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物理电磁学核心电磁波

电磁波

无线电广播穿越山脉，光纤将信息以光速送达千里之外，微波炉让冷冻食品几分钟内加热均匀——这些现象的背后是同一种物理实体：电磁波。麦克斯韦在完成方程组推导后发现，电场与磁场可以相互激发、自我维持，以波的形式在空间传播，计算得到传播速度恰好等于光速 c≈3×108  m/sc \approx 3\times10^8\;\mathrm{m/s}c≈3×108m/s，与实验测量完全一致。1888年，赫兹用振荡电路产生并检测到无线电波，验证了这一预言。从无线电波到可见光再到 γ\gammaγ 射线，全都是同一本质的电磁波，区别仅在于频率。

波的基础

水面上的涟漪、琴弦上的振动、声音在空气中的传播，都是能量在介质中传递的方式。电磁波虽然不需要任何介质，但其数学描述与这些机械波高度相似。掌握波的基本语言，是理解电磁波的前提。

波动方程

沿 zzz 方向传播的一维波，满足波动方程：

∂2f∂z2=1v2∂2f∂t2\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}∂z2∂2f​=v21​∂t2∂2f​

其中 vvv 是波速，f(z,t)f(z,t)f(z,t) 是描述波动状态的物理量（弦的横向位移、声压、电场分量等）。这个方程的通解为

f(z,t)=g(z−vt)+h(z+vt)f(z,t) = g(z - vt) + h(z + vt)f(z,t)=g(z−vt)+h(z+vt)

第一项 g(z−vt)g(z-vt)g(z−vt) 描述以速度 vvv 向 +z+z+z 方向传播的波形，第二项 h(z+vt)h(z+vt)h(z+vt) 描述向 −z-z−z 方向传播的波形，两者可以独立叠加。无论波形是什么形状，只要满足这种“平移不变”的形式，就是这个方程的解。

正弦波的描述

最重要的特解是正弦（单色）波，它在时间和空间上都呈正弦振荡：

f(z,t)=Acos⁡(kz−ωt+δ)f(z,t) = A\cos(kz - \omega t + \delta)f(z,t)=Acos(kz−ωt+δ)

在处理多个正弦波叠加时，复数表示大为简便：

f~(z,t)=A~ ei(kz−ωt),A~=A eiδ\tilde{f}(z,t) = \tilde{A}\,e^{i(kz - \omega t)}, \qquad \tilde{A} = A\,e^{i\delta}f~​(z,t)=A~ei(kz−ωt),A~=Aeiδ

最终取实部得到物理量。A~\tilde{A}A~ 称为复振幅，将振幅与初相合并为一个复数，避免了繁琐的三角恒等式计算。

波在界面处的反射与透射

当波从一种介质（波速 v1v_1v1​）传播到另一种介质（波速 v2v_2v2​）时，在界面处发生部分反射和部分透射。以均匀绳子为例，边界条件要求界面处位移和斜率连续，由此得到反射振幅 B~\tilde{B}B~ 和透射振幅 C~\tilde{C}C~ 与入射振幅 A~\tilde{A}A~ 的关系：

B~=v2−v1v2+v1A~,C~=2v2v2+v1A~\tilde{B} = \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\tilde{A}, \qquad \tilde{C} = \frac{2v_2}{v_2 + v_1}\tilde{A}B~=v2​+v1​v2​−v1​​A~,C~=v2​+v1​2v2​​A~

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当 v2>v1v_2 > v_1v2​>v1​（进入波速更大的介质）时，反射系数 B~/A~>0\tilde{B}/\tilde{A} > 0B~/A~>0，无相位反转；当 v2<v1v_2 < v_1v2​<v1​ 时，B~/A~<0\tilde{B}/\tilde{A} < 0B~/A~<0，反射波有 π\piπ 的相位反转。光从空气射向玻璃时反射波会发生相位反转，这正是薄膜干涉中需要考虑的半波损失。

能量守恒体现为反射率 RRR 与透射率 TTT 之和等于 1：

R=(v2−v1v2+v1)2,T=4v1v2(v1+v2)2,R+T=1R = \left(\frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right)^2, \qquad T = \frac{4v_1 v_2}{(v_1 + v_2)^2}, \qquad R + T = 1R=(v2​+v1​v2​−v1​​)2,T=(v1​+v2​)24v1​v2​​,R+T=1

