势能与能量守恒

动能定理揭示了合外力做功与物体动能变化的关系。但有一类力非常特别——无论物体走哪条路，只要起点和终点相同，这类力做的功就相同。正是这一性质，使得物理学中引入了“势能”的概念。将势能与动能合并，就得到了机械能守恒定律，这是力学中最有力的工具之一。

保守力与非保守力

力做的功是否只与位置有关、而与路径无关，是区分保守力和非保守力的核心标准。

保守力：物体从 $A$ 运动到 $B$，无论经过何种路径，该力做的功始终相同。沿任意闭合路径一圈，保守力做的净功为零。重力、弹簧弹力、万有引力都属于保守力。

非保守力：力做的功与路径有关。同样从 $A$ 到 $B$，走不同路径，该力做的功不同。摩擦力是最典型的非保守力，路径越长，摩擦力做的负功越多。

例1　一个质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体从地面上的点 $A$ 出发，先沿斜面爬升 $h = 3\,\text{m}$，再沿弧形路径回到地面上的点 $B$，水平位移与高度差为零（$A$、$B$ 等高）。重力做了多少功？

由于 $A$、$B$ 等高，起终点高度差为零，重力做的功为：

$W_{\text{重力}} = mgh = mg \times 0 = 0\,\text{J}$

不管物体中间爬了多高、绕了多远，只要回到同一高度，重力做的净功为零。这正是保守力的核心特征。

重力势能

重力是保守力，因此可以为重力定义对应的势能——重力势能。以某一水平面为参考面（规定该处势能为零），高度为 $h$ 处的重力势能为：

$E_p = mgh$

其中 $m$ 是物体质量，$g$ 是重力加速度，$h$ 是物体相对于参考面的高度。

重力做功与重力势能变化的关系为：

$W_{\text{重力}} = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2}$

重力做正功（物体下降）时，重力势能减少；重力做负功（物体上升）时，重力势能增加。

例2　一本质量 $m = 1.5\,\text{kg}$ 的书从桌面上滑落，桌高 $H = 0.8\,\text{m}$，落地时速度为 $v$。以地面为参考面，书在桌面上时的重力势能是多少？从桌面落到地面过程中，重力做了多少功？

桌面上的重力势能：

$E_p = mgH = 1.5 \times 10 \times 0.8 = 12\,\text{J}$

落地时高度为零，重力势能为 $0\,\text{J}$。重力做的功等于势能减少量：

$W_{\text{重力}} = E_{p1} - E_{p2} = 12 - 0 = 12\,\text{J}$

弹性势能

弹簧被压缩或拉伸时储存的能量称为弹性势能。弹力也是保守力，因此弹性势能同样具有路径无关的性质。

对于一根劲度系数为 $k$ 的弹簧，形变量为 $x$（伸长或压缩）时，弹性势能为：

$E_{弹} = \frac{1}{2}kx^2$

弹力做的功等于弹性势能的减少量：

$W_{\text{弹力}} = -\Delta E_{弹} = E_{弹1} - E_{弹2}$

例3　一根劲度系数 $k = 200\,\text{N/m}$ 的弹簧，自然长度为 $0.5\,\text{m}$。将其压缩到长度 $0.3\,\text{m}$ 时，弹性势能是多少？若将其从压缩状态释放到自然长度，弹力做了多少功？

压缩量：$x = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\text{m}$

弹性势能：

$E_{弹} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.2)^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.04 = 4\,\text{J}$

释放到自然长度后，弹性势能变为零，弹力做的功等于势能减少量：

$W_{\text{弹力}} = E_{弹1} - E_{弹2} = 4 - 0 = 4\,\text{J}$

机械能守恒定律

动能与势能（重力势能和弹性势能）的总和称为机械能：

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh \quad \text{（只有重力时）}$

$E = E_k + E_{弹} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \quad \text{（只有弹力时）}$

当一个系统中只有保守力做功（重力和弹力），没有摩擦力等非保守力做功时，系统的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律：

