热学基础

热是日常生活中最直观的物理现象之一。铁块在炉火中发红、冰在手心融化、气球在阳光下膨胀……这些现象背后都遵循着共同的规律。热学研究的是大量粒子集体运动所呈现的宏观规律，以及宏观热现象与微观粒子运动之间的联系。从温度计到蒸汽机，从冰箱的制冷原理到发动机的效率极限，热学的知识贯穿于现代工业与生活的方方面面。

温度、热量与内能

温度、热量和内能是热学中最容易混淆的三个概念，必须区分清楚。

• 温度反映的是物体内部分子平均热运动剧烈程度。温度高，说明分子运动越快；温度低，说明分子运动越慢。常用的温度标度有两种：摄氏温标（$t$，单位 $°\text{C}$）和热力学温标（$T$，单位 $\text{K}$）。两者的换算关系为：

$T = t + 273.15 \approx t + 273$

热力学温标中，$0\,\text{K}$（绝对零度）是温度的下限，理论上分子热运动在此完全停止，实际上无法达到。

• 内能是物体内所有分子的动能与势能之和。对于理想气体，分子间无相互作用，内能只包含分子动能部分，与温度直接对应。固体和液体的内能还包含分子间势能。内能是状态量，只与物体当前状态（温度、体积、物质的量等）有关。

• 热量是在热传递过程中，从高温物体传向低温物体的能量。热量不是物体“含有”的东西，而是一个过程量，只有在发生热传递时才有意义——不能说“一杯水含有多少热量”，只能说“传递了多少热量”。

分子动理论与理想气体

分子动理论从微观角度解释宏观热现象，其核心观点是：物质由大量微小粒子（分子或原子）组成，这些粒子处于永不停息的热运动中，粒子之间存在相互作用力。

• 理想气体是一种理论模型，做了两个简化假设：分子本身的体积可以忽略不计（相比容器体积），分子间除碰撞外没有其他相互作用力。在温度不太低、压强不太高的条件下，实际气体的行为与理想气体非常接近。

理想气体的压强来源于大量分子对容器壁的碰撞。分子运动越快（温度越高），或者分子数密度越大（体积越小），压强就越大。

从分子动理论可以推导出：气体分子的平均平动动能与热力学温标成正比：

$\bar{E}_k = \frac{3}{2}k_B T$

其中 $k_B = 1.38\times10^{-23}\,\text{J/K}$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是热力学温度。这一结论说明温度本质上是分子平均动能的量度。

例1　计算分子的平均动能

在 $t = 27°\text{C}$（即 $T = 300\,\text{K}$）的空气中，气体分子的平均平动动能是多少？

$\bar{E}_k = \frac{3}{2}k_B T = \frac{3}{2}\times1.38\times10^{-23}\times300 = 6.21\times10^{-21}\,\text{J}$

这个数值极小，因为单个分子质量极轻，但大量分子集体碰撞产生的宏观压强却是可以感受到的。

理想气体状态方程

描述一定质量理想气体状态的三个宏观量是：压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$。它们之间的关系由理想气体状态方程给出：

$pV = nRT$

其中 $n$ 是气体的物质的量（单位：mol），$R = 8.314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ 是普适气体常数。

这个方程综合了三个历史上分别发现的定律：

对于气体在初末两个状态之间变化，若物质的量不变，可以直接写出：

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

例2　气体状态变化计算

一定质量的理想气体，初始状态：压强 $p_1 = 1.0\times10^5\,\text{Pa}$，体积 $V_1 = 2.0\,\text{L} = 2.0\times10^{-3}\,\text{m}^3$，温度 。将气体加热并压缩，末态压强 ，温度 ，求末态体积。

$V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 p_2} = \frac{1.0\times10^5 \times 2.0\times10^{-3} \times 450}{300 \times 2.0\times10^5} = \frac{90}{60000} = 1.5\times10^{-3}\,\text{m}^3 = 1.5\,\text{L}$

加热使气体倾向于膨胀，压缩使体积减小，最终体积比初始略小。

例3　利用状态方程求物质的量

一个容积为 $V = 10\,\text{L} = 0.010\,\text{m}^3$ 的钢瓶，在 $T = 300\,\text{K}$ 时气体压强为 $p = 5.0\times10^6\,\text{Pa}$（约 个标准大气压），求瓶内气体的物质的量。

$n = \frac{pV}{RT} = \frac{5.0\times10^6 \times 0.010}{8.314\times300} = \frac{5.0\times10^4}{2494} \approx 20\,\text{mol}$

