单位、物理量与矢量

物理学研究自然界中各种现象背后的规律。要描述这些规律，首先需要一套准确、统一的测量标准——一把尺子量出的“1米”在全球任何地方都代表同样的长度，这背后依赖的是国际单位制的约定。除了测量标准，物理量还分为只有大小的标量和既有大小又有方向的矢量。从单位与量纲出发，逐步掌握有效数字的处理方法，再到矢量的运算规则，这些内容将贯穿后续所有知识的学习。

国际单位制与量纲分析

国际单位制（Système International d'Unités，缩写 SI）是目前全球科学界通用的计量体系。SI 规定了七个基本单位，所有其他物理量的单位均可由这七个基本单位导出。

力学部分最常用的三个基本量是长度（L）、质量（M）和时间（T），绝大多数力学公式的量纲都可以用 $\text{L}$、$\text{M}$、$\text{T}$ 来表示。

由基本单位组合而成的单位称为导出单位。以下是几个常见例子：

量纲分析是检验物理公式是否合理的有效手段。物理方程两边的量纲必须完全相同，否则该公式一定存在错误。

例1　验证牛顿第二定律 $F = ma$ 的量纲是否一致。

左边：$[F] = \text{M}\,\text{L}\,\text{T}^{-2}$

右边：$[ma] = \text{M} \cdot \text{L}\,\text{T}^{-2} = \text{M}\,\text{L}\,\text{T}^{-2}$

两边量纲相同，公式在量纲上是自洽的。

例2　单摆的振动周期公式为 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$，其中 $L$ 为摆长，$g$ 为重力加速度。验证其量纲：

$\left[\sqrt{\frac{L}{g}}\right] = \sqrt{\frac{\text{m}}{\text{m} \cdot \text{s}^{-2}}} = \sqrt{\text{s}^2} = \text{s}$

结果量纲为时间，与周期一致，说明公式在量纲层面是正确的。

例3　有人猜测物体做圆周运动的向心加速度公式为 $a = v^2/r$，用量纲验证：

$\left[\frac{v^2}{r}\right] = \frac{(\text{m} \cdot \text{s}^{-1})^2}{\text{m}} = \frac{\text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}{\text{m}} = \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$

量纲为加速度，与左边一致，说明这个猜测的形式在量纲上是合理的。

有效数字与不确定度估算

任何测量结果都包含一定的不确定性。用毫米刻度尺测量一段铁棒，读出的结果是 $23.4\,\text{mm}$，其中最后一位“4”是估读出来的，存在 $\pm 0.5\,\text{mm}$ 的不确定度。记录测量值时，只写出有意义的数字，这些数字称为有效数字。

判断有效数字位数的规则如下表所示：

计算时有效数字的取舍遵循以下原则：

• 乘除法：结果的有效数字位数与参与运算的各量中位数最少的那个相同。

• 加减法：结果保留到参与运算的各量中小数点后位数最少的那一位。

例4　计算矩形面积，长 $L = 12.3\,\text{cm}$（3位），宽 $W = 4.56\,\text{cm}$（3位）：

$S = 12.3 \times 4.56 = 56.088 \approx 56.1\,\text{cm}^2$

结果保留3位有效数字。

例5　两段长度相加：$a = 12.3\,\text{cm}$，$b = 1.45\,\text{cm}$：

$a + b = 12.3 + 1.45 = 13.75 \approx 13.8\,\text{cm}$

结果保留到小数点后1位（由 $a$ 的精度决定）。

数量级估算是物理学中常用的快速判断方法。通过对各已知量取近似整数或10的幂次方，可以迅速得到结果的大致范围。

例6　估算地球表面大气的总质量。大气压强约 $10^5\,\text{Pa}$，地球表面积约 $5 \times 10^{14}\,\text{m}^2$，由压强定义 $p = F/S = mg/S$ 得：

$m \approx \frac{p \cdot S}{g} = \frac{10^5 \times 5 \times 10^{14}}{10} \approx 5 \times 10^{18}\,\text{kg}$

