平面与空间运动

前面讨论的运动只在一条直线上进行。生活中更多的运动发生在平面乃至三维空间中——球被斜向踢出后沿曲线飞行，卫星绕地球公转，汽车在弯道上转向，这些都是平面运动。将矢量工具与运动学概念结合起来，就能系统描述这类运动。分析平面运动的核心思路，是将其拆分成两个互相独立的直线运动分别处理，最后再合成结果。

位置矢量、速度矢量与加速度矢量

在平面直角坐标系中，质点在某一时刻的位置可以用位置矢量 $\vec{r}$ 来描述：

$\vec{r} = x\,\hat{i} + y\,\hat{j}$

其中 $x$、$y$ 是质点在两个坐标轴方向上的分量，随时间变化。

从时刻 $t_1$ 到时刻 $t_2$，质点的位移矢量为两个时刻位置矢量之差：

$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (x_2 - x_1)\,\hat{i} + (y_2 - y_1)\,\hat{j}$

平均速度定义为位移除以经历的时间：

$\bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

令时间间隔趋近于零，取极限后得到某时刻的瞬时速度矢量：

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat{i} + \frac{dy}{dt}\,\hat{j} = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j}$

速度矢量的方向就是运动轨迹在该点的切线方向，速度大小（速率）为：

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

加速度矢量是速度矢量对时间的变化率：

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\,\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\,\hat{j} = a_x\,\hat{i} + a_y\,\hat{j}$

例1　一质点的位置随时间变化为 $x = 2t^2\,\text{m}$，$y = 3t\,\text{m}$（$t$ 以 $\text{s}$ 为单位）。求 $$ 时的速度矢量和加速度矢量。

对位置分量分别求导：

$v_x = \frac{dx}{dt} = 4t\,\text{m/s}, \quad v_y = \frac{dy}{dt} = 3\,\text{m/s}$

在 $t = 2\,\text{s}$ 时：$v_x = 8\,\text{m/s}$，$v_y = 3\,\text{m/s}$

$\vec{v} = (8\,\hat{i} + 3\,\hat{j})\,\text{m/s}, \quad v = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{73} \approx 8.54\,\text{m/s}$

再对速度分量求导：

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 4\,\text{m/s}^2, \quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = 0$

$\vec{a} = 4\,\hat{i}\,\text{m/s}^2$

加速度只在 $x$ 方向上，$y$ 方向做匀速运动，$x$ 方向做匀加速运动，两者独立进行。

抛体运动

将物体以一定速度抛出后，若忽略空气阻力，物体只受竖直向下的重力作用，加速度 $\vec{a} = -g\,\hat{j}$（取向上为正）。水平方向没有力，加速度为零。运动因此分解为：

两个方向的运动方程：

$x = v_{0x}\,t \qquad v_x = v_{0x}$

$y = v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g\,t^2 \qquad v_y = v_{0y} - g\,t$

水平抛体运动

水平抛体是初速度完全沿水平方向的特殊情形，即 $v_{0y} = 0$。以抛出点为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直向下为 $y$ 轴正方向（此时重力加速度取正值 $g$）：

$x = v_0\,t, \quad y = \frac{1}{2}g\,t^2$

消去 $t$ 得到轨迹方程：

$y = \frac{g}{2v_0^2}\,x^2$

这是一条开口向下（以抛出点为顶点，向右下方延伸）的抛物线。

例2　从 $20\,\text{m}$ 高的楼台水平抛出一个球，初速度 $v_0 = 10\,\text{m/s}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。求球落地时的水平位移和速度大小。

球落地时下落高度 $y = 20\,\text{m}$，由 $y = \dfrac{1}{2}g\,t^2$：

$t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2\,\text{s}$

水平位移：$x = v_0\,t = 10 \times 2 = 20\,\text{m}$

落地时速度分量：$v_x = 10\,\text{m/s}$，$v_y = g\,t = 10 \times 2 = 20\,\text{m/s}$

落地速度大小：

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} \approx 22.4\,\text{m/s}$

斜抛体运动

以速度 $v_0$、仰角 $\theta$ 斜向上抛出，初速度两分量为：

$v_{0x} = v_0\cos\theta, \quad v_{0y} = v_0\sin\theta$

三个重要量的推导如下表所示：

射程公式 $R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$ 中，当 $\sin 2\theta = 1$，即 时射程最远。

