动量、冲量与碰撞

我们已经用牛顿定律分析了物体的运动，又用能量守恒解决了很多问题。但有一类场景——两个物体猛烈撞击的瞬间——用这两种方法都不方便：碰撞时间极短，相互作用力随时间剧烈变化，既难以精确测量，也难以用 $F=ma$ 逐步追踪。这时，动量和冲量的概念提供了一条更直接的途径。从炮弹的发射到足球的射门，从汽车的安全气囊到粒子物理实验中的对撞机，动量守恒都是分析问题的核心工具。

动量与冲量

物体的动量定义为质量与速度的乘积：

$\vec{p} = m\vec{v}$

动量是矢量，方向与速度方向相同，国际单位为 $\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$（等价于 $\text{N}{\cdot}\text{s}$）。一辆 $1000\,\text{kg}$ 的轿车以 $20\,\text{m/s}$ 行驶，其动量大小为 $2\times10^4\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$；一颗 的子弹以 飞行，动量大小为 ，远小于轿车，但足以造成巨大破坏，这说明动量的效果与速度大小和质量都有关。

当一个力 $\vec{F}$ 在时间 $\Delta t$ 内作用于物体时，定义冲量为：

$\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t$

若力随时间变化，则冲量为力对时间的积分：

$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt$

冲量也是矢量，单位为 $\text{N}{\cdot}\text{s}$，方向与力的方向相同（或沿合力方向）。

由牛顿第二定律 $\vec{F} = m\vec{a} = m\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$，直接推出：

$\vec{I} = \Delta\vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$

例1　一个 $0.2\,\text{kg}$ 的足球以 $10\,\text{m/s}$ 水平飞来，被守门员正面接住（速度变为零），接球时间为 $0.05\,\text{s}$，求守门员手对球施加的平均力。

取球初速方向为正方向：

$\Delta p = m v_2 - m v_1 = 0.2 \times 0 - 0.2 \times 10 = -2\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-2}{0.05} = -40\,\text{N}$

负号表示力的方向与初速方向相反，大小为 $40\,\text{N}$。

例2（安全气囊的原理）　同样是使乘客速度从 $15\,\text{m/s}$ 减为零，若碰撞时间为 $0.01\,\text{s}$（无气囊），乘客（$70\,\text{kg}$）受到的平均力为：

$F_1 = \frac{m\Delta v}{\Delta t} = \frac{70\times15}{0.01} = 1.05\times10^5\,\text{N}$

有安全气囊时碰撞时间延长到 $0.15\,\text{s}$：

$F_2 = \frac{70\times15}{0.15} = 7000\,\text{N}$

冲量相同，但作用时间增大15倍，平均力减小为原来的 $1/15$，这就是安全气囊能救命的物理原因。

动量守恒定律

考虑由多个物体组成的系统。系统受到的力分为两类：系统内部各物体之间的内力，以及来自系统外部的外力。

由牛顿第三定律，每一对内力大小相等、方向相反，对整个系统的合冲量恰好抵消。因此，系统总动量的变化只取决于合外力的冲量：

$\vec{F}_{\text{外}} = \frac{d\vec{p}_{\text{总}}}{dt}$

当系统所受合外力为零时，系统总动量保持不变：

$\vec{p}_{\text{总}} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{常量}$

这就是动量守恒定律。

例3　一门大炮（$M = 500\,\text{kg}$）静止在光滑地面上，向水平方向发射炮弹（$m = 5\,\text{kg}$，速度 $v = 400\,\text{m/s}$），求炮筒的后退速度。

发射前系统静止，总动量为零：

$M V + m v = 0$

$V = -\frac{mv}{M} = -\frac{5\times400}{500} = -4\,\text{m/s}$

炮筒以 $4\,\text{m/s}$ 向后退，负号表示方向与炮弹相反。

质心与质心运动

对于由多个质点组成的系统，质心是一个特殊的几何点，其位置定义为各质点位置的加权平均：

$\vec{r}_C = \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots}$

对时间求导，得到质心速度：

$\vec{v}_C = \frac{\sum_i m_i \vec{v}_i}{M_{\text{总}}} = \frac{\vec{p}_{\text{总}}}{M_{\text{总}}}$

这说明：系统的总动量等于总质量乘以质心速度。动量守恒意味着质心做匀速直线运动（或保持静止）。

例4　地面上放着两个物体，$m_1 = 3\,\text{kg}$ 在 $x = 0$，$m_2 = 1\,\text{kg}$ 在 ，求系统质心位置。

$x_C = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{3\times0 + 1\times4}{3+1} = \frac{4}{4} = 1\,\text{m}$

质心在 $x = 1\,\text{m}$ 处，靠近质量更大的 $m_1$ 一侧，这符合直觉。

例5　一个原来静止在冰面上的人（$60\,\text{kg}$）向右扔出一个 $2\,\text{kg}$ 的包裹，包裹速度为 $5\,\text{m/s}$（向右）。问人在扔出包裹后的速度，以及此后系统质心如何运动。

