电动力学

手机充电时，电流从充电器流向电池；发电厂的发电机将机械转动变成电能；变压器让远距离输电成为可能——这一切的背后，都涉及同一个核心现象：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。前几章分别研究了静电场和静磁场，二者似乎各自独立。一旦考虑随时间变化的情形，电场与磁场就紧密耦合在一起，形成完整的电磁理论。

电动势

欧姆定律的微观图像

导线中的自由电子在外电场 $\mathbf{E}$ 的作用下加速运动，但频繁与晶格离子碰撞，平均速度维持在一个稳定值——称为漂移速度。这一微观图像给出了欧姆定律的物理基础。

定义电流密度 $\mathbf{J}$ 为单位截面积上的电流：

其中 $\sigma$ 是材料的电导率，单位为 $\mathrm{S/m}$（西门子每米）。这就是欧姆定律的微观形式。电阻率 $\rho = 1/\sigma$，单位为 $\Omega{\cdot}\mathrm{m}$。

对一段截面积为 $A$、长度为 $l$ 的均匀导体，两端电压 $V = El$，电流 $I = JA = \sigma E A$，由此得到熟悉的宏观欧姆定律：

电动势的定义

一段普通导线中，推动电荷运动的力来自电场。但在电池或发电机中，还存在非静电力——化学能、机械能等驱动电荷从低电位向高电位逆向移动。将这类非静电力（每单位电荷的力）记为 $\mathbf{f}$，则回路中的电动势（EMF）定义为非静电力沿整个回路的线积分：

由于静电场的环路积分为零（$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = 0$），电动势实际上只取决于非静电力：

单位为伏特（$\mathrm{V}$）。电动势描述的是整个回路中“驱动力”的总大小，而不是某一点的电位。

动生电动势

一根长度为 $l$ 的导体棒以速度 $\mathbf{v}$ 在均匀磁场 $\mathbf{B}$ 中运动，棒内自由电荷受到洛伦兹力 $\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$。对单位电荷而言，这相当于一个等效电场 $\mathbf{f} = \mathbf{v}\times\mathbf{B}$，驱动电荷沿棒积累，形成电位差。

具体地，设 $\mathbf{v}$、$\mathbf{B}$、棒的方向两两垂直（$v \perp B$，棒 $\perp$ 两者），则：

这就是动生电动势：导体在磁场中运动，产生等效电动势。发电机的工作原理正是基于此——线圈在磁场中转动，切割磁力线，不断产生电动势。

电磁感应

法拉第定律

1831年，法拉第通过一系列实验发现：只要穿过导体回路的磁通量发生变化，回路中就会产生感应电动势，与通量变化的快慢成正比，与如何变化无关。

穿过面积为 $\mathcal{S}$ 的回路 $\mathcal{C}$ 的磁通量为：

• 法拉第定律（积分形式）：

负号由楞次定律确定——感应电流的方向总是阻碍磁通量的变化（感应磁场对抗引起它的变化）。

法拉第定律的微分形式由斯托克斯定理推导。将 $\mathcal{E} = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$ 代入，并把时间导数移入积分（回路固定时）：

由斯托克斯定理，左端等于 $\int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{a}$，故：

这是法拉第定律的微分形式，也是麦克斯韦方程组的第三个方程。

感生电场

静电场的旋度为零（$\nabla\times\mathbf{E}=0$），它由电荷分布决定，是保守场。法拉第定律表明，当磁场随时间变化时，旋度不再为零——变化的磁场会在周围空间“激发”一种电场，即使那里没有任何电荷存在。这种由变化磁场产生的电场称为感生电场（或涡旋电场）。

感生电场的电力线是闭合曲线，不像静电场那样从正电荷出发、到负电荷终止，因此感生电场没有电势的概念。

一个典型例子：均匀增大的磁场（方向向上，穿过水平圆形区域，半径为 $R$）在其周围激发出圆周方向的涡旋电场。利用安培环路定理的类比形式，对半径为 $r$ 的同轴圆形回路：

当 $r < R$ 时，$\Phi = B\pi r^2$，故 $E = -\dfrac{r}{2}\dfrac{dB}{dt}$；

当 $r > R$ 时，$\Phi = B\pi R^2$，故 $E = -\dfrac{R^2}{2r}\dfrac{dB}{dt}$。

涡流（eddy current）就是感生电场在导体中驱动的电流。金属在交变磁场中会产生涡流，引起发热——这既是感应加热（如电磁炉）的工作原理，也是变压器铁芯要用硅钢叠片的原因（减小涡流损耗）。

