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振动理论

振动是自然界中最普遍的运动形式之一：钟摆的摆动、弦的振动、分子的热运动，乃至地球的地震波，都可以用振动理论来描述。当一个力学系统在稳定平衡位置附近做微小运动时，不论势能函数的具体形式如何，运动方程总可以近似为线性方程——这就是小振动近似的核心思想。通过引入简正坐标，多自由度耦合系统可以分解为若干个独立的简谐振子，从而得到完整的解析描述。

小振动问题的建立

考虑一个具有 $n$ 个自由度的保守系统，广义坐标为 $q_1, q_2, \ldots, q_n$ 。设系统在 $q_i = q_i^{(0)}$ （ $i = 1, \ldots, n$ ）处有稳定平衡位置，取偏移量 $\eta_i = q_i - q_i^{(0)}$ 为新的广义坐标，使平衡位置对应各 $\eta_i = 0$ 。

在平衡位置附近，将势能 $V$ 对 $\eta_i$ 做泰勒展开。由于平衡位置处各偏导 $\partial V/\partial \eta_i = 0$ ，展开从二阶项开始：

V \approx \frac{1}{2}\sum_{i,j} V_{ij}\eta_i\eta_j, \quad V_{ij} = \left.\frac{\partial^2 V}{\partial \eta_i \partial \eta_j}\right|_{\text{平衡}}

类似地，动能（广义速度的二次型）在平衡附近近似为：

T \approx \frac{1}{2}\sum_{i,j} T_{ij}\dot{\eta}_i\dot{\eta}_j

其中 $T_{ij}$ 为动能矩阵元素，取平衡点处的值。系统的拉格朗日量 $L = T - V$ 变为两个二次型的差：

L = \frac{1}{2}\dot{\boldsymbol{\eta}}^T \mathbf{T} \dot{\boldsymbol{\eta}} - \frac{1}{2}\boldsymbol{\eta}^T \mathbf{V} \boldsymbol{\eta}

由此得到线性运动方程组：

\mathbf{T}\ddot{\boldsymbol{\eta}} + \mathbf{V}\boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}

矩阵 $\mathbf{T}$ 称为动能矩阵（惯量矩阵），矩阵 $\mathbf{V}$ 称为势能矩阵（刚度矩阵）。两者均为实对称矩阵，且 $\mathbf{T}$ 正定（动能恒非负）， $\mathbf{V}$ 在稳定平衡点处也正定（势能有极小值）。

例一：弹簧耦合的两质点系统

两个质量均为 $m$ 的质点排成一排，通过刚度为 $k$ 的弹簧分别与两端固定壁相连，中间再用刚度为 $k_c$ 的弹簧相互耦合。取质点偏离平衡位置的位移 $\eta_1, \eta_2$ 为广义坐标，动能矩阵和势能矩阵分别为：

\mathbf{T} = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix}, \quad \mathbf{V} = \begin{pmatrix} k + k_c & -k_c \\ -k_c & k + k_c \end{pmatrix}

运动方程写成矩阵形式即为 $\mathbf{T}\ddot{\boldsymbol{\eta}} + \mathbf{V}\boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}$ ，两方程通过 $k_c$ 项相互耦合。

本征值方程与简正模式

设运动方程的解形如 $\boldsymbol{\eta}(t) = \boldsymbol{a}\, e^{i\omega t}$ ，代入 $\mathbf{T}\ddot{\boldsymbol{\eta}} + \mathbf{V}\boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}$ ，得到广义本征值问题：

(\mathbf{V} - \omega^2 \mathbf{T})\boldsymbol{a} = \mathbf{0}

要使振幅向量 $\boldsymbol{a}$ 有非零解，系数矩阵的行列式必须为零：

\det(\mathbf{V} - \omega^2 \mathbf{T}) = 0

这就是久期方程，它是关于 $\omega^2$ 的 $n$ 次方程，给出 $n$ 个根 $\omega_1^2, \omega_2^2, \ldots, \omega_n^2$ ，称为系统的的平方。对每个，方程有一个对应的解向量，称为第个。

对于稳定平衡位置，所有 $\omega_k^2 > 0$ ，简正频率均为实数。若某个 $\omega_k^2 = 0$ ，则对应系统整体平移或转动的零频自由度；若出现，则表明该平衡位置不稳定，系统将偏离平衡点做指数增长运动。

