哈密顿力学

拉格朗日力学以广义坐标和广义速度 $(q_i, \dot{q}_i)$ 描述系统的运动状态。哈密顿力学则将描述空间转变为广义坐标与广义动量 $(q_i, p_i)$ 构成的相空间。这不仅是数学上的重新表达，更深刻揭示了力学系统的对称结构，使守恒量的分析和自由度降维处理变得更加系统化。

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勒让德变换

勒让德变换是连接拉格朗日力学与哈密顿力学的核心数学工具。其基本思想是：将一个函数对某个变量的依赖，转换为对该变量的偏导数（共轭变量）的依赖。

对于拉格朗日量 $L(q_i, \dot{q}_i, t)$，定义广义动量：

$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$$

广义动量 $p_i$ 与广义速度 $\dot{q}_i$ 互为共轭变量。以广义动量代替广义速度作为独立变量，定义哈密顿量（Hamiltonian）：

$$H(q_i, p_i, t) = \sum_{i} p_i \dot{q}_i - L(q_i, \dot{q}_i, t)$$

等式右边的 $\dot{q}_i$ 需通过 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ 反解出来，表示为 $(q_i, p_i, t)$ 的函数。

• 例一：一维谐振子的哈密顿量

质量为 $m$ 的质点在弹簧（刚度 $k$）约束下振动，位移为 $x$。拉格朗日量：

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2$$

广义动量：$p = \partial L/\partial \dot{x} = m\dot{x}$，即 $\dot{x} = p/m$。哈密顿量：

$$H = p\dot{x} - L = p \cdot \frac{p}{m} - \left(\frac{p^2}{2m} - \frac{1}{2}kx^2\right) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2$$

这正是动能加势能，即总机械能。对于保守系统，哈密顿量就等于总能量。

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哈密顿正则方程

从哈密顿量的全微分出发推导运动方程。对 $H(q_i, p_i, t)$ 求全微分：

$$dH = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt$$

另一方面，由定义 $H = \sum_i p_i\dot{q}_i - L$ 直接展开，利用拉格朗日方程 $\dot{p}_i = \partial L/\partial q_i$，整理后对比两式各项系数，得到哈密顿正则方程：

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

这两组方程共 $2n$ 个一阶方程（$n$ 为自由度数），等价于拉格朗日方程的 $n$ 个二阶方程。正则方程形式高度对称：$q_i$ 与 $p_i$ 以完全对称的方式出现，仅差一个负号。

• 例二：一维谐振子的正则方程

对 $H = p^2/(2m) + kx^2/2$，正则方程为：

$$\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx$$

第一式说明广义动量 $p = m\dot{x}$（线动量的物理含义）；第二式即牛顿第二定律 $\dot{p} = F = -kx$。两式联立消去 $p$，回到 $m\ddot{x} + kx = 0$。

• 例三：平面粒子的极坐标描述

质量为 $m$ 的粒子在平面内运动，极坐标 $(r, \varphi)$，在势 $V(r)$ 中。动能：

$$T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2)$$

广义动量：$p_r = m\dot{r}$（径向动量），$p_\varphi = mr^2\dot{\varphi}$（角动量）。哈密顿量：

$$H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\varphi^2}{2mr^2} + V(r)$$

正则方程给出：

$$\dot{r} = \frac{p_r}{m}, \quad \dot{p}_r = \frac{p_\varphi^2}{mr^3} - \frac{dV}{dr}, \quad \dot{\varphi} = \frac{p_\varphi}{mr^2}, \quad \dot{p}_\varphi = -\frac{\partial H}{\partial \varphi} = 0$$

最后一式 $\dot{p}_\varphi = 0$ 表明角动量守恒，这正是循环坐标的直接体现。

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循环坐标与守恒定理

若广义坐标 $q_k$ 不显含在哈密顿量中（即 $\partial H/\partial q_k = 0$），则称 $q_k$ 为循环坐标（可忽略坐标）。由正则方程立即得：

$$\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} = 0$$

因此对应的广义动量 $p_k$ 是运动常数——守恒量。每一个循环坐标对应一个连续对称性，从而对应一个守恒量。

当 $H$ 不显含时间时，沿正则方程的轨迹有：

$$\frac{dH}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0$$

这就是能量守恒定律的哈密顿力学表述。

• 例四：中心力场的角动量守恒

中心力场 $V(r)$ 下，哈密顿量 $H = p_r^2/(2m) + p_\varphi^2/(2mr^2) + V(r)$ 不含 $\varphi$，方位角是循环坐标，故角动量 $p_\varphi = \text{常数}$。无需求解完整运动方程，只需观察哈密顿量的结构，就能直接得到这一守恒定律。

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鲁斯程序

当系统含有循环坐标时，可以用鲁斯程序（Routh's procedure）对循环部分做部分勒让德变换，将问题自由度降低。

设系统共有 $n$ 个自由度，其中 $s$ 个广义坐标 $q_\alpha$（$\alpha = 1, \ldots, s$）是循环坐标，其余 $q_\beta$（$\beta = s+1, \ldots, n$）是非循环坐标。定义鲁斯函数（Routhian）：

$$R(q_\beta, \dot{q}_\beta, p_\alpha, t) = \sum_{\alpha=1}^{s} p_\alpha \dot{q}_\alpha - L$$

鲁斯函数对非循环坐标满足拉格朗日方程，对循环坐标的共轭动量满足哈密顿方程：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_\beta} - \frac{\partial R}{\partial q_\beta} = 0 \quad \text{（非循环部分，拉格朗日形式）}$$ $$\dot{q}_\alpha = -\frac{\partial R}{\partial p_\alpha} \quad \text{（循环部分，哈密顿形式）}$$