同样体积、同样温度下，高压钢瓶能储存的气体远多于常压容器，这正是高压储气罐在工业中广泛应用的原因。

热容量

给物体加热，温度会升高。使相同质量的不同物质温度升高相同幅度，所需热量往往不同——这反映了不同物质储存热能能力的差异，用比热容来描述。

• 比热容 $c$ 定义为：使单位质量物质温度升高 $1\,\text{K}$（或 $1°\text{C}$）所需要的热量：

$Q = mc\Delta T$

其中 $m$ 是质量，$\Delta T$ 是温度变化量。比热容的单位是 $\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$。

水的比热容特别大，这正是海洋和湖泊能调节气候、使沿海地区冬暖夏凉的物理原因。同等质量的水和沙石在阳光下，沙石升温快得多。

对于气体，热容量还与加热过程的条件有关：

• 等容热容 $C_V$：在体积不变的条件下，使 $1\,\text{mol}$ 气体温度升高 $1\,\text{K}$ 所需热量。此时气体不对外做功，所有热量全部用于增加内能。

• 等压热容 $C_p$：在压强不变的条件下，使 气体温度升高 所需热量。此时气体在吸热的同时还要对外膨胀做功，因此需要的热量更多：

$C_p > C_V$

两者之差等于普适气体常数：

$C_p - C_V = R = 8.314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$

例4　比热容的应用

将质量 $m = 2.0\,\text{kg}$ 的铁块从 $20°\text{C}$ 加热到 $120°\text{C}$，需要吸收多少热量？（铁的比热容 $c = 450\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$）

$Q = mc\Delta T = 2.0\times450\times(120-20) = 2.0\times450\times100 = 9.0\times10^4\,\text{J} = 90\,\text{kJ}$

热力学第一定律

热力学第一定律是能量守恒定律在热学中的具体形式。系统内能的变化等于外界传给系统的热量减去系统对外界做的功：

$\Delta U = Q - W$

其中：$\Delta U$ 是内能的变化量（增加为正）；$Q$ 是系统从外界吸收的热量（吸热为正，放热为负）；$W$ 是系统对外界做的功（做功为正，外界对系统做功为负）。

对气体，当体积变化 $\Delta V$ 时，气体在等压过程中对外做的功为：

$W = p\Delta V$

不同热力学过程的特点汇总如下：

例5　热力学第一定律计算

一定量气体在等压过程中吸收热量 $Q = 500\,\text{J}$，同时体积从 $V_1 = 2.0\,\text{L}$ 膨胀到 $V_2 = 3.0\,\text{L}$，压强 。求气体内能的变化量。

气体对外做的功：

$W = p\Delta V = 1.0\times10^5\times(3.0-2.0)\times10^{-3} = 1.0\times10^5\times1.0\times10^{-3} = 100\,\text{J}$

内能变化：

$\Delta U = Q - W = 500 - 100 = 400\,\text{J}$

气体内能增加了 $400\,\text{J}$，其余 $100\,\text{J}$ 用于对外膨胀做功。

热力学第二定律与熵

热力学第一定律告诉我们能量守恒，但并没有说明热过程的方向性。事实上，自然界中有大量过程是有方向性的、不可逆的：

热量自发地从高温物体传向低温物体，而不会自发地从低温流向高温；打碎的杯子不会自动复原；气体自由扩散充满容器，不会自动收缩回角落。

• 热力学第二定律就是对这种方向性的描述，有两种等价的表述方式：

• 开尔文表述：不可能制造出一种装置，从单一热源吸收热量，并把这些热量全部转化为功，而不产生其他影响。

• 克劳修斯表述：热量不能自发地从低温物体传向高温物体。

为了定量描述过程的方向性，物理学引入了熵（entropy，符号 $S$）的概念。熵是系统微观状态数（混乱程度）的度量：系统越混乱、越无序，熵值越高。

• 热力学第二定律的熵表述：在孤立系统中，自发进行的过程总是朝着熵增大的方向进行。

热力学第二定律还对热机效率设置了上限。任何在高温热源（温度 $T_H$）和低温热源（温度 $T_C$）之间工作的热机，效率都不能超过卡诺效率：

$\eta_{\max} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$

这个极限值告诉我们：提高热机效率的最有效方法是提高高温热源温度或降低低温热源温度；但无论如何优化，效率都不可能达到 $100\%$——这就是为什么蒸汽机、内燃机的实际效率通常只有 $20\%\sim40\%$。

例6　热机效率的计算与分析

一台热机在高温热源 $T_H = 600\,\text{K}$ 和低温热源 $T_C = 300\,\text{K}$ 之间工作，理论最大效率（卡诺效率）是多少？若该热机每循环从高温热源吸热 $Q_H=1000$，最多能做多少有用功？