例二：耦合弹簧系统的简正频率

对例一的耦合弹簧系统，久期方程为：

\begin{vmatrix} k + k_c - m\omega^2 & -k_c \\ -k_c & k + k_c - m\omega^2 \end{vmatrix} = 0

展开得 $(k + k_c - m\omega^2)^2 - k_c^2 = 0$ ，解出两个简正频率：

\omega_1^2 = \frac{k}{m}, \quad \omega_2^2 = \frac{k + 2k_c}{m}

简正模式	简正频率	振动方式	物理解释
第一模式（同相）	$\omega_1 = \sqrt{k/m}$	两质点同向等幅振动	中间弹簧不形变，等效为两个独立振子
第二模式（反相）	$_{}$

耦合弹簧使第二模式频率升高，而第一模式频率与单个质点—弹簧系统完全相同。

简正坐标

通过线性变换，可以将耦合的运动方程解耦为 $n$ 个独立的简谐振子方程。定义简正坐标 $\xi_k$ ，使得原坐标 $\boldsymbol{\eta}$ 表示为各简正模式向量的叠加：

\boldsymbol{\eta} = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{a}^{(k)} \xi_k

其中 $\boldsymbol{a}^{(k)}$ 经过 $\mathbf{T}$ -正交归一化处理。代入运动方程并利用简正模式的正交性，得到解耦方程：

\ddot{\xi}_k + \omega_k^2 \xi_k = 0, \quad k = 1, 2, \ldots, n

每个简正坐标独立做简谐振动，互不干扰。

在简正坐标下，一个 $n$ 自由度的耦合振动系统等价于 $n$ 个独立的简谐振子。系统的任意运动都可以表示为各简正模式振动的叠加，这是振动分析中最核心的原则之一。

例三：耦合双摆的简正坐标

两个单摆，摆长均为 $l$ ，摆球质量均为 $m$ ，两摆球之间用刚度 $k_c$ 的弹簧相连（自然长度等于平衡时间距）。在小角度近似下，动能矩阵和势能矩阵为：

\mathbf{T} = ml^2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{V} = \begin{pmatrix} mgl + k_c l^2 & -k_c l^2 \\ -k_c l^2 & mgl + k_c l^2 \end{pmatrix}

两个简正频率为：

\omega_1^2 = \frac{g}{l}, \quad \omega_2^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k_c}{m}

简正坐标 $\xi_1 = (\eta_1 + \eta_2)/\sqrt{2}$ （两摆角度之和）和（角度之差）分别描述同相和反相模式，两者完全独立演化。

线性三原子分子的振动模式

以线性对称三原子分子（如 $\mathrm{CO_2}$ ）为例分析振动模式。分子由中间原子（质量 $M$ ，碳）和两侧原子（质量 $m$ ，氧）组成，相邻原子间以等效弹簧（刚度 $k$ ）连接。

仅考虑沿分子轴方向的纵向振动，设三个原子的纵向位移分别为 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ ：

\mathbf{T} = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix}, \quad \mathbf{V} = k\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

久期方程给出三个简正频率：

零频模式（ $\omega_1 = 0$ ）对应整体平移，不属于振动自由度，而是系统的平动自由度。对 $n$ 个原子组成的线性分子，共有 $3n - 5$ 个振动模式（扣除 3 个平动和 2 个转动自由度）。 $\mathrm{CO_2}$ 有 3 个原子，振动模式共个（包含一对简并的弯曲振动）。

例四： $\mathrm{CO_2}$ 不对称伸缩频率量级估算

取 $\mathrm{CO_2}$ 数据： $m(\mathrm{O}) = 16\,\mathrm{u} = 2.66\times10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ，，键等效弹簧常数（由光谱数据估算）。

\omega_3 = \sqrt{\frac{k(2m+M)}{mM}} = \sqrt{\frac{1500\times(2\times2.66 + 1.99)\times10^{-26}}{2.66\times10^{-26}\times1.99\times10^{-26}}}

= \sqrt{\frac{1500\times7.31\times10^{-26}}{5.29\times10^{-52}}} \approx \sqrt{2.07\times10^{28}} \approx 4.55\times10^{13}\,\mathrm{rad/s}