与实测值 $5.15 \times 10^{18}\,\text{kg}$ 非常接近，验证了数量级估算的实用价值。

标量与矢量

物理量可以分为两大类：标量和矢量。

标量只有大小，没有方向，两个标量的合并就是普通的代数加减。矢量既有大小又有方向，两个矢量的合并必须按照特定的几何规则进行，不能简单地把数字直接相加。

矢量在书写上通常用粗体字母或字母上方加箭头表示，例如 $\vec{F}$（力）、$\vec{v}$（速度）、$\stackrel{}{}$（加速度）。矢量的大小称为，记作 或直接写成斜体 （不加箭头）。

区分标量和矢量的关键在于：矢量反向后代表的是不同的物理状态。速度 $5\,\text{m/s}$ 向东与 $5\,\text{m/s}$ 向西是两个截然不同的矢量；而温度 $-5\,^{\circ}\text{C}$ 和 $+5\,^{\circ}\text{C}$ 的区别只是大小，并不存在“反向”的概念。

矢量的加减法

几何法

矢量加法有两种等价的几何作图方式：三角形法则和平行四边形法则。

• 三角形法则：将矢量 $\vec{B}$ 的起点移到 $\vec{A}$ 的终点，连接 $\stackrel{}{}$ 的起点到 的终点，所得有向线段即为合矢量 。

矢量减法 $\vec{A} - \vec{B}$ 等价于 $\vec{A}+(-\stackrel{}{B}$，其中 是与 大小相同、方向相反的矢量。

分量法

分量法是处理矢量运算最系统的方法。在直角坐标系中，任何一个二维矢量都可以分解为水平方向（$x$ 轴）和竖直方向（$y$ 轴）上的两个分量：

$\vec{A} = A_x\,\hat{i} + A_y\,\hat{j}$

其中 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分别是 $x$ 方向和 $y$ 方向的单位矢量，$A_x = A\cos\theta$，， 是矢量与 轴正方向的夹角。

矢量相加时，对应分量分别相加：

$\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\,\hat{i} + (A_y + B_y)\,\hat{j}$

合矢量的大小和方向分别为：

$|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{(A_x+B_x)^2 + (A_y+B_y)^2}$

$\theta = \arctan\frac{A_y + B_y}{A_x + B_x}$

例7　一个人先向东走 $3\,\text{m}$，再向北走 $4\,\text{m}$，求合位移的大小和方向。

设东方向为 $x$ 轴正方向，北方向为 $y$ 轴正方向：

$\vec{d}_1 = 3\,\hat{i}\,\text{m}, \quad \vec{d}_2 = 4\,\hat{j}\,\text{m}$

$\vec{d} = \vec{d}_1 + \vec{d}_2 = 3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}\,\text{m}$

$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}$

$\theta = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.1^{\circ}$

合位移大小为 $5\,\text{m}$，方向为北偏东 $53.1^{\circ}$（即与正东方向成 $53.1^{\circ}$ 角偏向北方）。

例8　两个力作用在同一物体上：$\vec{F}_1 = (3\,\hat{i} + 2\,\hat{j})\,\text{N}$，，求合力大小。

$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (3-1)\,\hat{i} + (2+4)\,\hat{j} = (2\,\hat{i} + 6\,\hat{j})\,\text{N}$

$|\vec{F}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} \approx 6.32\,\text{N}$

矢量的点积与叉积

点积（数量积）

两个矢量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的点积定义为：

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$

其中 $\theta$ 是两矢量之间的夹角（$0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$）。点积的结果是一个标量。

用分量表示时：

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

点积的几何意义是：$\vec{A}$ 在 $\vec{B}$ 方向上的投影乘以 $\mathrm{\mid }\stackrel{}{}$。当 时点积为零，常用来判断两个方向是否垂直。

点积在物理中最重要的应用是计算功：

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}||\vec{d}|\cos\theta$

例9　力 $\vec{F} = (4\,\hat{i} + 3\,\hat{j})\,\text{N}$ 作用在物体上，物体发生位移 ，求力做的功：

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (4)(2) + (3)(-1) = 8 - 3 = 5\,\text{J}$

例10　一个力大小为 $10\,\text{N}$，位移大小为 $3\,\text{m}$，力与位移方向的夹角为 $60^{\circ}$，求功：

$W = |\vec{F}||\vec{d}|\cos 60^{\circ} = 10 \times 3 \times 0.5 = 15\,\text{J}$

叉积（矢量积）

两个矢量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的叉积 $\vec{A}\times$ 是一个，其大小为：

