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刚体动力学方程

刚体是理想化的固体模型——任意两点之间的距离始终保持不变。在运动学层面，第四章已经建立了用欧拉角描述刚体姿态、用角速度矢量描述转动快慢的方法。进入动力学，核心问题变为：给定外力矩，刚体的角速度如何随时间变化？要回答这个问题，必须先理解刚体的转动惯量——它在转动中扮演「质量」的角色，但比质量复杂得多，是一个 $3\times3$ 的矩阵，称为惯量张量。

刚体的角动量与转动动能

刚体绕某基点（质心或固定点）转动时，各质量元的速度由角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 决定。对于位置矢量为 $\boldsymbol{r}$ 的质量元 $dm$ ，其速度为：

\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}

刚体的角动量

将全部质量元的角动量积分，得到刚体对基点的总角动量：

\boldsymbol{L} = \int \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}\,dm = \int \boldsymbol{r} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})\,dm

利用矢量三重积公式展开后，可以整理成矩阵乘法的形式：

\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}

简记为 $\boldsymbol{L} = \mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}$ ，其中 $\mathbf{I}$ 称为惯量张量（inertia tensor），单位为 $\mathrm{kg\cdot m^2}$ 。

刚体的角动量与角速度之间并非简单的标量比例关系，而是由惯量张量联系的矩阵关系。只有当转轴恰好沿某些特殊方向（主轴方向）时， $\boldsymbol{L}$ 才与 $\boldsymbol{\omega}$ 平行。

转动动能

刚体的转动动能为各质量元动能之和：

T = \frac{1}{2}\int v^2\,dm = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^{\,T} \mathbf{I}\, \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L}

展开后得：

T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} I_{ij}\,\omega_i\,\omega_j

这与平动动能 $T = \dfrac{1}{2}mv^2$ 的形式类似，但由于惯量张量的存在，各分量之间存在耦合。

惯量张量的定义与计算

惯量张量的各分量

惯量张量是一个 $3\times3$ 的实对称矩阵，各分量定义为：

I_{ij} = \int \rho(\boldsymbol{r})\left(\delta_{ij}\,r^2 - r_i\,r_j\right)dV

其中 $\rho$ 为质量密度， $\delta_{ij}$ 为克罗内克符号（ $i=j$ 时为 1，否则为 0）， $r^2 = x^2+y^2+z^2$ 。对角元称为，非对角元称为：

I_{xx} = \int\rho\,(y^2+z^2)\,dV,\quad I_{yy} = \int\rho\,(z^2+x^2)\,dV,\quad I_{zz} = \int\rho\,(x^2+y^2)\,dV

I_{xy} = I_{yx} = -\int\rho\, x\,y\,dV,\quad I_{xz} = I_{zx} = -\int\rho\, x\,z\,dV,\quad I_{yz} = I_{zy} = -\int\rho\, y\,z\,dV

下表汇总了几种常见均匀刚体对过质心轴的转动惯量（总质量为 $M$ ）：

平行轴定理

若已知刚体对过质心轴的转动惯量为 $I_{\mathrm{cm}}$ ，则对平行于该轴、距离为 $d$ 的另一轴的转动惯量为：

I = I_{\mathrm{cm}} + Md^2

这一定理将任意平行轴的计算化归为质心轴情形，避免重新积分。

例一：均匀细杆绕端点轴的转动惯量

细杆质量 $M$ 、长 $L$ ，过质心垂直轴的转动惯量 $I_{\mathrm{cm}} = \dfrac{1}{12}ML^2$ ，端点轴与质心轴平行，距离。由平行轴定理：

I_{\mathrm{端}} = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2

端点轴的转动惯量是质心轴的 4 倍，说明质量分布离转轴越远，转动惯量越大。

垂直轴定理

对于质量分布在 $xy$ 平面内的薄板，三个坐标轴的转动惯量满足：

I_z = I_x + I_y

其中 $I_z$ 是绕垂直板面轴（ $z$ 轴）的转动惯量， $I_x$ 、 $I_y$ 分别是绕板面内两轴的转动惯量。

例二：均匀薄圆盘的径向转动惯量

均匀薄圆盘（半径 $R$ 、质量 $M$ ），中心轴转动惯量 $I_z = \dfrac{1}{2}MR^2$ 。由圆盘的旋转对称性，绕任意直径的转动惯量相等，即。由垂直轴定理：