对应频率约 $7.2\,\mathrm{THz}$ ，波长约 $42\,\mathrm{\mu m}$ ，处于红外波段，与实验观测吻合良好。

受迫振动与阻尼效应

实际振动系统中，振动体不可避免地受到阻尼（能量耗散）和外驱动力的影响。以单自由度系统为例，质量 $m$ 、弹簧刚度 $k$ 、阻尼系数 $b$ （阻尼力 $F_b = -b\dot{x}$ ），受简谐外力驱动时，运动方程为：

m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos(\Omega t)

引入固有频率 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 和阻尼率 $\gamma = b/(2m)$ ，方程改写为：

\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\Omega t)

通解由两部分构成。齐次部分描述自由阻尼振动，随时间指数衰减：

x_{\text{齐次}}(t) = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi_0), \quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}

其中 $\omega_d$ 为阻尼振动频率，在弱阻尼（ $\gamma \ll \omega_0$ ）时接近固有频率 $\omega_0$ 。经过足够长时间后，瞬态响应衰减消失，系统进入：

x_{\text{稳态}}(t) = A(\Omega)\cos(\Omega t - \delta)

稳态振幅 $A(\Omega)$ 和相位角 $\delta$ 为：

A(\Omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}, \quad \tan\delta = \frac{2\gamma\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}

临界阻尼是使系统最快回到平衡位置而不发生振荡的最优阻尼条件，广泛应用于需要快速稳定的工程系统设计中。汽车减震器的设计目标正是接近临界阻尼。

例五：受迫振动稳态振幅的计算

弹簧—质量系统参数： $m = 0.5\,\mathrm{kg}$ ， $k = 200\,\mathrm{N/m}$ ，阻尼系数 $b = 2\,\mathrm{N{\cdot}s/m}$ ，外力，求稳态振幅。

固有频率： $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0.5} = 20\,\mathrm{rad/s}$

阻尼率： $\gamma = b/(2m) = 2/(2\times0.5) = 2\,\mathrm{rad/s}$

驱动频率 $\Omega = 20\,\mathrm{rad/s} = \omega_0$ （恰好在固有频率处驱动），代入振幅公式：

A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}} = \frac{10/0.5}{\sqrt{0 + 4\times4\times400}} = \frac{20}{\sqrt{6400}} = \frac{20}{80} = 0.25\,\mathrm{m}

共振条件与能量耗散

当驱动频率 $\Omega$ 接近系统固有频率 $\omega_0$ 时，稳态振幅显著增大，这种现象称为共振。对振幅表达式 $A(\Omega)$ 求极值，得振幅最大时的共振频率：

\Omega_{\text{共振}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}

在弱阻尼时 $\Omega_{\text{共振}} \approx \omega_0$ 。共振时的最大振幅为：

A_{\max} \approx \frac{F_0/m}{2\gamma\omega_0} \quad (\gamma \ll \omega_0)

品质因数 $Q$ 定义为：

Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}

$Q$ 值综合反映系统的振荡性能： $Q$ 越高，共振峰越尖锐，共振振幅越大，能量耗散越慢，系统的频率选择性越好。

在稳态受迫振动中，驱动力对系统的平均功率为：

\bar{P} = \frac{1}{2}\frac{F_0^2}{m}\cdot\frac{\gamma\Omega^2}{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}

共振时（ $\Omega = \omega_0$ ），平均功率取最大值 $\bar{P}_{\max} = F_0^2/(8m\gamma)$ ，驱动力输入的能量全部被阻尼耗散。

例六：阻尼振动的能量衰减

弹簧振子固有频率 $\omega_0 = 10\,\mathrm{rad/s}$ ，品质因数 $Q = 50$ 。初始振幅 $A_0 = 0.1\,\mathrm{m}$ ，弹簧刚度。求经过后振动能量剩余的百分比。

由 $Q = \omega_0/(2\gamma)$ ，得 $\gamma = \omega_0/(2Q) = 10/100 = 0.1\,\mathrm{rad/s}$ 。

振动能量正比于振幅平方，振幅随时间衰减为 $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ ，因此能量衰减为：