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

即：

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$

机械能守恒的适用条件归纳如下：

例4　一个质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的小球从高度 $H = 5\,\text{m}$ 处由静止开始自由下落（忽略空气阻力），以地面为参考面，求小球落地时的速度。

初状态：$v_1 = 0$，$h_1 = H = 5\,\text{m}$

末状态：$v_2 = ?$，$h_2 = 0$

由机械能守恒：

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$

$0 + mgH = \frac{1}{2}mv_2^2 + 0$

$v_2 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\,\text{m/s}$

质量 $m$ 在推导中完全消掉，说明落地速度与质量无关，这与自由落体的结论完全一致。

例5（过山车过顶端）　过山车轨道最高点高度为 $h = 20\,\text{m}$，轨道顶端圆弧半径 $R = 5\,\text{m}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。要使过山车在最高点不脱轨，最低点的最小速度是多少？

在最高点保持圆周运动的临界条件（法向力为零时）：

$mg = \frac{mv_{顶}^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_{顶,\min} = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 5} = \sqrt{50}\,\text{m/s}$

设最低点速度为 $v_0$，最低点取参考面，由机械能守恒（高度差为 $h$）：

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_{顶}^2 + mgh$

$v_0 = \sqrt{v_{顶}^2 + 2gh} = \sqrt{50 + 2 \times 10 \times 20} = \sqrt{50 + 400} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2} \approx 21.2\,\text{m/s}$

有摩擦时的能量转化

当摩擦力做功时，机械能不再守恒，一部分机械能转化为热能。摩擦力做的功（取绝对值）就等于产生的热量：

$Q = f_k \cdot d$

其中 $f_k$ 是动摩擦力，$d$ 是物体相对于接触面的滑动距离。

此时能量方程修正为：

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} + Q$

即：

$E_{\text{初}} = E_{\text{末}} + Q \quad \Rightarrow \quad \Delta E_{\text{机械}} = -Q$

机械能的减少量等于摩擦产生的热量，这些热量不能自动转化回机械能（热力学第二定律的体现）。

例6　质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物块从高度 $h = 4\,\text{m}$ 的斜面顶端由静止滑下，动摩擦系数 $\mu_k = 0.3$，斜面倾角 $\theta ={}^{}$，。求物块到达斜面底端时的速度。

斜面长度：

$L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{4}{0.5} = 8\,\text{m}$

法向力：

$N = mg\cos\theta = 2 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3\,\text{N}$

摩擦力做的功（取正值，即产生的热量）：

$Q = f_k \cdot L = \mu_k N \cdot L = 0.3 \times 17.3 \times 8 \approx 41.5\,\text{J}$

由能量方程（初动能为零，末势能为零，参考面取底端）：

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + Q$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgh - Q = 2 \times 10 \times 4 - 41.5 = 80 - 41.5 = 38.5\,\text{J}$

$v = \sqrt{\frac{2 \times 38.5}{2}} = \sqrt{38.5} \approx 6.2\,\text{m/s}$

若没有摩擦，落地速度应为 $\sqrt{2gh} = \sqrt{80} \approx 8.9\,\text{m/s}$，摩擦使末速度明显减小。

练习题

选择题

第1题（考查知识点：保守力做功与路径的关系）

一个质量 $m = 1\,\text{kg}$ 的物体从 $A$ 点出发，经过不同路径到达同一高度的 $B$ 点（$A$、$B$ 等高）。路径一为直线水平滑动，路径二为先升高 $2\,\text{m}$ 再下降 $$ 的曲线。两条路径中重力做功之比 为：

A. $1:1$　　　B. $1:2$　　　C. $2:1$　　　D. $0:1$

第2题（考查知识点：弹性势能与形变量的关系）

弹簧劲度系数 $k = 500\,\text{N/m}$，将其从自然长度压缩 $x_1 = 0.1\,\text{m}$ 时，弹性势能为 $E_1$；再继续压缩到 时，弹性势能为 。则 为：