极化

横波（振动方向垂直于传播方向的波）有一个额外的自由度：振动可以在垂直于传播方向的平面内指向任意方向，这就是极化（偏振）。

沿 zzz 方向传播的横波，振动方向在 xyxyxy 平面内，可以分解为两个正交分量：

f(z,t)=Axcos⁡(kz−ωt+δx)x^+Aycos⁡(kz−ωt+δy)y^\mathbf{f}(z,t) = A_x\cos(kz-\omega t + \delta_x)\hat{x} + A_y\cos(kz-\omega t + \delta_y)\hat{y}f(z,t)=Ax​cos(kz−ωt+δx​)x^+Ay​cos(kz−ωt+δy​)y^​

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电磁波是横波，光的偏振现象（液晶显示屏、偏光眼镜、摄影滤镜）都基于这一性质。

真空中的电磁波

麦克斯韦方程组的一个重大成果，是从纯粹的场方程推导出电磁波的存在。这不依赖任何实验参数，只需要 ε0\varepsilon_0ε0​ 和 μ0\mu_0μ0​ 两个常数，便可预言电磁波的速度等于光速。

从麦克斯韦方程组推导波动方程

在没有自由电荷和自由电流的真空中（ρ=0\rho = 0ρ=0，J=0\mathbf{J} = \mathbf{0}J=0），麦克斯韦方程组简化为：

∇⋅E=0,∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{E} = 0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0∇⋅E=0,∇⋅B=0 ∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0ε0∂E∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B​,∇×B=μ0​ε0​∂t∂E​

对法拉第定律两边取旋度，利用矢量恒等式 ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E，再代入 ∇⋅E=0\nabla\cdot\mathbf{E} = 0∇⋅E=0 及修正安培定律，得到

∇2E=μ0ε0∂2E∂t2\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}∇2E=μ0​ε0​∂t2∂2E​

对 B\mathbf{B}B 做同样处理得到形式完全相同的方程。对比标准波动方程，传播速度为

c=1μ0ε0=14π×10−7×8.85×10−12≈3.00×108  m/sc = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7}\times8.85\times10^{-12}}} \approx 3.00\times10^8\;\mathrm{m/s}c=μ0​ε0​​1​=4π×10−7×8.85×10−12​1​≈3.00×108m/s

麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，传播速度恰好等于光速。这一结果表明：光是一种电磁波，不需要任何传播介质。麦克斯韦在1865年完成这一推导，比赫兹的实验验证早了整整23年。

单色平面波的结构

沿单位矢量 n^\hat{n}n^ 方向传播的单色平面波，写为

E(r,t)=E0 ei(k⋅r−ωt),k=ωcn^\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}, \qquad \mathbf{k} = \frac{\omega}{c}\hat{n}E(r,t)=E0​ei(k⋅r−ωt),k=cω​n^

（取实部理解为真实物理量）。将此解代入无源麦克斯韦方程组，可以推导出三个关键关系：

n^⋅E0=0,n^⋅B0=0,B=1c(n^×E)\hat{n}\cdot\mathbf{E}_0 = 0, \qquad \hat{n}\cdot\mathbf{B}_0 = 0, \qquad \mathbf{B} = \frac{1}{c}(\hat{n}\times\mathbf{E})n^⋅E0​=0,n^⋅B0​=0,B=c1​(n^×E)

以沿 +z+z+z 方向传播的 xxx 偏振波为例：

E(z,t)=E0cos⁡(kz−ωt) x^,B(z,t)=E0ccos⁡(kz−ωt) y^\mathbf{E}(z,t) = E_0\cos(kz - \omega t)\,\hat{x}, \qquad \mathbf{B}(z,t) = \frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}E(z,t)=E0​cos(kz−ωt)x^,B(z,t)=cE0​​cos(kz−ωt)y^​

两个场在时间和空间上完全同相位，同步达到峰值和零值。

电磁波的能量与动量

真空中电磁波的瞬时能量密度为

u=ε0E2=B2μ0u = \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}u=ε0​E2=μ0​B2​

