mv_{\text{高}}^2 = \frac{1}{2}mv^2 - mg \cdot 2L$

$v_{\text{高}}^2 = v^2 - 4gL = 64 - 4 \times 10 \times 1 = 24\,\text{m}^2/\text{s}^2$

最高点，重力与绳中张力均指向圆心（向下），共同提供向心力：

$T_{\text{高}} + mg = \frac{mv_{\text{高}}^2}{L}$

$T_{\text{高}} = \frac{mv_{\text{高}}^2}{L} - mg = \frac{0.5 \times 24}{1} - 0.5 \times 10 = 12 - 5 = 7\,\text{N}$

（3）最高点张力 $T_{\text{高}} = 7\,\text{N} < 30\,\text{N}$，绳子不会断裂。

注意：最低点张力 $T_{\text{低}} = 37\,\text{N} > 30\,\text{N}$，若绳子最大承受拉力只有 $30\,\text{N}$，则绳子在最低点已经断裂，而不是在最高点。