总动量守恒（初始为零）：

$60 V_{\text{人}} + 2\times5 = 0 \implies V_{\text{人}} = -\frac{10}{60} \approx -0.167\,\text{m/s}$

人向左退，速度约 $0.167\,\text{m/s}$。系统质心速度：

$v_C = \frac{\vec{p}_{\text{总}}}{M} = \frac{0}{62} = 0$

质心始终静止，这与初始状态（系统静止，总动量为零）完全一致。

碰撞的分类

碰撞是两物体在极短时间内发生强烈相互作用的过程。根据碰撞前后动能是否守恒，碰撞分为以下三类：

动量在所有类型的碰撞中都守恒（合外力冲量可忽略），但动能只在弹性碰撞中守恒。

弹性碰撞

以最简单的一维弹性碰撞为例：$m_1$ 以速度 $v_1$ 向右运动，$m_2$ 静止（$v_2=0$），碰撞后速度分别为 和 。

联立动量守恒和动能守恒两个方程：

$m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$

$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2$

解出碰后速度：

$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$

这两个公式描述了三种典型情形：

例6　台球桌上，白球（$m = 0.17\,\text{kg}$）以 $2\,\text{m/s}$ 正碰静止的彩球（同质量）。求碰后两球速度。

因 $m_1 = m_2$：

$v_1' = \frac{m-m}{m+m}\times2 = 0\,\text{m/s}, \quad v_2' = \frac{2m}{m+m}\times2 = 2\,\text{m/s}$

白球停下，彩球以 $2\,\text{m/s}$ 沿原方向运动——这正是打台球时最常见的现象。

完全非弹性碰撞

完全非弹性碰撞后两物体合并为一体，以共同速度 $v'$ 运动。由动量守恒：

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$

$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

碰后合并体的速度就是碰前系统质心的速度，这验证了质心速度在合外力为零时保持不变。

碰撞中损失的动能为：

$\Delta E_k = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v'^2$

可以化简为：

$\Delta E_k = \frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2$

例7（弹道摆）　一颗 $m = 0.01\,\text{kg}$ 的子弹以 $v_0 = 300\,\text{m/s}$ 水平射入静止的木块（$M = 1\,\text{kg}$）并嵌入其中，求系统速度及动能损失。

$v' = \frac{mv_0}{m+M} = \frac{0.01\times300}{0.01+1} = \frac{3}{1.01} \approx 2.97\,\text{m/s}$

动能损失：

$\Delta E_k = \frac{mM}{2(m+M)}v_0^2 = \frac{0.01\times1}{2\times1.01}\times300^2 = \frac{0.01}{2.02}\times90000 \approx 446\,\text{J}$

而系统碰后的总动能：

$E_k' = \frac{1}{2}(m+M)v'^2 = \frac{1}{2}\times1.01\times2.97^2 \approx 4.45\,\text{J}$

碰前动能为 $\frac{1}{2}\times0.01\times300^2 = 450\,\text{J}$，损失约 $99\%$，绝大部分能量转化为热能和形变。弹道摆正是利用碰后的共同速度来反推子弹初速，在历史上是测量子弹速度的重要工具。

质心参考系

以质心为原点、随质心一起运动的参考系称为质心参考系（CM 系）。在 CM 系中，系统总动量恒为零：

$\vec{p}_{\text{总,CM}} = \sum_i m_i \vec{u}_i = \vec{0}$

其中 $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_C$ 是各质点在 CM 系中的速度。

CM 系的优势在于分析对称性：对于两体弹性碰撞，在 CM 系中两个粒子的速度大小不变，只改变方向，使计算大为简化。

以两体一维弹性碰撞为例，在 CM 系中，碰前碰后各粒子速度大小均不变，只是互换了方向，能量也对称分配。变换回实验室参考系只需加上质心速度 $\vec{v}_C$：

$\vec{v}_i = \vec{u}_i + \vec{v}_C$

练习题

选择题

第1题　一个 $2\,\text{kg}$ 的物体静止在光滑水平面上，受到一个水平力的作用，力的大小为 $10\,\text{N}$，持续时间为 $0.6\,\text{s}$，则该物体动量的变化量大小为（　　）

A. $2\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

B. $6\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

C. $10\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

D. $12\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

第2题　在光滑水平冰面上，甲（$100\,\text{kg}$）静止，乙（$40\,\text{kg}$）以 $3\,\text{m/s}$ 向右运动，两人相撞后乙的速度变为 $1\,\text{m/s}$ 向右。甲碰后的速度为（　　）