例3　足球以 $v_0 = 20\,\text{m/s}$、仰角 $\theta = 30^{\circ}$ 踢出，$g = 10\,\text{m/s}^2$，不计空气阻力。求最大高度、飞行时间和水平射程。

$v_{0x} = 20\cos 30^{\circ} = 10\sqrt{3} \approx 17.3\,\text{m/s}, \quad v_{0y} = 20\sin 30^{\circ} = 10\,\text{m/s}$

最大高度：

$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{100}{20} = 5\,\text{m}$

飞行时间：

$T = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{20}{10} = 2\,\text{s}$

水平射程：

$R = v_{0x} \cdot T = 17.3 \times 2 \approx 34.6\,\text{m}$

验算：$R = \dfrac{v_0^2\sin 60^{\circ}}{g} = \dfrac{400 \times 0.866}{10} \approx 34.6\,\text{m}$，两种方法结果一致。

匀速圆周运动

质点沿圆形轨道以恒定速率运动，称为匀速圆周运动。速率虽然不变，但速度方向时刻在变，因此存在加速度，这个加速度称为向心加速度。

设圆的半径为 $R$，质点的速率为 $v$，在极短时间 $\Delta t$ 内转过角度 $\Delta\theta$，角速度定义为：

$\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \quad (\text{单位：}\text{rad/s})$

线速度（速率）、角速度与半径的关系为：

$v = \omega R$

周期 $T$（转一圈所用时间）与角速度的关系：

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi R}{v}$

向心加速度方向始终指向圆心，大小为：

$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$

根据牛顿第二定律，产生向心加速度所需的合力称为向心力：

$F_c = m a_c = \frac{mv^2}{R} = m\omega^2 R$

例4　一辆汽车以 $v = 15\,\text{m/s}$ 的速度在半径 $R = 50\,\text{m}$ 的圆弧弯道上行驶，求向心加速度大小，以及质量 $m = 1000\,\text{kg}$ 的汽车所需的向心力。

$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{225}{50} = 4.5\,\text{m/s}^2$

$F_c = m\,a_c = 1000 \times 4.5 = 4500\,\text{N}$

该向心力由路面对轮胎的静摩擦力提供。若路面结冰、摩擦力不足，汽车就会沿切线方向冲出弯道。

例5　人造卫星在距地面高度 $h = 400\,\text{km}$ 的圆轨道上绕地球运行。已知地球半径 $R_E = 6400\,\text{km}$，地表重力加速度 $g_0 = 9.8\,\text{m/s}^2$，求卫星的运行速度。

卫星到地心的距离：$r = R_E + h = 6800\,\text{km} = 6.8 \times 10^6\,\text{m}$

卫星在轨处的重力加速度（由引力平方反比律）：

$g = g_0 \left(\frac{R_E}{r}\right)^2 = 9.8 \times \left(\frac{6400}{6800}\right)^2 \approx 8.68\,\text{m/s}^2$

重力充当向心力，即 $g = \dfrac{v^2}{r}$，解出卫星速度：

$v = \sqrt{g\,r} = \sqrt{8.68 \times 6.8 \times 10^6} \approx 7.68 \times 10^3\,\text{m/s}$

约为 $7.68\,\text{km/s}$，与实际观测值吻合。

相对运动与参考系变换

运动的描述离不开参考系。同一运动，在不同参考系中观察，结果可以完全不同。

设地面参考系为 $S$，参考系 $A$（如一艘船或一辆火车）相对地面以速度 $\vec{v}_{AS}$ 运动。物体 $$ 相对于 的速度为 ，则物体 相对于地面的速度为：

$\vec{v}_{PS} = \vec{v}_{PA} + \vec{v}_{AS}$

这就是速度合成定理（伽利略速度变换）。

例6　一条河宽 $d = 120\,\text{m}$，水流速度 $v_{\text{水}} = 2\,\text{m/s}$（向东）。船相对于水的速度 $v_{\text{船水}} = 3\,\text{m/s}$（垂直河岸，向北）。求船相对于地面的速度大小、方向，以及到达对岸时的漂移距离。

