牛顿运动定律

前面的运动学部分描述了物体“怎样运动”——位移、速度、加速度的变化规律。但为什么有的物体静止不动，有的物体越来越快，有的物体做曲线运动？这些问题需要从“力”的角度来回答。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，将运动与力的关系归结为三条定律，构成了经典力学的核心基础，从推自行车到火箭升空，都遵循同样的规律。

牛顿第一定律与惯性

牛顿第一定律（又称惯性定律）指出：若一个物体不受任何外力，或所受合外力为零，该物体将保持静止状态或匀速直线运动状态不变，直到有外力改变它的运动状态为止。

这条定律包含两层意思：静止的物体在合外力为零时继续静止；运动的物体在合外力为零时继续做匀速直线运动。物体这种抵抗运动状态改变的属性称为惯性，惯性的大小用质量来量度——质量越大，惯性越大，改变其运动状态需要施加的力也越大。

例1　公共汽车突然刹车，车上站立的乘客向前倾倒。从惯性的角度解释这一现象。

汽车刹车时，车厢突然减速。乘客的脚底受到车厢地板的摩擦力作用，随车厢一起减速；但上半身由于惯性，仍保持原来向前运动的状态，没有足够的外力及时让它减速，于是乘客整体向前倾倒。这正是物体在没有足够外力时保持原来运动状态的直接体现。

惯性参考系

牛顿第一定律并非在任何参考系中都成立。坐在急速加速的汽车里，人即使不受任何水平外力，也会感觉被”推向座椅背“；站在旋转的圆盘上，即使没有切向力作用，也会感觉被向外甩。这类自身具有加速度的参考系称为非惯性参考系。

惯性参考系是牛顿第一定律在其中成立的参考系，即在该参考系中，合外力为零的物体保持匀速直线运动或静止。地面对于绝大多数工程问题可视为惯性参考系；严格来说，地面因地球自转有微小的加速度，但对普通力学问题影响极小，可以忽略。

牛顿第二定律

牛顿第二定律建立了力与加速度之间的定量关系：物体所受合外力等于其质量与加速度的乘积。

$\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$

这个公式包含几个关键点：

在直角坐标系中，矢量方程分解为两个分量方程：

$F_x = ma_x, \quad F_y = ma_y$

实际解题时，先选好坐标轴，再把各力的分量代入分量方程分别求解。

例2　质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体受到两个水平力：$F_1 = 10\,\text{N}$（向东），$F_2 = 6\,\text{N}$（向北）。求物体的加速度大小和方向。

合力的 $x$ 分量（向东为正）：$F_x = 10\,\text{N}$

合力的 $y$ 分量（向北为正）：$F_y = 6\,\text{N}$

合力大小：

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11.66\,\text{N}$

加速度大小：

$a = \frac{F}{m} = \frac{11.66}{2} \approx 5.83\,\text{m/s}^2$

加速度方向与合力方向相同，与正东方向的夹角：$\theta = \arctan\dfrac{6}{10} \approx 31^{\circ}$（偏北）。

例3　质量 $M = 1500\,\text{kg}$ 的轿车在平直公路上加速行驶，发动机提供的驱动力 $F = 4500\,\text{N}$，行驶过程中受到的总阻力 $f = 1500\,\text{N}$。求汽车的加速度。

取前进方向为正方向，合外力：

$F_{\text{合}} = F - f = 4500 - 1500 = 3000\,\text{N}$

加速度：

$a = \frac{F_{\text{合}}}{M} = \frac{3000}{1500} = 2\,\text{m/s}^2$

加速度方向与前进方向相同，大小为 $2\,\text{m/s}^2$。

牛顿第三定律

牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）指出：两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反，沿同一直线，分别作用在两个不同的物体上，同时出现，同时消失。