A. $0.8\,\text{m/s}$ 向右

B. $0.8\,\text{m/s}$ 向左

C. $1.2\,\text{m/s}$ 向右

D. $1.2\,\text{m/s}$ 向左

第3题　以下关于弹性碰撞和非弹性碰撞的说法，正确的是（　　）

A. 弹性碰撞中，两物体碰后速度一定相同

B. 完全非弹性碰撞中，损失的动能最大，所有动能均转化为热能

C. 所有碰撞过程中，系统总动量都守恒（忽略碰撞时外力影响）

D. 非弹性碰撞违反了能量守恒定律

第4题　子弹（$m = 0.02\,\text{kg}$）以水平速度 $v_0$ 射入静止在光滑水平面上的木块（$M = 1.98\,\text{kg}$）并嵌入其中，碰后系统速度为 $2\,\text{m/s}$。则子弹初速 为（　　）

A. $100\,\text{m/s}$

B. $150\,\text{m/s}$

C. $200\,\text{m/s}$

D. $400\,\text{m/s}$

计算题

第5题　在一次碰撞实验中，小球 A（$m_A = 0.3\,\text{kg}$）以 $v_A = 4\,\text{m/s}$ 向右运动，与静止的小球 B（$m_B=0.1\text{kg}$）发生弹性碰撞（光滑水平面，一维碰撞）。

（1）求碰后 A、B 两球的速度。

（2）验证碰撞前后系统总动能守恒。

第6题　一辆质量 $M = 1200\,\text{kg}$ 的货车以 $v_1 = 10\,\text{m/s}$ 向东行驶，一辆质量 $m = 800\,\text{kg}$ 的轿车以 向西行驶，两车在十字路口迎面相撞后车辆变形严重，合在一起运动（完全非弹性碰撞）。

（1）求碰后两车合并体的速度（大小和方向）。

（2）求碰撞过程中损失的动能。

（3）碰前货车的动量大小是多少？碰后合并体的动量大小是多少？两者是否相等？为什么？

$V_{\text{甲}} = \frac{80}{100} = 0.8\,\text{m/s}$

甲碰后以 $0.8\,\text{m/s}$ 向右运动。验算：碰后总动量 $= 100\times0.8 + 40\times1 = 80 + 40 = 120\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$，与碰前相等，守恒成立。

C 正确：无论哪种碰撞类型，只要碰撞时间极短（合外力冲量可忽略），系统总动量均守恒，这是动量守恒定律的普遍性。

D 错：非弹性碰撞中动能减少，但总能量守恒，减少的动能转化为热能、声音或物体形变，并未消失。

子弹初速为 $200\,\text{m/s}$，选 C。

$v_B' = \frac{2m_A}{m_A + m_B}\,v_A = \frac{2\times0.3}{0.3+0.1}\times4 = \frac{0.6}{0.4}\times4 = 6\,\text{m/s}$

碰后 A 以 $2\,\text{m/s}$ 向右运动，B 以 $6\,\text{m/s}$ 向右运动。

（2）验证动能守恒：

碰前总动能：

$E_{k,\text{前}} = \frac{1}{2}m_A v_A^2 = \frac{1}{2}\times0.3\times4^2 = 0.15\times16 = 2.4\,\text{J}$

碰后总动能：

$E_{k,\text{后}} = \frac{1}{2}m_A v_A'^2 + \frac{1}{2}m_B v_B'^2 = \frac{1}{2}\times0.3\times2^2 + \frac{1}{2}\times0.1\times6^2$

$= 0.15\times4 + 0.05\times36 = 0.6 + 1.8 = 2.4\,\text{J}$

碰前碰后总动能均为 $2.4\,\text{J}$，动能守恒得到验证。

$1200\times10 + 800\times(-15) = (1200+800)\,v'$

$12000 - 12000 = 2000\,v'$

$v' = 0\,\text{m/s}$

碰后合并体静止。两车碰前总动量恰好为零，碰后保持静止。

（2）动能损失：

碰前总动能：

$E_{k,\text{前}} = \frac{1}{2}\times1200\times10^2 + \frac{1}{2}\times800\times15^2$

$= \frac{1}{2}\times1200\times100 + \frac{1}{2}\times800\times225$

$= 60000 + 90000 = 150000\,\text{J} = 150\,\text{kJ}$

碰后动能：

$E_{k,\text{后}} = \frac{1}{2}(M+m)\,v'^2 = 0\,\text{J}$

动能损失：$\Delta E_k = 150000 - 0 = 150000\,\text{J} = 150\,\text{kJ}$

全部动能都转化为热能、声音和车辆形变，这也说明了为什么迎面碰撞事故如此严重。

（3）动量分析：

碰前货车动量大小：$p_{M} = 1200\times10 = 12000\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$（向东）

碰前轿车动量大小：$p_{m} = 800\times15 = 12000\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$（向西）

碰后合并体动量大小：$p' = 2000\times0 = 0\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$

货车单独的动量大小（$12000\,\text{kg}{\cdot}\text{m/s}$）与碰后合并体动量大小（$0$）不相等，但这并不违背动量守恒。动量守恒指的是系统总动量守恒，即碰前系统总动量（$+12000-12000=0$）等于碰后总动量（$0$）。单个物体的动量在碰撞中当然可以改变。