$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$

方向由右手定则确定：右手四指从 $\vec{A}$ 弯向 $\vec{B}$，大拇指所指的方向即为 $\stackrel{}{A}$ 的方向，该方向与 、 所在平面垂直。叉积满足：

$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$

点积与叉积的主要区别如下表所示：

叉积在物理中最重要的应用是计算力矩：

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

其中 $\vec{r}$ 是从转动轴到力作用点的位置矢量，力矩大小为 $|\vec{\tau}| = rF\sin\theta$。

例11　用扳手拧螺栓，扳手长 $r = 0.25\,\text{m}$，施力 $F = 20\,\text{N}$。当力与扳手垂直（$\theta = 90^{\circ}$）时：

$|\vec{\tau}| = rF\sin 90^{\circ} = 0.25 \times 20 \times 1 = 5\,\text{N} \cdot \text{m}$

当力与扳手夹角变为 $60^{\circ}$ 时：

$|\vec{\tau}| = 0.25 \times 20 \times \sin 60^{\circ} \approx 4.33\,\text{N} \cdot \text{m}$

施力方向与扳手垂直时力矩最大，效果最好。这也是为什么拧螺栓时要尽量让力垂直于扳手。

练习题

选择题

第1题　（考查知识点：国际单位制基本单位）

在国际单位制中，以下哪个是基本单位而非导出单位？

A. 牛顿（N）　　B. 焦耳（J）　　C. 安培（A）　　D. 帕斯卡（Pa）

第2题　（考查知识点：有效数字）

用天平称得某物体质量为 $12.30\,\text{g}$，用刻度尺测得其边长为 $2.1\,\text{cm}$，则计算密度时结果应保留几位有效数字？

A. 2位　　B. 3位　　C. 4位　　D. 5位

第3题　（考查知识点：标量与矢量的区别）

下列物理量中，哪一个是矢量？

A. 路程　　B. 质量　　C. 温度　　D. 加速度

第4题　（考查知识点：矢量合成的范围）

两个大小分别为 $3\,\text{N}$ 和 $4\,\text{N}$ 的力作用在同一点，关于合力大小，以下说法正确的是：

A. 合力大小一定等于 $7\,\text{N}$

B. 合力大小一定等于 $5\,\text{N}$

C. 合力大小在 $1\,\text{N}$ 到 $7\,\text{N}$ 之间（含端点）

D. 合力大小不可能等于 $5\,\text{N}$

计算题

第5题　（考查知识点：量纲分析）

动能的表达式为 $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$，其中 $m$ 为质量，$$ 为速度。

（1）验证该式两边的量纲是否一致；

（2）能量的 SI 单位焦耳（J）等于哪些基本单位的组合？

第6题　（考查知识点：矢量加法与相对运动）

一艘船相对于水的速度为 $\vec{v}_{\text{船水}} = 4\,\hat{i}\,\text{m/s}$（向正东方），水流速度为 （向正北方）。

（1）求船相对于地面的速度大小；

（2）求船的实际运动方向与正东方向的夹角。

第7题　（考查知识点：矢量点积与功的计算）

一个物体在合力 $\vec{F} = (5\,\hat{i} + 3\,\hat{j})\,\text{N}$ 的作用下，从点 移动到点 。

（1）求位移矢量 $\vec{d}$；

（2）求力 $\vec{F}$ 对物体所做的功 $W$；

（3）若力的大小保持不变，但方向改为与位移方向垂直，此时力做的功是多少？

这正是能量的量纲，与左边一致，公式在量纲上正确。

（2）由上述结果：

$1\,\text{J} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}$

大小：

$v = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{m/s}$

（2）与正东方向的夹角：

$\theta = \arctan\frac{3}{4} \approx 36.9^{\circ}$

船实际运动方向为北偏东 $36.9^{\circ}$（即偏向北方 $36.9^{\circ}$）。

位移大小：$|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}$

（2）利用点积计算功：

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5)(3) + (3)(4) = 15 + 12 = 27\,\text{J}$

（3）当力与位移方向垂直时，$\theta = 90^{\circ}$，$\cos 90^{\circ} = 0$，因此：

$W = |\vec{F}||\vec{d}|\cos 90^{\circ} = 0\,\text{J}$

力与位移垂直时，力对物体不做功。