$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$

其中 $\vec{F}_{AB}$ 表示物体 $A$ 对物体 $B$ 的力，$$ 表示物体 对物体 的力。

下面列出了几对典型的作用力与反作用力：

作用力与反作用力和二力平衡容易混淆，下表列出两者的本质区别：

例4　马拉车时，马对车施加向前的拉力，车对马施加向后的拉力，两者大小相等、方向相反。既然如此，为什么马和车还能向前加速？

这对作用力与反作用力分别作用在不同物体上，不能相互抵消。

对马进行分析：马受到地面向前的摩擦力（支撑马向前蹬地的反作用力）和车对马向后的拉力，若地面给马的摩擦力大于车对马的拉力，马的合外力向前，马向前加速。

对车进行分析：车受到马对车的向前拉力和地面阻力，若马的拉力大于地面阻力，车的合外力向前，车也向前加速。

常见力的模型

力学中最常遇到的力有四种：重力、弹力、摩擦力和张力。

重力

地球表面附近，质量为 $m$ 的物体所受重力为：

$G = mg$

其中 $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$（题目中常取 $10\,\text{m/s}^2$），方向竖直向下，作用点在物体重心处。重力的本质是地球对物体的万有引力（精确来说还包含一个因地球自转引起的微小离心效应，通常忽略）。

弹力与胡克定律

弹力是物体发生形变后试图恢复原状而产生的力。对于弹簧，在弹性限度内，弹力遵从胡克定律：

$F = kx$

其中 $k$ 是弹簧的劲度系数（单位：$\text{N/m}$），$x$ 是弹簧的形变量（伸长量或压缩量）。弹力方向始终与形变方向相反。

接触面之间的支持力（法向力）也是弹力，方向垂直于接触面，指向被支持物体。

摩擦力

摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力两类。

静摩擦力在两物体相互接触且相对静止时出现，大小由平衡条件决定，最大值约为：

$f_{s,\max} \approx \mu_s N$

动摩擦力在两物体发生相对滑动时出现，大小为：

$f_k = \mu_k N$

其中 $\mu_s$、$\mu_k$ 分别为静摩擦因数和动摩擦因数（无量纲），$N$ 为法向力大小。通常 $\mu_k < \mu_s$。

张力

绳子、链条等柔性连接件被拉紧时，内部各处的拉伸力称为张力。对于质量可忽略的理想绳子，绳中各处张力大小相等，方向沿绳子分别指向两端。

受力分析与自由体图

受力分析是解决力学问题最重要的环节。将研究对象从周围环境中单独“隔离”出来，只画出作用在该物体上的所有外力，这样得到的示意图称为自由体图（Free Body Diagram）。

绘制自由体图的步骤如下表所示：

例5　质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的木块放在水平桌面上，受到水平推力 $F = 25\,\text{N}$ 的作用，木块与桌面之间的动摩擦因数 $\mu_k = 0.3$，$g$。判断木块是否运动，若运动求其加速度。

竖直方向无加速度，法向力等于重力：

$N = mg = 5 \times 10 = 50\,\text{N}$

最大静摩擦力（近似取与动摩擦力相等）：

$f_{s,\max} \approx \mu_k N = 0.3 \times 50 = 15\,\text{N}$

推力 $F = 25\,\text{N}$ 大于 $f_{s,\max} = 15\,\text{N}$，木块发生滑动。动摩擦力为：

$f_k = \mu_k N = 15\,\text{N}$

水平方向合外力：

$F_{\text{合}} = F - f_k = 25 - 15 = 10\,\text{N}$

加速度：

$a = \frac{F_{\text{合}}}{m} = \frac{10}{5} = 2\,\text{m/s}^2$

方向与推力相同（水平向前）。

例6　质量 $m = 3\,\text{kg}$ 的物体用绳子悬挂，同时被一根水平弹簧拉住，弹簧劲度系数 $k = 60\,\text{N/m}$，弹簧形变量 $x = 0.1\,\text{m}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。求绳子的张力和绳子与竖直方向的夹角。

弹簧弹力（水平方向）：

$F_s = kx = 60 \times 0.1 = 6\,\text{N}$

重力（竖直向下）：

$G = mg = 3 \times 10 = 30\,\text{N}$

物体处于平衡状态，绳子张力与 $G$、$F_s$ 构成矢量三角形：

$T = \sqrt{G^2 + F_s^2} = \sqrt{30^2 + 6^2} = \sqrt{936} \approx 30.6\,\text{N}$

绳子与竖直方向的夹角：

$\tan\theta = \frac{F_s}{G} = \frac{6}{30} = 0.2, \quad \theta \approx 11.3^{\circ}$