对平面波，电场与磁场各贡献相等的能量密度。平均强度（平均坡印廷矢量）为

I=⟨S⟩=12cε0E02I = \langle S\rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2I=⟨S⟩=21​cε0​E02​

电磁波携带动量，单位体积内的动量密度为

g=Sc2=ε0(E×B)\mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2} = \varepsilon_0(\mathbf{E}\times\mathbf{B})g=c2S​=ε0​(E×B)

当电磁波完全被物体吸收时，对单位面积施加的辐射压强为 P=I/cP = I/cP=I/c；完全反射时压强加倍：P=2I/cP = 2I/cP=2I/c。

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辐射压强在宏观条件下极小，但在太阳帆推进、激光冷却原子等前沿技术中发挥着重要作用。

介质中的电磁波

电磁波从真空进入玻璃、水或其他介质后，传播速度减慢，在界面处发生折射和反射。这正是透镜能聚焦光线、棱镜能分解白光的物理根源。

线性介质中的传播

在线性均匀介质中（介电常数 ε=εrε0\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0ε=εr​ε0​，磁导率 μ=μrμ0\mu = \mu_r\mu_0μ=μr​μ0​），用 ε\varepsilonε 和 μ\muμ 替换 ε0\varepsilon_0ε0​ 和 μ0\mu_0μ0​，波动方程形式不变，但传播速度变为

v=1με=cμrεr=cnv = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{c}{n}v=με​1​=μr​εr​​c​=nc​

其中折射率 n=μrεrn = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}n=μr​εr​​。大多数光学材料（玻璃、水等）磁响应很弱（μr≈1\mu_r \approx 1μr​≈1），故 n≈εrn \approx \sqrt{\varepsilon_r}n≈εr​​。

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折射率的静电值（由低频介电常数 εr\sqrt{\varepsilon_r}εr​​ 得到）与光学折射率往往差异显著。例如水的静电 εr≈80\varepsilon_r \approx 80εr​≈80，但光学折射率 n=1.33n = 1.33n=1.33，对应 εr≈1.77\varepsilon_r \approx 1.77εr​≈1.77。这是因为折射率是频率依赖量：高频时，极性分子来不及取向响应，介电常数大幅降低。

正入射时的反射与透射

一列平面电磁波以垂直于界面的方向（正入射）从介质 1（折射率 n1n_1n1​）射入介质 2（折射率 n2n_2n2​）。边界条件要求界面处 EtE_tEt​（切向电场）和 HtH_tHt​（切向磁场）连续，由此得到菲涅耳系数：

r=n1−n2n1+n2,t=2n1n1+n2r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \qquad t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}r=n1​+n2​n1​−n2​​,t=n1​+n2​2n1​​

对应的反射率（能量之比）和透射率为

R=r2=(n1−n2n1+n2)2,T=n2n1t2=4n1n2(n1+n2)2R = r^2 = \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{n_2}{n_1}t^2 = \frac{4n_1 n_2}{(n_1+n_2)^2}R=r2=(n1​+n2​n1​−n2​​)2,T=n1​n2​​t2=(n1​+n2​)24n1​n2​​

可以验证 R+T=1R + T = 1R+T=1，能量守恒严格成立。

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普通玻璃每个界面反射约 4% 的光，这就是窗玻璃在强光侧可以看到反射像的原因。相机镜头有多片镜片，累积反射损失不可忽略，因此需要镀增透膜来减少损失。

注意 rrr 可以为负值（当 n1<n2n_1 < n_2n1​<n2​ 时），表示反射电场相位反转了 π\piπ——这就是光学中的“半波损失”。ttt 始终为正，透射电场无相位跳变。

斜入射与斯涅尔定律

当光以入射角 θI\theta_IθI​（相对于法线量起）斜射到界面时，透射角 θT\theta_TθT​ 由斯涅尔定律决定：

n1sin⁡θI=n2sin⁡θTn_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_Tn1​sinθI​=n2​sinθT​