$\eta_{\max} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 50\%$

最多做功：

$W_{\max} = \eta_{\max}\times Q_H = 0.50\times1000 = 500\,\text{J}$

实际热机由于摩擦、散热等不可逆因素，效率远低于 $50\%$。剩余的 $500\,\text{J}$ 必须以热量形式排放到低温热源（如排出废气、散热水冷等），这是不可避免的。

练习题

选择题

第1题　下列关于温度、热量和内能的说法，正确的是（　　）

A. 温度高的物体内能一定大

B. 物体吸收热量，温度一定升高

C. 热量是能量传递的一种方式，只在热传递过程中出现

D. 物体温度升高，一定是吸收了热量

第2题　一定质量的理想气体，从初态 $p_1 = 2\times10^5\,\text{Pa}$，$V_1 = 3\,\text{L}$，，变化到末态 ，。末态压强 为（　　）

A. $2\times10^5\,\text{Pa}$

B. $3\times10^5\,\text{Pa}$

C. $4\times10^5\,\text{Pa}$

D. $6\times10^5\,\text{Pa}$

第3题　一台热机每次循环从高温热源吸热 $1200\,\text{J}$，对外做有用功 $360\,\text{J}$，该热机的效率为（　　）

A. $10\%$

B. $20\%$

C. $30\%$

D. $40\%$

第4题　关于热力学第二定律，下列说法正确的是（　　）

A. 热量不能从低温物体传向高温物体

B. 冰箱能使内部降温，说明热量可以自发地从低温流向高温，热力学第二定律有例外

C. 自然界中自发进行的过程总朝着熵增大的方向进行

D. 只要能量守恒，任何热力学过程都能发生

计算题

第5题　一个密闭容器中盛有理想气体，初始状态：温度 $T_1 = 300\,\text{K}$，压强 $p_1 = 1.0\times10^5\,\text{Pa}$。

（1）将气体加热至 $T_2 = 450\,\text{K}$，容器体积不变，求末态压强 $p_2$。

（2）若初始时容器体积 $V = 5.0\,\text{L}$，气体的物质的量 $n$ 是多少？（$R = 8.314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$）

（3）加热过程中气体是否对外做功？为什么？

第6题　质量 $m = 0.5\,\text{kg}$ 的水，初始温度 $t_1 = 20°\text{C}$，将其加热到沸腾（$t_2 = 100°\text{C}$）。已知水的比热容 ，水的汽化热（完全汽化所需热量）。

（1）将水从 $20°\text{C}$ 加热到 $100°\text{C}$ 需要吸收多少热量？

（2）若继续加热直到水完全汽化成水蒸气，汽化过程中需吸收多少热量？

（3）整个过程（从 $20°\text{C}$ 加热到完全汽化）共需吸收多少热量？汽化热占总热量的百分比是多少？

$p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2} = \frac{2\times10^5\times3\times400}{300\times2} = \frac{2.4\times10^8}{600} = 4\times10^5\,\text{Pa}$

选 C。

排放给低温热源的热量：$Q_C = Q_H - W = 1200 - 360 = 840\,\text{J}$

选 C。

$p_2 = p_1\times\frac{T_2}{T_1} = 1.0\times10^5\times\frac{450}{300} = 1.5\times10^5\,\text{Pa}$

（2）求气体的物质的量：

由理想气体状态方程 $pV = nRT$：

$n = \frac{p_1 V}{RT_1} = \frac{1.0\times10^5\times5.0\times10^{-3}}{8.314\times300} = \frac{500}{2494} \approx 0.20\,\text{mol}$

（3）气体是否对外做功：

容器体积不变，$\Delta V = 0$，气体对外做的功 $W = p\Delta V = 0$。

等容过程中气体不对外做功，所有吸收的热量全部转化为内能（温度升高）。

由热力学第一定律：$\Delta U = Q - W = Q - 0 = Q$，内能增量等于吸收的热量。

（2）汽化过程所需热量：

$Q_2 = mL = 0.5\times2.26\times10^6 = 1.13\times10^6\,\text{J}$

（3）总热量及汽化热占比：

$Q_{\text{总}} = Q_1 + Q_2 = 1.68\times10^5 + 1.13\times10^6 = 1.298\times10^6\,\text{J} \approx 1.30\times10^6\,\text{J}$

汽化热占总热量：

$\frac{Q_2}{Q_{\text{总}}} = \frac{1.13\times10^6}{1.30\times10^6} \approx 87\%$

汽化过程所需热量远大于升温过程，约占总热量的 $87\%$。这说明水从液态变为气态需要克服分子间引力做大量功，与单纯升温相比，相变过程需要消耗多得多的能量，这也是蒸汽烫伤比热水烫伤更严重的物理原因。