自感与互感

一个线圈通有变化电流时，它自身产生的磁场穿过自身回路的磁通量也随之变化，从而在自身感应出电动势——这称为自感。

定义自感系数（电感）$L$，使得穿过线圈总磁通量 $\Psi = LI$，则自感电动势为：

负号表示自感电动势总是阻碍电流变化（楞次定律）。$L$ 的单位为亨利（$\mathrm{H}$），只与线圈的几何形状和介质有关，与电流无关。

对一个单位长度匝数为 $n$、截面积为 $A$、长度为 $l$ 的螺线管，管内磁场 $B = \mu_0 nI$，总磁通量 $\Psi = n l \cdot BA = \mu_0 n^2 lA \cdot I$，故：

其中 $V = lA$ 为螺线管体积。密绕匝数越多、截面积越大，电感越大。

两个线圈靠近时，线圈1中的变化电流会在线圈2中感应出电动势，这称为互感：

互感系数 $M$ 满足互感定理：线圈1对线圈2的互感系数等于线圈2对线圈1的互感系数（$M_{12} = M_{21} = M$）。互感是变压器的工作基础。

磁场中的能量

建立电感 $L$ 中的电流 $I$ 需要克服自感电动势做功，这些能量储存在磁场中。从零开始将电流增大至 $I$，外力做的总功为：

这就是磁场储存的能量。与静电能公式 $W = \frac{1}{2}CV^2$ 对应，形式完全类似。

进一步，可以将磁场能量写成以磁场为变量的体积分形式。以螺线管为例，$L = \mu_0 n^2 V$，$I = B/(\mu_0 n)$，代入：

推广到一般情形，磁场能量密度（单位体积的磁场能量）为：

麦克斯韦方程组

安培定律的问题

到目前为止，静磁学给出的安培定律为：

对两端取散度，左边恒为零（散度的旋度为零），右边要求 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$，即电流连续、无电荷堆积。这在稳恒电流情形下成立，但对时变情形会出现矛盾。

以电容器充电为例：导线中有电流 $I$ 流入电容器，但两极板之间是绝缘介质，没有传导电流通过。对跨越电容器两极板之间“张开”的曲面，穿过的电流为零；对绕开极板的曲面，穿过的电流为 $I$。同一条安培回路，选取不同的曲面得到不同的电流，安培定律产生矛盾。

问题的根源在于：电容器充电时，极板间电场随时间变化，这种变化本身能“等效”产生磁场，但静磁安培定律没有考虑这一效应。

位移电流的引入

麦克斯韦注意到，由高斯定律 $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ 和电荷守恒 $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0$，可以得到：

因此：

括号内的组合散度恒为零！这说明，只要把安培定律中的 $\mathbf{J}$ 替换为 $\mathbf{J} + \varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，上述矛盾就自然消失。

麦克斯韦将 $\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ 称为位移电流密度（$\mathbf{J}_d$）——尽管它不是真实电荷的流动，但在产生磁场方面与传导电流完全等效。修正后的安培定律为：

注意到 $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$，其中 $c = 3\times10^8\;\mathrm{m/s}$ 是光速。这一关系的出现暗示：电磁波的传播速度恰好等于光速——电磁波与光是同一种物理现象。

麦克斯韦方程组

将法拉第定律、修正的安培定律，以及高斯定律的两个方程合并，得到完整的麦克斯韦方程组（真空中，微分形式）：

四个方程，四个矢量方程（实为8个标量方程），完整地描述了电场和磁场在任意时变情形下的行为，是整个经典电磁学的核心。

在线性介质中（以 $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$，$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$ 替换），方程组变为：

电磁对称性的讨论

观察麦克斯韦方程组，第一个方程中 $\rho$ 是电荷密度（电场的源），第二个方程右边为零（磁场无源，无磁单极子）。若自然界存在磁单极子（磁荷），则方程组将具有完美的电磁对称性：

目前实验上尚未发现磁单极子的存在。方程组的这种“不对称”（$\rho_m = 0$，$\mathbf{J}_m = 0$）是自然界的一个基本事实，而非理论的不完善。

边界条件的统一

在两种介质的界面处，场量可能不连续。对麦克斯韦方程组的四个方程，分别在界面处应用积分形式，得到四条边界条件：

其中下标 $n$ 表示法向分量，$t$ 表示切向分量，$\sigma_f$ 为自由面电荷密度，$K_f$ 为自由面电流线密度。

练习

选择题

• 题一（法拉第定律的应用）

一矩形线圈面积 $S = 0.1\;\mathrm{m^2}$，处于均匀磁场中，磁场方向垂直线圈平面。磁场以 $\dfrac{dB}{dt} = 2\;\mathrm{T/s}$ 的速率均匀增大，则线圈中感应电动势的大小为

A. $0.05\;\mathrm{V}$   B. $0.1\;\mathrm{V}$   C. $0.2\;\mathrm{V}$   D. $2\;\mathrm{V}$

• 题二（自感电动势的方向）

一个自感系数 $L = 0.5\;\mathrm{H}$ 的线圈，电流以 $\dfrac{dI}{dt} = -4\;\mathrm{A/s}$ 的速率减小（即电流在减小）。线圈的自感电动势大小和方向为