A. $1:2$　　　B. $1:4$　　　C. $2:1$　　　D. $4:1$

第3题（考查知识点：机械能守恒的适用条件）

下列哪种情形中，物体的机械能严格守恒？

A. 物体在粗糙斜面上匀速下滑

B. 物体在光滑斜面上由静止开始下滑

C. 物体被绳拉着在粗糙水平面上匀速运动

D. 物体在空气中以一定初速度抛出（考虑空气阻力）

第4题（考查知识点：有摩擦时的能量转化）

质量 $m = 3\,\text{kg}$ 的物体从高度 $h = 5\,\text{m}$ 处由静止开始沿粗糙斜面下滑，到达底端时速度 $v = 6\,\text{m/s}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。下滑过程中因摩擦产生的热量 为：

A. $96\,\text{J}$　　　B. $54\,\text{J}$　　　C. $150\,\text{J}$　　　D. $42\,\text{J}$

计算题

第5题（考查知识点：机械能守恒定律的综合应用）

如图所示，一根轻弹簧竖直放置，下端固定在地面，上端与质量 $m = 0.4\,\text{kg}$ 的物块接触（未粘连）。将物块向下压缩弹簧 $x = 0.1\,\text{m}$ 后由静止释放，已知弹簧劲度系数 $k = 800\,\text{N/m}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。忽略空气阻力，以弹簧自然长度顶端为参考面。

（1）求物块在弹簧自然长度处（弹力为零时）的速度；

（2）求物块能上升到参考面以上的最大高度。

第6题（考查知识点：有摩擦时的能量守恒方程）

质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物块从高度 $H = 6\,\text{m}$ 的斜面顶端以初速度 $v_0 = 2\,\text{m/s}$ 沿斜面向下运动，斜面倾角 ，动摩擦系数 ，，，。

（1）求物块滑到斜面底端时的速度；

（2）求此过程中因摩擦损失的机械能。

$E_2 = \frac{1}{2}kx_2^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times (0.2)^2 = 10\,\text{J}$

$E_1 : E_2 = 2.5 : 10 = 1 : 4$

形变量翻倍，弹性势能变为原来的 4 倍（因为势能与形变量的平方成正比），选 B。

摩擦产生的热量：

$Q = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = 150 - 54 = 96\,\text{J}$

选 A。

（1）物块到达参考面（$h = 0$）时，弹簧恢复自然长度，弹性势能为零，设此时速度为 $v_2$：

由机械能守恒（重力势能 + 弹性势能 + 动能守恒）：

$\frac{1}{2}kx^2 + mg(-x) + 0 = 0 + 0 + \frac{1}{2}mv_2^2$

$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}kx^2 - mgx$

$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times (0.1)^2 - 0.4 \times 10 \times 0.1$

$\frac{1}{2}mv_2^2 = 4 - 0.4 = 3.6\,\text{J}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \times 3.6}{0.4}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\,\text{m/s}$

（2）物块离开弹簧后只受重力，继续上升，设最高点高度为 $H$（此时速度为零）：

$\frac{1}{2}mv_2^2 = mgH$

$H = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{18}{2 \times 10} = 0.9\,\text{m}$

物块能上升到参考面以上 $0.9\,\text{m}$ 处。

法向力：

$N = mg\cos\theta = 2 \times 10 \times 0.866 = 17.32\,\text{N}$

动摩擦力：

$f_k = \mu_k N = 0.2 \times 17.32 = 3.46\,\text{N}$

摩擦产生的热量：

$Q = f_k \cdot L = 3.46 \times 12 = 41.5\,\text{J}$

（1）以底端为参考面，初机械能：

$E_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgH = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 + 2 \times 10 \times 6 = 4 + 120 = 124\,\text{J}$

末机械能（高度为零）：

$E_{\text{末}} = E_{\text{初}} - Q = 124 - 41.5 = 82.5\,\text{J} = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{\frac{2 \times 82.5}{2}} = \sqrt{82.5} \approx 9.08\,\text{m/s}$

（2）因摩擦损失的机械能即为产生的热量：

$\Delta E_{\text{机械}} = Q = 41.5\,\text{J}$