E(t) = E_0 e^{-2\gamma t}

经过 $t = 1\,\mathrm{s}$ ：

\frac{E(1)}{E_0} = e^{-2\times0.1\times1} = e^{-0.2} \approx 0.819

能量剩余约 $81.9\%$ ，即在 $1\,\mathrm{s}$ 内约耗散了 $18.1\%$ 的振动能量。

练习题

1. 关于多自由度系统的简正模式，下列说法正确的是：

A. 简正模式下系统各质点以不同频率振动，相互独立

B. 系统的所有简正模式振动频率都相同

C. 在某一简正模式下，各质点以同一频率做简谐振动，振幅之比保持固定

D. 简正坐标之间存在耦合，无法独立处理

答案：C

分析：简正模式是指系统各部分以同一频率做简谐振动的运动方式，各质点的振幅之比（模式向量各分量之比）保持不变，C 正确。不同简正模式有各自不同的频率，B 错误（B 称各模式频率相同，有误）。A 描述的是不同简正模式各自独立，但同一模式内所有质点是同一频率，A 的说法混乱。简正坐标经过变换后恰好相互解耦，D 错误。

2. 一个欠阻尼系统（ $\gamma < \omega_0$ ），其阻尼振动频率 $\omega_d$ 与固有频率 $\omega_0$ 的大小关系是：

A. $\omega_d > \omega_0$

B. $\omega_d = \omega_0$

C. $\omega_d < \omega_0$

D. $\omega_d$ 与 $\gamma$ 无关，等于某个固定值

答案：C

分析：阻尼振动频率 $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ 。由于，有，因此。阻尼的存在使振动频率降低，C 正确。只有无阻尼时（）才有。

3. 在无阻尼条件下，系统受迫振动处于共振状态（驱动频率等于固有频率）时，下列说法正确的是：

A. 驱动力对系统做的净功为零，振幅保持恒定

B. 系统振幅随时间线性增长，理论上趋于无穷大

C. 系统振幅等于静态位移，不随驱动频率变化

D. 系统的速度与驱动力方向始终相反，能量反馈给驱动源

答案：B

分析：在无阻尼且驱动频率恰好等于固有频率时，系统响应中出现 $t\sin(\omega_0 t)$ 型解，振幅随时间线性增长，理论上趋于无穷大，B 正确。实际系统中阻尼会限制振幅的增长。共振时驱动力与速度同相，驱动力持续做正功，A 错误。C 描述的是静力加载情形。D 描述相位关系有误。

4. 品质因数 $Q$ 较大的振动系统，与 $Q$ 较小的系统相比：

A. 共振峰更宽，能量耗散更快，振幅对频率变化不敏感

B. 共振峰更尖锐，能量耗散更慢，对特定频率选择性更强

C. 固有频率更高，阻尼力更大，振动持续时间更短

D. 共振振幅更小，系统对外界激励的响应更弱

答案：B

分析：品质因数 $Q = \omega_0/(2\gamma)$ ， $Q$ 越大则 $\gamma$ 越小，阻尼越弱，能量耗散越慢。共振峰的半高宽为 $\Delta\Omega \approx 2\gamma = \omega_0/Q$ ，越大则频带越窄、峰越尖锐，频率选择性越强，B 正确。A 描述相反。C 中固有频率与无必然关系。共振振幅，越大振幅越大，D 错误。

5. 一弹簧—质量系统参数为：质量 $m = 1\,\mathrm{kg}$ ，弹簧刚度 $k = 100\,\mathrm{N/m}$ ，阻尼系数 $b = 4\,\mathrm{N{\cdot}s/m}$ 。（一）求固有频率、阻尼率和品质因数；（二）系统受外力驱动，求稳态振幅；（三）求振幅共振频率，并与驱动频率比较。

解：

（一）固有频率：

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10\,\mathrm{rad/s}

6. 两个质量均为 $m = 0.2\,\mathrm{kg}$ 的质点，通过弹簧排列如下：质点 1 左侧连接固定壁（弹簧刚度 $k_1 = 20\,\mathrm{N/m}$ ），两质点之间用弹簧耦合（刚度 $k_c = 5\,\mathrm{N/m}$ ），质点 2 右侧连接固定壁（弹簧刚度）。求：（一）系统的两个简正频率；（二）描述每个简正模式的振动方式。

解：

（一）势能矩阵：

\mathbf{V} = \begin{pmatrix} k_1 + k_c & -k_c \\ -k_c & k_2 + k_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & -5 \\ -5 & 25 \end{pmatrix}\,\mathrm{N/m}

ω

2

=

\sqrt{(k + 2 k_{c}) / m}

\omega_2 = \sqrt{(k+2k_c)/m}

F(t) = F_0\cos(\Omega t)

F (t) = 10 \cos (20 t) N

F(t) = 10\cos(20t)\,\mathrm{N}

\omega_0

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