直线运动

运动是自然界中最普遍的现象之一。描述物体的运动，需要回答三个基本问题：物体在哪里（位置），运动有多快（速度），速度如何随时间变化（加速度）。直线运动是最简单的运动形式——物体始终沿一条直线运动，方向不发生改变或仅在同一直线上反转。掌握直线运动的描述方法，是理解一切复杂运动的起点。

位移与速度

描述物体运动的第一步是确定位置的变化。物体从一个位置移动到另一个位置，终点位置与起点位置之差称为位移，用符号 $\Delta x$ 表示。位移是矢量，不仅有大小，还有方向——方向从起点指向终点。

与位移容易混淆的是路程。路程指物体运动轨迹的总长度，是标量，只有大小，没有方向。两者的根本区别在于：路程记录了“走了多远”，位移则记录了“最终偏移了多少”。

平均速度描述某一段时间内位置变化的快慢：

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

平均速度是对一段运动过程的粗略概括，无法反映每个时刻的细节。瞬时速度描述某一时刻的速度，是平均速度在时间间隔趋近于零时的极限值：

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

在实际解题中，匀速运动的瞬时速度等于平均速度；非匀速运动则需要通过图像的切线斜率或极限思想来理解瞬时速度。

例1　一辆汽车在笔直公路上行驶，前 $20\,\text{s}$ 向东行驶了 $400\,\text{m}$，随后继续向东行驶 $10\,\text{s}$，又走了 $100\,\text{m}$。求全程的平均速度。

总位移：$\Delta x = 400 + 100 = 500\,\text{m}$（向东）

总时间：$\Delta t = 20 + 10 = 30\,\text{s}$

$\bar{v} = \frac{500}{30} \approx 16.7\,\text{m/s}$

方向向东。

例2　一名运动员绕 $400\,\text{m}$ 跑道跑完整整一圈，用时 $80\,\text{s}$。求平均速度和平均速率。

路程为 $400\,\text{m}$，平均速率 $= 400\,\text{m} \div 80\,\text{s} = 5\,\text{m/s}$。

由于跑完一圈后回到出发点，位移为零，故平均速度为 $0\,\text{m/s}$。

加速度

速度并不总是恒定不变的。描述速度变化快慢的物理量是加速度，定义为单位时间内速度的变化量：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

加速度是矢量，其方向与速度变化量 $\Delta v$ 的方向一致，而不一定与速度方向相同。理解这一点对判断物体是加速还是减速至关重要。

判断物体运动状态的关键规则：加速度与速度方向相同时，物体加速；加速度与速度方向相反时，物体减速。 加速度的正负仅代表方向，与大小无关。

例3　一辆汽车在直线公路上行驶，$t = 0$ 时速度为 $v_1 = 10\,\text{m/s}$，$t = 5\,\text{s}$ 时速度为 $v_2=$，方向始终向东。求加速度。

$a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{30 - 10}{5 - 0} = 4\,\text{m/s}^2$

加速度方向向东。

加速度方向与速度方向相同，物体做加速运动。

例4　一辆汽车刹车，初速度为 $v_0 = 20\,\text{m/s}$（向东），经过 $4\,\text{s}$ 后停止。求加速度的大小和方向。

$a = \frac{0 - 20}{4} = -5\,\text{m/s}^2$

加速度大小为 $5\,\text{m/s}^2$，方向向西（与速度方向相反）。加速度与速度方向相反，物体做减速运动。

匀变速直线运动方程

物体沿直线运动，且加速度大小和方向均保持不变，这类运动称为匀变速直线运动。这是运动学中最基础、应用最广泛的模型。

以初速度为 $v_0$、加速度为 $a$，从 $t = 0$ 时刻起计时，可推导出以下四个运动学方程：

其中 $x$ 是位移，$v$ 是 $t$ 时刻的速度，$v_0$ 是初速度，$a$ 是加速度（正负表示方向）。

解题时，根据题目已知量与所求量选择合适的方程，可以避免繁琐的联立计算：

例5　一辆汽车以 $v_0 = 15\,\text{m/s}$ 的初速度做匀减速运动，加速度大小为 $3\,\text{m/s}^2$，求 $3\,\text{s}$ 后的速度及这段时间内的位移。

取运动方向为正，$a = -3\,\text{m/s}^2$。

速度：$v = v_0 + at = 15 + (-3) \times 3 = 6\,\text{m/s}$

位移：$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 15 \times 3 + \frac{1}{2} \times (-3) \times 9 = 45 - 13.5 = 31.5\,\text{m}$

例6　火车从静止开始做匀加速运动，经过 $500\,\text{m}$ 后速度达到 $20\,\text{m/s}$，求加速度大小和所用时间。

已知 $v_0 = 0$，$v = 20\,\text{m/s}$，$x = 500\,\text{m}$。

由方程 (3)：

$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2x} = \frac{400 - 0}{2 \times 500} = 0.4\,\text{m/s}^2$

由方程 (1)：

$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{20}{0.4} = 50\,\text{s}$

运动图像的物理意义

运动图像是分析运动规律最直观的工具。常用的有两种：位移—时间图（$x$-$t$ 图）和速度—时间图（$v$-$t$ 图）。

• 位移—时间图（$x$-$t$ 图 中，纵轴为位移，横轴为时间。图线在某点的斜率等于该时刻物体的瞬时速度：

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

匀速运动对应斜率恒定的直线；匀变速运动对应斜率不断变化的抛物线；静止则对应水平直线。

• 速度—时间图（$v$-$t$ 图 中，纵轴为速度，横轴为时间。图线的斜率等于加速度：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

图线与时间轴围成的面积等于该段时间内的位移：

$x = \int v\,dt$

例7　某物体的 $v$-$t$ 图像为一条从 $v_0 = 10\,\text{m/s}$ 开始，在 $t = 5\,\text{s}$ 时降为零的直线。求物体的加速度和这段时间内的位移。