当光从光密介质（较大折射率 n1n_1n1​）射向光疏介质（较小折射率 n2n_2n2​），存在全内反射：当入射角超过临界角 θc\theta_cθc​ 后，光完全无法透射出去，全部在界面处反射回介质 1 内部。临界角满足

sin⁡θc=n2n1\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}sinθc​=n1​n2​​

光纤通信正是利用全内反射：光信号在玻璃纤芯内以超过临界角的方式传播，能量被全部“锁”在纤芯中，几乎无损耗地沿弯曲的光纤传输几十千米。金刚石临界角仅 24.4°24.4°24.4°，极易触发全内反射，被切割成多刻面后进入的光经历多次全内反射，产生强烈闪耀。

吸收与色散

电磁波在实际介质中传播时，能量会被部分吸收，不同频率的波速也不相同。这两种效应——吸收与色散——决定了金属为何不透明、彩虹为何有颜色。

导体中的电磁波与趋肤效应

金属导体内有大量自由电子，电导率 σ\sigmaσ 很大。在导体内欧姆定律 J=σE\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}J=σE 成立，修正安培定律变为

∇×B=μ0σE+μ0ε0∂E∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\sigma\mathbf{E} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}∇×B=μ0​σE+μ0​ε0​∂t∂E​

将形如 ei(k~z−ωt)e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}ei(k~z−ωt) 的试探解代入导体内的波动方程，得到复波矢满足

k~2=μ0ε0ω2+iμ0σω\tilde{k}^2 = \mu_0\varepsilon_0\omega^2 + i\mu_0\sigma\omegak~2=μ0​ε0​ω2+iμ0​σω

将 k~=κ+iα\tilde{k} = \kappa + i\alphak~=κ+iα 分开实部和虚部，对良导体（σ≫ε0ω\sigma \gg \varepsilon_0\omegaσ≫ε0​ω）近似得到

κ≈α≈μ0σω2\kappa \approx \alpha \approx \sqrt{\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}}κ≈α≈2μ0​σω​​

电场振幅沿传播方向的衰减因子为 e−αze^{-\alpha z}e−αz，定义趋肤深度（穿透深度）：

d=1α=2μ0σωd = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\sigma\omega}}d=α1​=μ0​σω2​​

振幅降到界面处 1/e≈37%1/e \approx 37\%1/e≈37% 时对应的深度即为趋肤深度。

工频（50 Hz）电流在铜导线中的趋肤深度约为 9 mm，这正是为什么大截面高压输电线要使用绞线而非实心棒——电流主要集中在表面层，芯部几乎无贡献。射频电路中趋肤效应尤为显著，导体实际利用截面极薄，高频阻抗远大于直流电阻。

导体表面的反射

良导体对电磁波的吸收极强，但正因为入射波在极薄的表层内就被强烈衰减（同时驱动表层电流），向外辐射的反射波也非常强。金属之所以看起来有光泽，正是因为其对光的高反射率。

将菲涅耳公式推广，用复折射率 n~=n+iκ\tilde{n} = n + i\kappan~=n+iκ（虚部 κ\kappaκ 描述衰减）替代实折射率，可以计算导体表面的反射率。对良导体，n~\tilde{n}n~ 的虚部远大于实部，反射率接近 1。铜对可见光的反射率约为 90%～98%，对红外线更高。

趋肤效应和高反射率是同一物理机制的两个侧面：自由电子对入射电磁场的强响应，一方面使电磁波在导体内迅速衰减（趋肤效应），另一方面驱动表面电流向外辐射出强反射波（高反射率）。金属不透明，是因为吸收强；金属有光泽，是因为反射强。

色散与折射率的频率依赖

实际介质的折射率随频率变化，称为色散。棱镜将白光分解成七色光谱、雨后彩虹、光纤中不同频率信号的传播速度差异，都是色散的体现。

将介质中的束缚电子视为弹簧振子，在外场驱动下作受迫振动，可以推导出折射率的频率依赖关系：

n2(ω)≈1+Ne2meε0⋅1ω02−ω2n^2(\omega) \approx 1 + \frac{Ne^2}{m_e\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}n2(ω)≈1+me​ε0​Ne2​⋅ω02​−ω21​

其中 NNN 是电子密度，ω0\omega_0ω0​ 是振子的固有频率（谐振频率）。

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可见光在玻璃中处于正常色散区（蓝光折射率大于红光），这解释了棱镜分光：频率较高的蓝紫光偏折更多，频率较低的红光偏折较少。雨后彩虹中，水滴扮演棱镜的角色，将太阳光按频率分开，红色在外弧、紫色在内弧。