I_z = 2\,I_x \implies I_x = \frac{1}{4}MR^2

即绕圆盘直径的转动惯量为 $\dfrac{1}{4}MR^2$ ，恰好是中心轴的一半。

惯量主轴与主惯量

主轴的概念

惯量张量 $\mathbf{I}$ 是实对称矩阵，由线性代数的谱定理，总存在三个正交方向，使得惯量张量在这些方向上取对角形式：

\mathbf{I}_{\text{主轴}} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}

这三个正交方向称为惯量主轴，对应的 $I_1$ 、 $I_2$ 、 $I_3$ 称为主惯量。寻找主轴的数学步骤，就是求惯量张量的本征值和本征矢量：

\mathbf{I}\,\hat{\boldsymbol{e}} = I\,\hat{\boldsymbol{e}}

找到主轴，就找到了描述刚体转动最简洁的坐标系。在主轴坐标系中，惯量张量为对角矩阵，所有惯量积为零，运动方程大为简化。这是后续推导欧拉方程的关键前提。

对称性对主轴的确定有决定性作用：

刚体对称性	主轴方向
具有旋转对称轴（圆柱、圆锥等）	对称轴本身就是一根主轴；其余两根垂直于对称轴，方向可任选
具有三个互相垂直的对称面	三个对称面的法向即为主轴方向
均质球体	过球心任意三个正交方向都是主轴，且 $I_1=I_2=I_3$

例三：均匀实心圆柱的主惯量

均匀实心圆柱，质量 $M$ ，半径 $R$ ，高度 $H$ ，以质心为原点，中心轴为 $z$ 轴。由对称性， $z$ 轴是主轴，另外两根主轴垂直于 $z$ 轴，方向任意。三个主惯量为：

I_3 = \frac{1}{2}MR^2,\quad I_1 = I_2 = \frac{1}{4}MR^2 + \frac{1}{12}MH^2

参数	圆柱（ $R=0.1\,\mathrm{m}$ ， $H=0.3\,\mathrm{m}$ ， $M=2\,\mathrm{kg}$ ）
$I_3$ （对称轴）

$I_1 > I_3$ 说明绕径向轴转动时「转动惯性」更大，符合直觉：细长圆柱绕横轴转动需要更大力矩。

欧拉方程的推导与应用

推导过程

在惯性系（实验室坐标系）中，角动量定理写为：

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}\bigg|_{\text{惯性系}} = \boldsymbol{M}

其中 $\boldsymbol{M}$ 为外力矩。若改用与刚体固联的体坐标系（body frame）来计算，需加上坐标系转动引起的附加项：

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}\bigg|_{\text{惯性系}} = \frac{d\boldsymbol{L}}{dt}\bigg|_{\text{体系}} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L} = \boldsymbol{M}

取主轴坐标系，使 $\mathbf{I}$ 为对角矩阵， $\boldsymbol{L} = (I_1\omega_1,\, I_2\omega_2,\, I_3\omega_3)$ ，将上式按分量展开，得到：

I_1\dot{\omega}_1 - (I_2 - I_3)\,\omega_2\omega_3 = M_1

I_2\dot{\omega}_2 - (I_3 - I_1)\,\omega_3\omega_1 = M_2

I_3\dot{\omega}_3 - (I_1 - I_2)\,\omega_1\omega_2 = M_3

欧拉方程在与刚体固联的主轴系中建立，避免了惯量张量的非对角元，是分析刚体转动动力学的标准工具。

转动稳定性——中间轴定理

将一本书（三个主惯量各不相同， $I_1 < I_2 < I_3$ ）抛向空中并施加初始旋转。分三种情况讨论：绕最小惯量轴或最大惯量轴旋转时，运动是稳定的；绕中间惯量轴旋转时，运动是不稳定的，微小扰动将导致翻转。这一规律通过对欧拉方程做线性稳定性分析可以严格证明，实验中也能直接观察到，被称为「中间轴定理」或「网球拍效应」。

例四：轴对称刚体的欧拉方程

对于旋转对称刚体（ $I_1 = I_2 \equiv I_\perp \neq I_3$ ），无力矩情形（）下欧拉方程化简为：

I_\perp\dot{\omega}_1 = (I_\perp - I_3)\,\omega_2\omega_3,\quad I_\perp\dot{\omega}_2 = -(I_\perp - I_3)\,\omega_1\omega_3,\quad I_3\dot{\omega}_3 = 0