练习题

选择题

第1题（考查知识点：牛顿第一定律与惯性）

一个物体在水平面上做匀速直线运动，下列说法正确的是：

A. 物体不受任何力的作用

B. 物体所受合外力为零

C. 物体受到一个向前的合外力，大小等于摩擦力

D. 速度越大，维持匀速运动需要的力越大

第2题（考查知识点：牛顿第二定律）

质量为 $m$ 的物体在光滑水平面上受水平合外力 $F$ 作用，产生加速度 $a$。若物体质量变为 $2m$，合外力变为 $3F$，则加速度变为：

A. $\dfrac{3a}{2}$　　　B. $\dfrac{2a}{3}$　　　C. $6a$　　　D. $$

第3题（考查知识点：作用力与反作用力的判断）

一个人站在体重秤上静止不动，下列说法正确的是：

A. 人对秤的压力与秤对人的支持力是一对平衡力

B. 人对秤的压力与秤对人的支持力是一对作用力与反作用力

C. 人对秤的压力与人受到的重力是一对作用力与反作用力

D. 体重秤示数就是人所受的重力，两者是同一个力

第4题（考查知识点：斜向力作用下的摩擦力计算）

质量 $m = 2\,\text{kg}$ 的物体放在水平地面上，动摩擦因数 $\mu_k = 0.4$，$g = 10\,\text{m/s}^2$。用一个与水平方向成 斜向下的力 推动物体在地面上滑动，则动摩擦力大小为：

A. $8\,\text{N}$　　　B. $10\,\text{N}$　　　C. $12\,\text{N}$　　　D. $14\,\text{N}$

计算题

第5题（考查知识点：两物体连接的牛顿方程组）

质量 $m_1 = 4\,\text{kg}$ 的物体 A 放在水平桌面上，通过轻绳绕过定滑轮与质量 $m_2 = 2\,\text{kg}$ 的物体 B 相连，B 悬挂在桌子边缘。A 与桌面之间的动摩擦因数 $\mu_k = 0.2$，，绳子和滑轮质量不计，滑轮无摩擦。求系统的加速度和绳中张力。

第6题（考查知识点：斜面上的受力分析）

质量 $m = 5\,\text{kg}$ 的木块放在倾角 $\theta = 37^{\circ}$ 的斜面上，已知 $\sin 37^{\circ} = 0.6$，，，木块与斜面之间的动摩擦因数 。

（1）木块静止在斜面上时，求斜面对木块的支持力和静摩擦力大小；

（2）若给木块一个沿斜面向上的初速度，木块开始向上滑动，求此时的加速度大小和方向。

选 A。

动摩擦力：

$f_k = \mu_k N = 0.4 \times 30 = 12\,\text{N}$

选 C。

对 A 列水平方向方程（取绳子拉动方向为正）：

$T - f_k = m_1 a \quad \Rightarrow \quad T - 8 = 4a \quad \cdots(1)$

对物体 B 列竖直方向方程（取向下为正）：

$m_2 g - T = m_2 a \quad \Rightarrow \quad 20 - T = 2a \quad \cdots(2)$

$(1) + (2)$：

$20 - 8 = 6a \quad \Rightarrow \quad a = 2\,\text{m/s}^2$

代入式 $(2)$：

$T = 20 - 2 \times 2 = 16\,\text{N}$

系统加速度为 $2\,\text{m/s}^2$，绳中张力为 $16\,\text{N}$。

$x$ 轴方向（沿斜面，合力为零）：

$f_s = mg\sin\theta = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\,\text{N}$

支持力为 $40\,\text{N}$，静摩擦力方向沿斜面向上，大小为 $30\,\text{N}$。

（2）向上滑动时：

动摩擦力方向沿斜面向下（与运动方向相反）：

$f_k = \mu_k N = 0.25 \times 40 = 10\,\text{N}$

$x$ 轴方向合外力（沿斜面向上为正）：

$F_{\text{合}} = -mg\sin\theta - f_k = -30 - 10 = -40\,\text{N}$

加速度：

$a = \frac{F_{\text{合}}}{m} = \frac{-40}{5} = -8\,\text{m/s}^2$

加速度方向沿斜面向下，大小为 $8\,\text{m/s}^2$。