练习

选择题

  • 题一（平面电磁波的基本性质）

真空中，一列沿 +z+z+z 方向传播的单色平面电磁波，其电场 E\mathbf{E}E 沿 x^\hat{x}x^ 方向振动。下列说法正确的是

A. 磁场 B\mathbf{B}B 沿 +z+z+z 方向振动   B. B\mathbf{B}B 沿 y^\hat{y}y^​ 方向振动，且 B0=E0/cB_0 = E_0/cB0​=E0​/c   C. ∣B∣=c∣E∣|\mathbf{B}| = c|\mathbf{E}|∣B∣=c∣E∣   D. E\mathbf{E}E 与 B\mathbf{B}B 相差 π/2\pi/2π/2 相位

答案：B

由平面波的性质 B=(n^×E)/c\mathbf{B} = (\hat{n}\times\mathbf{E})/cB=(n^×E)/c，传播方向 n^=z^\hat{n} = \hat{z}n^=z^，电场 E=E0x^\mathbf{E} = E_0\hat{x}E=E0​x^，则

B=E0c(z^×x^)=E0cy^\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}(\hat{z}\times\hat{x}) = \frac{E_0}{c}\hat{y}B=cE0​​(z^×x^)=cE0​​y^​

磁场振幅 B0=E0/cB_0 = E_0/cB0​=E0​/c，方向沿 y^\hat{y}y^​，与电场同相位。A 错（B\mathbf{B}B 不沿传播方向）；C 错（应为 B0=E0/cB_0 = E_0/cB0​=E0​/c，而非 B0=cE0B_0 = cE_0B0​=cE0​）；D 错（两者同相位）。选 B。

  • 题二（菲涅耳公式与反射率）

一列单色光从空气（n1=1.0n_1 = 1.0n1​=1.0）正入射到折射率 n2=1.5n_2 = 1.5n2​=1.5 的玻璃表面，该界面的反射率最接近

A. 1%   B. 4%   C. 16%   D. 50%

答案：B

由菲涅耳公式，正入射反射率为

R=(n1−n2n1+n2)2=(1.0−1.51.0+1.5)2=(−0.52.5)2=(0.2)2=4%R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \left(\frac{1.0 - 1.5}{1.0 + 1.5}\right)^2 = \left(\frac{-0.5}{2.5}\right)^2 = (0.2)^2 = 4\%R=(n1​+n2​n1​−n2​​)2=(1.0+1.51.0−1.5​)2=(2.5−0.5​)2=(0.2)2=4%

普通玻璃每个界面反射约 4% 的光，透射约 96%。选 B。

  • 题三（全内反射与光纤）

光纤纤芯折射率 n1=1.52n_1 = 1.52n1​=1.52，包层折射率 n2=1.48n_2 = 1.48n2​=1.48，光在纤芯与包层界面的全内反射临界角 θc\theta_cθc​ 最接近

A. 46°46°46°   B. 60°60°60°   C. 77°77°77°   D. 90°90°90°

答案：C

sin⁡θc=n2n1=1.481.52≈0.974\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.48}{1.52} \approx 0.974sinθc​=n1​n2​​=1.521.48​≈0.974

θc=arcsin⁡(0.974)≈76.9°≈77°\theta_c = \arcsin(0.974) \approx 76.9° \approx 77°θc​=arcsin(0.974)≈76.9°≈77°

选 C。光纤纤芯与包层折射率相差很小，临界角接近 90°，这意味着光线以接近轴线（大角度入射）的方式传播时才能保证全内反射，光纤对光的约束十分有效。

  • 题四（趋肤效应与频率的关系）

某导体在频率 f1=50  Hzf_1 = 50\;\mathrm{Hz}f1​=50Hz 时趋肤深度为 d1d_1d1​，当频率变为 f2=5000  Hzf_2 = 5000\;\mathrm{Hz}f2​=5000Hz（增大 100 倍）时，趋肤深度 d2d_2d2​ 变为