第三式给出 $\omega_3 = \text{常数}$ ，即绕对称轴的自旋分量不变。定义进动角频率：

\Omega = \frac{(I_3 - I_\perp)\,\omega_3}{I_\perp}

前两式的解为：

\omega_1(t) = \omega_\perp\cos(\Omega t + \phi_0),\quad \omega_2(t) = \omega_\perp\sin(\Omega t + \phi_0)

角速度在垂直于对称轴的截面内以角频率 $\Omega$ 匀速旋转。

自由陀螺的运动

自由进动

无外力矩的旋转对称刚体（即「自由陀螺」）的运动，由上节例四的结果可以看出：角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 的端点在体坐标系中绕对称轴做圆周运动，这称为自由进动。在惯性系中，角动量 $\boldsymbol{L}$ 方向固定（守恒），对称轴绕 $\boldsymbol{L}$ 方向旋转，轨迹是一个锥面。

下表给出了几种旋转对称刚体的进动频率与自旋频率之比：

例五：均质薄圆盘的自由进动频率

均质薄圆盘（质量 $M$ ，半径 $R = 0.15\,\mathrm{m}$ ），主惯量 $I_\perp = \dfrac{1}{4}MR^2$ ，。若圆盘绕对称轴以自旋，进动角频率为：

\Omega = \frac{(I_3 - I_\perp)\,\omega_3}{I_\perp} = \frac{\left(\dfrac{1}{2}MR^2 - \dfrac{1}{4}MR^2\right)\times 20}{\dfrac{1}{4}MR^2} = \frac{\dfrac{1}{4}MR^2\times 20}{\dfrac{1}{4}MR^2} = 20\,\mathrm{rad/s}

均质圆盘的自由进动频率恰好等于自旋频率，这是其几何特殊性 $I_3 = 2I_\perp$ 的直接结果。

地球是略扁的旋转椭球体（ $I_3 > I_\perp$ ）。按照自由进动公式，地轴应以约 305 天为周期绕地球对称轴进动。实际观测到的周期约为 433 天，称为「钱德勒摆动」。差异来源于地球的非刚性（地幔流动、海洋潮汐等）对有效惯量的影响。

对称重陀螺的稳定进动

问题描述

对称重陀螺是一个有一个固定点（如尖端）的旋转对称刚体，重力提供力矩，使运动更加复杂。用欧拉角 $(\psi,\,\theta,\,\phi)$ 描述： $\psi$ 为进动角（对称轴绕竖直轴旋转的角度）， $\theta$ 为章动角（对称轴与竖直方向的夹角）， $\phi$ 为自旋角（绕自身对称轴旋转的角度）。

对拉格朗日方程（参见第二章）分析此系统， $\psi$ 和 $\phi$ 是循环坐标，对应两个守恒量：沿竖直方向的角动量分量 $p_\psi$ 和沿对称轴的角动量分量 $p_\phi$ （即 $I_3\omega_3$ ）。

快速自旋近似

当陀螺快速旋转（ $I_3\omega_3 \gg I_\perp\dot{\psi}$ ）时，稳定进动（）的进动角速度近似为：

\dot{\psi} \approx \frac{Mgl}{I_3\omega_3}

其中 $M$ 为陀螺质量， $g$ 为重力加速度， $l$ 为固定点到质心的距离， $\omega_3$ 为绕对称轴的自旋角速度。

进动速度与自旋速度成反比：陀螺自旋越快，在重力矩作用下的进动越慢。这就是快速旋转陀螺能保持「不倒」的物理根源——角动量很大，方向改变缓慢。

例六：陀螺的进动角速度与周期

对称陀螺参数：质量 $M = 0.2\,\mathrm{kg}$ ，固定点到质心距离 $l = 0.05\,\mathrm{m}$ ，绕对称轴转动惯量 $I_3 = 5\times10^{-4}\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ ，转速。

自旋角速度：

\omega_3 = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi\times3000}{60} = 100\pi\,\mathrm{rad/s} \approx 314\,\mathrm{rad/s}

快速自旋近似下的进动角速度：

\dot{\psi} \approx \frac{Mgl}{I_3\omega_3} = \frac{0.2\times9.8\times0.05}{5\times10^{-4}\times100\pi} = \frac{0.098}{0.05\pi} \approx 0.624\,\mathrm{rad/s}

进动周期：

T_\psi = \frac{2\pi}{\dot{\psi}} \approx \frac{2\pi}{0.624} \approx 10.1\,\mathrm{s}