A. $2\;\mathrm{V}$，阻碍电流减小   B. $2\;\mathrm{V}$，阻碍电流增大
C. $8\;\mathrm{V}$，阻碍电流减小   D. $8\;\mathrm{V}$，阻碍电流增大

• 题三（位移电流）

平行板电容器极板面积 $A = 0.01\;\mathrm{m^2}$，极板间距为 $d$，两极板间电场以 $\dfrac{dE}{dt} = 10^9\;\mathrm{V/(m{\cdot}s)}$ 的速率均匀增大（）。极板间位移电流 的大小最接近

A. $8.85\times10^{-5}\;\mathrm{A}$   B. $8.85\times10^{-3}\;\mathrm{A}$   C. $0.885\;\mathrm{A}$   D.

• 题四（麦克斯韦方程组与边界条件）

两种线性介质（介电常数分别为 $\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$，磁导率均为 $\mu_0$）的平面界面处，无自由面电荷。已知介质1中电场法向分量 $E_{1n}=3$，，，则介质2中电场法向分量 为

A. $9\;\mathrm{V/m}$   B. $3\;\mathrm{V/m}$   C. $1\;\mathrm{V/m}$   D. $\sqrt{3}\;\mathrm{V/m}$

计算题

• 题五（螺线管的自感与储能）

一螺线管，长度 $l = 0.5\;\mathrm{m}$，截面积 $A = 4\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}$，总匝数 $N = 1000$ 匝，管内为真空（）。求：① 单位长度匝数 ；② 自感系数 ；③ 通有电流 时磁场中储存的能量 ；④ 管内磁场能量密度 。

• 题六（动生电动势与麦克斯韦方程的应用）

长为 $l = 0.5\;\mathrm{m}$ 的导体棒，在均匀磁场 $B = 0.4\;\mathrm{T}$ 中以速度 $v = 3\;\mathrm{m/s}$ 匀速运动，运动方向与棒和磁场方向均垂直。导体棒与外电路构成闭合回路，总电阻 $R = 0.6\;\Omega$。求：① 导体棒产生的动生电动势 ；② 回路中的电流 ；③ 导体棒受到的安培力 （方向与其运动方向的关系）；④ 维持导体棒匀速运动所需外力的功率。

注意磁场在增大，由楞次定律，感应电流方向应使其磁场阻碍原磁场增大（产生反向磁场）。

由楞次定律，自感电动势总是阻碍电流变化。电流在减小（$dI/dt < 0$），自感电动势方向与电流方向相同，试图维持原电流，即"阻碍电流减小"。

这个值与导线中传导电流相等，正是麦克斯韦方程组保持一致性的体现。

$E_{2n} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_{1n} = \frac{2\varepsilon_0}{6\varepsilon_0}\times3 = \frac{1}{3}\times3 = 1\;\mathrm{V/m}$

注意：$D_n$ 连续而 $E_n$ 不连续——电场的法向分量在介电常数不同的界面处发生突变，反映了界面上束缚面电荷的存在。

• ② 自感系数

$L = \mu_0 n^2 V = \mu_0 n^2 lA = 4\pi\times10^{-7}\times2000^2\times0.5\times4\times10^{-4}$

$= 4\pi\times10^{-7}\times4\times10^6\times2\times10^{-4} \approx 1.005\times10^{-3}\;\mathrm{H} \approx 1\;\mathrm{mH}$

• ③ 磁场储能

$W = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2}\times1.005\times10^{-3}\times4 \approx 2.01\times10^{-3}\;\mathrm{J} \approx 2\;\mathrm{mJ}$

• ④ 磁场能量密度

管内磁场 $B = \mu_0 nI = 4\pi\times10^{-7}\times2000\times2 \approx 5.03\times10^{-3}\;\mathrm{T}$，

$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(5.03\times10^{-3})^2}{2\times4\pi\times10^{-7}} \approx \frac{2.53\times10^{-5}}{8\pi\times10^{-7}} \approx 10.1\;\mathrm{J/m^3}$

验证：$W = u_B\cdot V = 10.1\times0.5\times4\times10^{-4} \approx 2.02\times10^{-3}\;\mathrm{J}$，与③一致。

• ③ 导体棒受到的安培力

$F = BIl = 0.4\times1\times0.5 = 0.2\;\mathrm{N}$

由楞次定律，安培力方向与导体棒运动方向相反（阻力），这是电磁感应中能量守恒的直接体现：外力克服安培力做功，转化为电能。

• ④ 外力的功率

维持匀速运动，外力等于安培力（大小），故：

$P = Fv = 0.2\times3 = 0.6\;\mathrm{W}$

验证：回路消耗的电功率 $P_{电} = I^2R = 1^2\times0.6 = 0.6\;\mathrm{W}$，两者完全一致，机械能完全转化为电能（焦耳热）。