A. 100 d1100\,d_1100d1​   B. 10 d110\,d_110d1​   C. d1/10d_1/10d1​/10   D. d1/100d_1/100d1​/100

答案：C

趋肤深度 d=2/(μ0σω)d = \sqrt{2/(\mu_0\sigma\omega)}d=2/(μ0​σω)​，其中 ω=2πf\omega = 2\pi fω=2πf，故 d∝1/fd \propto 1/\sqrt{f}d∝1/f​：

d2d1=f1f2=505000=1100=110\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{f_1}{f_2}} = \sqrt{\frac{50}{5000}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}d1​d2​​=f2​f1​​​=500050​​=1001​​=101​

频率增大 100 倍，趋肤深度减小为 1/101/101/10，选 C。趋肤效应随频率升高而增强，高频导体内电流更加集中在表面薄层。

计算题

  • 题五（正弦平面波的参数计算）

真空中一列沿 +z+z+z 方向传播的线偏振电磁波，电场为 E=300cos⁡(kz−6π×108 t) x^  V/m\mathbf{E} = 300\cos(kz - 6\pi\times10^8\, t)\,\hat{x}\;\mathrm{V/m}E=300cos(kz−6π×108t)x^V/m（c=3×108  m/sc = 3\times10^8\;\mathrm{m/s}c=3×108m/s，ε0=8.85×10−12  F/m\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\;\mathrm{F/m}ε0​=8.85×10−12F/m，μ0=4π×10−7  H/m\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\;\mathrm{H/m}μ0​=4π×10−7H/m）。求：① 角频率 ω\omegaω 和频率 ν\nuν；② 波数 kkk 和波长 λ\lambdaλ；③ 磁场 B\mathbf{B}B 的表达式；④ 平均能量流密度（光强）III。

  • ① 角频率与频率

由表达式直接读出 ω=6π×108  rad/s\omega = 6\pi\times10^8\;\mathrm{rad/s}ω=6π×108rad/s，

ν=ω2π=6π×1082π=3×108  Hz=300  MHz\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi\times10^8}{2\pi} = 3\times10^8\;\mathrm{Hz} = 300\;\mathrm{MHz}ν=2πω​=2π6π×108​=3×108Hz=300MHz

属于微波频段（UHF 波段）。

  • ② 波数与波长

k=ωc=6π×1083×108=2π  rad/mk = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi\times10^8}{3\times10^8} = 2\pi\;\mathrm{rad/m}k=cω​=3×1086π×108​=2πrad/m

λ=2πk=2π2π=1  m\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\;\mathrm{m}λ=k2π​=2π2π​=1m

  • ③ 磁场

由 B=(1/c)(z^×E)\mathbf{B} = (1/c)(\hat{z}\times\mathbf{E})B=(1/c)(z^×E)，z^×x^=y^\hat{z}\times\hat{x} = \hat{y}z^×x^=y^​：

B=3003×108cos⁡(kz−ωt) y^=1.0×10−6cos⁡(kz−ωt) y^  T\mathbf{B} = \frac{300}{3\times10^8}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y} = 1.0\times10^{-6}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}\;\mathrm{T}B=3×108300​cos(kz−ωt)y^​=1.0×10−6cos(kz−ωt)y^​T

即 B=1.0  μT⋅cos⁡(kz−ωt) y^\mathbf{B} = 1.0\;\mathrm{\mu T}\cdot\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}B=1.0μT⋅cos(kz−ωt)y^​，方向沿 y^\hat{y}y^​，与电场同相位。

  • ④ 平均能量流密度

I=12cε0E02=12×3×108×8.85×10−12×(300)2I = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2}\times3\times10^8\times8.85\times10^{-12}\times(300)^2I=21​cε0​E02​=21​×3×108×8.85×10−12×(300)2

=12×3×108×8.85×10−12×9×104≈119.5  W/m2= \frac{1}{2}\times3\times10^8\times8.85\times10^{-12}\times9\times10^4 \approx 119.5\;\mathrm{W/m^2}=21​×3×108×8.85×10−12×9×104≈119.5W/m2