陀螺每约 10 秒绕竖直轴缓慢进动一圈，与日常观察的陀螺行为一致。

练习题

1. 关于刚体的角动量与角速度，以下说法正确的是：

A. 刚体的角动量方向一定与角速度方向相同

B. 只有当转轴恰好沿惯量主轴方向时，角动量才与角速度平行

C. 无论沿哪个方向转动，角动量大小都等于某一固定的转动惯量乘以角速度大小

D. 惯量张量只对具有旋转对称性的刚体才有意义

答案：B

分析：一般情况下， $\boldsymbol{L} = \mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}$ ， $\boldsymbol{L}$ 与 $\boldsymbol{\omega}$ 不平行，排除 A。只有 $\boldsymbol{\omega}$ 沿主轴方向时， $\boldsymbol{L} = I_i\boldsymbol{\omega}$ （标量乘法），两者才平行，故 B 正确。不同方向的转动惯量由惯量张量的投影决定，不是固定值，排除 C。惯量张量对任意刚体都有定义，排除 D。

2. 平行轴定理 $I = I_{\mathrm{cm}} + Md^2$ 的使用条件是：

A. 两轴之间没有要求，可以不平行

B. 两轴必须平行，且其中一轴过质心

C. 两轴必须都过质心

D. 仅对均质刚体成立，非均质刚体不适用

答案：B

分析：平行轴定理要求两根轴互相平行，且其中一根必须过质心（质心轴）。若质心轴的转动惯量已知，则任何平行于它、距离为 $d$ 的轴的转动惯量均可直接由 $I = I_{\mathrm{cm}} + Md^2$ 得出。该定理对任意质量分布（均质或非均质）的刚体均成立，排除 D。

3. 无力矩旋转对称刚体（ $I_1 = I_2 \equiv I_\perp \neq I_3$ ）做自由进动时，以下哪个量不守恒？

A. 角动量 $\boldsymbol{L}$ 的大小与方向

B. 转动动能 $T$

C. 体坐标系中角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 的方向

D. 绕对称轴的角速度分量 $\omega_3$

答案：C

分析：无力矩时，惯性系中角动量 $\boldsymbol{L}$ 守恒（大小方向均不变），故 A 守恒。动能 $T = \boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{L}/2$ ， $\boldsymbol{\omega}$ 大小（ $\omega^2 = \omega_\perp^2 + \omega_3^2$ ）守恒，也守恒，故 B 守恒。由欧拉方程，为常数，故 D 守恒。但在体系中绕对称轴旋转，即的方向在体坐标系中持续变化，故 C 不守恒。

4. 一个快速旋转的对称陀螺在重力矩下做稳定进动，若将其自旋转速提高为原来的 3 倍，进动角速度变为原来的：

A. 3 倍

B. $\sqrt{3}$ 倍

C. $1/3$ 倍

D. 不变

答案：C

分析：快速自旋近似下进动角速度为 $\dot{\psi} \approx \dfrac{Mgl}{I_3\omega_3}$ ，与自旋角速度成反比。自旋提高为 3 倍，进动角速度变为原来的，陀螺进动更慢，更加稳定。

5. 均匀薄圆盘质量 $M = 0.5\,\mathrm{kg}$ ，半径 $R = 0.20\,\mathrm{m}$ 。求：（一）圆盘绕中心轴的转动惯量 $I_z$ ；（二）利用平行轴定理，求圆盘绕过盘缘且垂直盘面的轴的转动惯量 $I_{\mathrm{边}}$ ；（三）利用垂直轴定理，求圆盘绕通过质心的直径轴的转动惯量。

解：

（一）中心轴转动惯量：

I_z = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}\times0.5\times(0.20)^2 = \frac{1}{2}\times0.5\times0.04 = 0.010\,\mathrm{kg\cdot m^2}

6. 对称陀螺参数如下：质量 $M = 0.30\,\mathrm{kg}$ ，固定点到质心距离 $l = 0.08\,\mathrm{m}$ ，绕对称轴转动惯量 $I_3 = 2.0\times10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ ，转速。取。求：（一）自旋角速度；（二）利用快速自旋近似，求稳定进动角速度和进动周期。

解：

（一）自旋角速度：

\omega_3 = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi\times1500}{60} = 50\pi\,\mathrm{rad/s} \approx 157\,\mathrm{rad/s}

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