船相对地面的速度分量：$v_x = 2\,\text{m/s}$（东），$v_y = 3\,\text{m/s}$（北）

$v = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.61\,\text{m/s}$

与正北方向的夹角：$\theta = \arctan\dfrac{2}{3} \approx 33.7^{\circ}$（偏向正东）

渡河时间（以垂直河岸方向计算）：

$t = \frac{d}{v_y} = \frac{120}{3} = 40\,\text{s}$

向东漂移距离：

$x = v_x \times t = 2 \times 40 = 80\,\text{m}$

练习题

选择题

第1题（考查知识点：水平抛体运动的独立性）

从同一高度处，分别以 $v_1 = 5\,\text{m/s}$ 和 $v_2 = 10\,\text{m/s}$ 水平抛出两个物体，忽略空气阻力，则两者的比较结果是：

A. 飞行时间不同，落地时竖直速度不同

B. 飞行时间相同，水平位移不同，落地时竖直速度相同

C. 飞行时间相同，落地时合速度大小相同

D. 飞行时间不同，水平位移相同

第2题（考查知识点：斜抛体射程最大条件）

以相同初速度 $v_0$ 斜抛物体，下列哪个抛出角度使水平射程最大？

A. $30^{\circ}$　　　B. $45^{\circ}$　　　C. $60^{\circ}$　　　D. $90^{\circ}$

第3题（考查知识点：向心加速度与角速度的关系）

一个质点做匀速圆周运动，当角速度变为原来的 2 倍而半径不变时，向心加速度变为原来的：

A. 2 倍　　　B. 4 倍　　　C. $\dfrac{1}{2}$ 倍　　　D. 不变

第4题（考查知识点：相对运动速度合成）

一列火车以 $60\,\text{km/h}$ 向东行驶，车上乘客以 $5\,\text{km/h}$ 相对车厢向西走动。该乘客相对于地面的速度为：

A. $65\,\text{km/h}$，向东　　B. $55\,\text{km/h}$，向东　　C. $55\,\text{km/h}$，向西　　D. $5\,\text{km/h}$，向西

计算题

第5题（考查知识点：斜抛体运动综合计算）

一名运动员以 $v_0 = 15\,\text{m/s}$、仰角 $\theta = 53^{\circ}$ 的初速度抛出铅球，已知 $\sin 53^{\circ} = 0.8$，，，忽略空气阻力，将出手点视为地面（落地高度等于出手高度）。

（1）求初速度的水平和竖直分量；

（2）求铅球到达最高点时的速度大小；

（3）求铅球的飞行时间和水平射程。

第6题（考查知识点：匀速圆周运动与向心力）

游乐园的旋转飞椅中，座椅通过长 $L = 5\,\text{m}$ 的钢绳悬挂在旋转轴上，运转时钢绳与竖直方向的夹角 $\alpha = 37^{\circ}$，已知 $\sin 37^{\circ} = 0.6$，，。只考虑质量 的游客（忽略座椅自身重量）。

（1）分析游客的受力情况，写出竖直和水平方向的方程；

（2）求绳子中的张力 $T$ 和游客做圆周运动的半径 $r$；

（3）求游客运动的线速度大小。

向心加速度变为原来的 4 倍，选 B。

方向向东，选 B。

$v_{0y} = v_0\sin 53^{\circ} = 15 \times 0.8 = 12\,\text{m/s}$

（2）最高点时竖直速度为零，水平速度不变：

$v_{\text{顶}} = v_{0x} = 9\,\text{m/s}$

（3）上升到最高点所需时间：

$t_1 = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{12}{10} = 1.2\,\text{s}$

由轨迹左右对称性，总飞行时间：

$T = 2t_1 = 2.4\,\text{s}$

水平射程：

$R = v_{0x} \times T = 9 \times 2.4 = 21.6\,\text{m}$

水平方向提供向心力：

$F_T\sin\alpha = \frac{mv^2}{r}$

（2）由竖直方向平衡方程：

$F_T = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{60 \times 10}{0.8} = 750\,\text{N}$

圆周运动半径（游客到转轴的水平距离）：

$r = L\sin\alpha = 5 \times 0.6 = 3\,\text{m}$

（3）将 $F_T$、$\alpha$、$r$、$m$ 代入水平方向方程：

$v^2 = \frac{F_T\sin\alpha \cdot r}{m} = \frac{750 \times 0.6 \times 3}{60} = 22.5\,\text{m}^2/\text{s}^2$

$v = \sqrt{22.5} \approx 4.74\,\text{m/s}$