  • 题六（菲涅耳公式与全内反射的综合应用）

一束激光从折射率 n1=1.60n_1 = 1.60n1​=1.60 的玻璃射向折射率 n2=1.00n_2 = 1.00n2​=1.00 的空气界面。求：① 该界面的全内反射临界角 θc\theta_cθc​；② 正入射（θI=0\theta_I = 0θI​=0）时的反射率 RRR 和透射率 TTT；③ 验证能量守恒 R+T=1R + T = 1R+T=1；④ 若在玻璃与空气之间加一层折射率 n3=1.26n_3 = 1.26n3​=1.26 的增透膜，厚度为四分之一光学波长，定性说明其减反射的原理。

  • ① 全内反射临界角

sin⁡θc=n2n1=1.001.60=0.625\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.60} = 0.625sinθc​=n1​n2​​=1.601.00​=0.625

θc=arcsin⁡(0.625)≈38.7°\theta_c = \arcsin(0.625) \approx 38.7°θc​=arcsin(0.625)≈38.7°

入射角超过 38.7°38.7°38.7° 时发生全内反射，光完全无法射出玻璃。

  • ② 正入射反射率与透射率

r=n1−n2n1+n2=1.60−1.001.60+1.00=0.602.60≈0.231r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1.60 - 1.00}{1.60 + 1.00} = \frac{0.60}{2.60} \approx 0.231r=n1​+n2​n1​−n2​​=1.60+1.001.60−1.00​=2.600.60​≈0.231

R=r2≈(0.231)2≈5.33%R = r^2 \approx (0.231)^2 \approx 5.33\%R=r2≈(0.231)2≈5.33%

T=4n1n2(n1+n2)2=4×1.60×1.00(2.60)2=6.406.76≈94.67%T = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} = \frac{4\times1.60\times1.00}{(2.60)^2} = \frac{6.40}{6.76} \approx 94.67\%T=(n1​+n2​)24n1​n2​​=(2.60)24×1.60×1.00​=6.766.40​≈94.67%

  • ③ 验证能量守恒

R+T≈5.33%+94.67%=100.00%R + T \approx 5.33\% + 94.67\% = 100.00\%R+T≈5.33%+94.67%=100.00%

能量守恒严格成立。

  • ④ 增透膜减反射的原理

增透膜使界面分为两个：玻璃→膜（n1=1.60n_1 = 1.60n1​=1.60，n3=1.26n_3 = 1.26n3​=1.26）和膜→空气（n3=1.26n_3 = 1.26n3​=1.26，n2=1.00n_2 = 1.00n2​=1.00）。选取 n3=n1n2=1.60≈1.265n_3 = \sqrt{n_1 n_2} = \sqrt{1.60} \approx 1.265n3​=n1​n2​​=1.60​≈1.265（本题 n3=1.26n_3 = 1.26n3​=1.26 接近最优值），两个界面的反射率大小相近。当膜厚为四分之一光学波长时，从两个界面反射的光相差 π\piπ（半波程差），发生相消干涉，总反射率大幅降低。实际镀膜后每个界面反射率可降至 0.5% 以下，远小于未镀膜时的 5.33%。

  • 波的基础
    • 波动方程
    • 正弦波的描述
    • 波在界面处的反射与透射
    • 极化
  • 真空中的电磁波
    • 从麦克斯韦方程组推导波动方程
    • 单色平面波的结构
    • 电磁波的能量与动量
  • 介质中的电磁波
    • 线性介质中的传播
    • 正入射时的反射与透射
    • 斜入射与斯涅尔定律
  • 吸收与色散
    • 导体中的电磁波与趋肤效应
    • 导体表面的反射
    • 色散与折射率的频率依赖
  • 练习
    • 选择题
    • 计算题

目录

  • 波的基础
    • 波动方程
    • 正弦波的描述
    • 波在界面处的反射与透射
    • 极化
  • 真空中的电磁波
    • 从麦克斯韦方程组推导波动方程
    • 单色平面波的结构
    • 电磁波的能量与动量
  • 介质中的电磁波
    • 线性介质中的传播
    • 正入射时的反射与透射
    • 斜入射与斯涅尔定律
  • 吸收与色散
    • 导体中的电磁波与趋肤效应
    • 导体表面的反射
    • 色散与折射率的频率依赖
  • 练习
    • 选择题
    • 计算题