加速度（图线斜率）：$a = \dfrac{0 - 10}{5 - 0} = -2\,\text{m/s}^2$（大小为 $2\,\text{m/s}^2$，方向与初速度相反）

位移（图线与横轴围成的三角形面积）：$x = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\,\text{m}$

自由落体与竖直抛体运动

地球表面附近的物体，在只受重力作用（空气阻力忽略不计）的条件下，从静止开始下落，这种运动称为自由落体运动。自由落体是匀变速直线运动的特殊情形，其加速度称为重力加速度，用 $g$ 表示：

$g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$

计算时常取近似值 $g \approx 10\,\text{m/s}^2$。

重力加速度的方向竖直向下，大小与物体的质量、形状无关。伽利略在17世纪通过斜面实验首次证明了这一点——轻重不同的物体，在同一地点自由下落的加速度完全相同。

取竖直向下为正方向，初速度 $v_0 = 0$，自由落体的运动方程为：

$v = gt, \quad h = \frac{1}{2}gt^2, \quad v^2 = 2gh$

竖直上抛运动是以初速度 $v_0$ 竖直向上抛出物体的运动。取向上为正方向，加速度为 $-g$，运动方程为：

$v = v_0 - gt, \quad y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2, \quad v^2 = v_0^2 - 2gy$

物体上升阶段速度逐渐减小，到达最高点时速度为零；此后进入下落阶段，速度逐渐增大，运动方向变为向下。

例8　从高楼顶部由静止释放一块石头，经过 $3\,\text{s}$ 落地。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求楼的高度及落地时的速度。

楼的高度：

$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45\,\text{m}$

落地时速度：

$v = gt = 10 \times 3 = 30\,\text{m/s}$

例9　将一个球以 $v_0 = 20\,\text{m/s}$ 的初速度竖直向上抛出。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求球上升的最大高度，以及球再次回到抛出点的时间。

到达最高点时 $v = 0$，由 $v^2 = v_0^2 - 2gy_{\max}$：

$y_{\max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = 20\,\text{m}$

回到抛出点时位移 $y = 0$，由 $y = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2 = 0$，取 的解：

$t = \frac{2v_0}{g} = \frac{2 \times 20}{10} = 4\,\text{s}$

练习题

选择题

第1题　（考查知识点：位移与路程的区别）

一只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿直线爬行 $0.5\,\text{m}$ 到达 $B$ 点，再原路返回 $0.3\,\text{m}$ 到达 $C$ 点。蚂蚁的路程和位移大小分别是：

A. $0.8\,\text{m}$；$0.2\,\text{m}$　　B. $0.5\,\text{m}$；$0.5\,\text{m}$　　C. $0.8\,\text{m}$；$0.8\,\text{m}$　　D. ；

第2题　（考查知识点：加速度的方向判断）

一辆汽车沿直线向东行驶，速度逐渐减小。下列说法正确的是：

A. 加速度方向向东，大小增大　　B. 加速度方向向西，大小减小

C. 加速度方向向西，与速度方向相反　　D. 加速度方向向东，与速度方向相同

第3题　（考查知识点：匀变速直线运动方程）

一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度 $a = 2\,\text{m/s}^2$，则第 $3\,\text{s}$ 末物体的速度为：

A. $4\,\text{m/s}$　　B. $6\,\text{m/s}$　　C. $9\,\text{m/s}$　　D. $12\,\text{m/s}$

第4题　（考查知识点：$v$-$t$ 图像的含义）

在速度—时间图像中，某段时间内图线与时间轴围成的面积代表：

A. 该段时间内物体的加速度　　B. 该段时间内物体通过的路程

C. 该段时间内物体的位移　　D. 该段时间内物体的平均速度

计算题

第5题　（考查知识点：匀变速直线运动方程的综合应用）

一辆汽车在平直公路上以 $v_0 = 30\,\text{m/s}$ 的速度行驶，司机发现前方 $75\,\text{m}$ 处有障碍物，立即刹车，刹车加速度大小为 $6\,\text{m/s}^2$。

（1）汽车能否在障碍物前停下？

（2）若能停下，求从刹车到完全停止所需时间；若不能停下，求到达障碍物位置时的速度。

第6题　（考查知识点：自由落体与竖直上抛运动）

从某建筑物顶部，同时将一块石头由静止自由落下，并将另一块石头以 $v_0 = 15\,\text{m/s}$ 的初速度竖直向上抛出。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。

（1）求竖直上抛的石头到达最高点所需的时间；

（2）上抛的石头回到抛出点时，自由下落的石头已落下多少距离？

${ v^2 = v_0^2 + 2 a x } \qquad \text{(3)}$

${ x = \dfrac{v_0 + v}{2} \cdot t } \qquad \text{(4)}$

蚂蚁发生了折返，路程与位移大小不同。

$x_{\rm stop} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{0 - 900}{2 \times (-6)} = \frac{-900}{-12} = 75\,\text{m}$

恰好在 $75\,\text{m}$ 处速度降为零，汽车刚好停在障碍物前，不会撞上。

停车时间：

$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 30}{-6} = 5\,\text{s}$

汽车从刹车到完全停止需要 $5\,\text{s}$，恰好停在障碍物前方。

（2）根据竖直上抛运动的时间对称性，上抛石头回到抛出点所需总时间为：

$t_2 = 2t_1 = 2 \times 1.5 = 3\,\text{s}$

在 $t_2 = 3\,\text{s}$ 内，自由下落石头落下的距离：

$h = \frac{1}{2}gt_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45\,\text{m}$

自由下落的石头已经落下了 $45\,\text{m}$。