系统的有效自由度从 $n$ 降低到 $n - s$，问题得到简化。

• 例五：中心力场问题的鲁斯降维

平面有心力问题中，$\varphi$ 是循环坐标，角动量 $l = p_\varphi$ 守恒。拉格朗日量：

$$L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2) - V(r)$$

将 $l = mr^2\dot{\varphi}$ 代入，消去循环坐标 $\varphi$ 及其速度 $\dot{\varphi} = l/(mr^2)$，有效拉格朗日量退化为：

$$L_{\text{eff}} = \frac{m\dot{r}^2}{2} - V_{\text{eff}}(r), \quad V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}$$

问题从平面二维运动化为一维径向运动，角动量贡献等效为离心势 $l^2/(2mr^2)$。这是有心力问题等效一维势分析的哈密顿力学基础。

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由变分原理推导哈密顿方程

哈密顿正则方程也可以直接从变分原理推导。定义相空间作用量：

$$S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\sum_i p_i \dot{q}_i - H(q_i, p_i, t)\right] dt$$

将 $q_i(t)$ 和 $p_i(t)$ 都视为独立路径（端点固定），对 $S$ 做变分 $\delta S = 0$。

对 $\delta q_i$ 变分（分部积分并利用端点固定）：

$$-\dot{p}_i - \frac{\partial H}{\partial q_i} = 0 \implies \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

对 $\delta p_i$ 变分（无需分部积分）：

$$\dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i} = 0 \implies \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$

两式恰好就是哈密顿正则方程。

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哈密顿原理的深化理解

哈密顿原理（最小作用量原理）指出：在所有连接端点 $q_i(t_1)$ 和 $q_i(t_2)$ 的可能路径中，真实运动路径使作用量

$$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t)\,dt$$

取驻值（$\delta S = 0$）。对这一原理有几点需要澄清：

• “驻值”而非“极小值”：虽然历史上称为“最小作用量原理”，但真实路径使 $S$ 取的是驻值，不一定是极小值，某些情形下甚至取鞍点值。

• 作用量的量纲：$[S] = \mathrm{J\cdot s} = \mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$，与普朗克常数 $\hbar$ 相同。量子力学的路径积分方法正是建立在对所有可能路径的作用量 $e^{iS/\hbar}$ 求和的基础上，两者有深刻联系。

• 等价关系：对标准形式 $L = T - V$ 的保守系统，变分 $\delta S = 0$ 完全等价于拉格朗日方程，也等价于牛顿第二定律，三种表述描述同一物理规律。

• 例六：力学量的时间演化与泊松括号

任意力学量 $f(q_i, p_i, t)$ 沿相空间轨迹的时间全导数为：

$$\frac{df}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) + \frac{\partial f}{\partial t}$$

代入哈密顿方程，得：

$$\frac{df}{dt} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) + \frac{\partial f}{\partial t} \equiv \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

其中 $\{f, H\}$ 称为 $f$ 与 $H$ 的泊松括号。若 $f$ 不显含时间且 $\{f, H\} = 0$，则 $f$ 是守恒量。特别地，哈密顿量自身若不显含时间，则 $dH/dt = \partial H/\partial t = 0$，能量守恒。

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练习题

• 1. 对于哈密顿量 $H(q, p) = p^2/(2m) + V(q)$ 的系统，下列说法正确的是：

A. $H$ 等于动能减势能，当势能增大时 $H$ 减小

B. 若 $q$ 是循环坐标（$H$ 不含 $q$），则广义速度 $\dot{q}$ 守恒

C. 哈密顿方程 $\dot{p} = -\partial H/\partial q$ 对应牛顿第二定律 $\dot{p} = -dV/dq$

D. 哈密顿量 $H$ 随时间的变化率无论何时都不为零

• 2. 质量为 $m$ 的粒子在平面极坐标 $(r, \varphi)$ 中的中心力场 $V(r)$ 内运动，哈密顿量为 $H = p_r^2/(2m) + p_\varphi^2/(2mr^2) + V(r)$。下列关于循环坐标的说法正确的是：

A. $r$ 是循环坐标，径向动量 $p_r$ 守恒

B. $\varphi$ 是循环坐标，角动量 $p_\varphi$ 守恒

C. $r$ 和 $\varphi$ 都是循环坐标，系统有两个守恒量

D. 势能 $V(r)$ 不为零，故系统没有循环坐标

• 3. 哈密顿原理（最小作用量原理）指出真实轨迹使作用量 $S = \int L\,dt$ 取驻值，下列说法正确的是：

A. 真实路径总使作用量取极小值，故该原理名称中含“最小”

B. 作用量的量纲为 $\mathrm{J/s}$（瓦特），与功率相同

C. 对标准保守系统，哈密顿原理等价于拉格朗日方程，也等价于牛顿第二定律

D. 哈密顿原理只适用于保守系统，对含摩擦力的系统完全无效

• 4. 关于勒让德变换将拉格朗日量 $L$ 转变为哈密顿量 $H$，下列说法正确的是：

A. 勒让德变换改变了系统的物理内容，哈密顿方程描述不同的物理过程

B. 变换后的独立变量从 $(q_i, \dot{q}_i)$ 变为 $(q_i, p_i)$，其中 $p_i = \partial L/\partial q_i$

C. 对保守系统 $L = T - V$，哈密顿量 $H = T + V$ 等于总能量

D. 变换后运动方程从 $n$ 个二阶方程变为 $n$ 个一阶方程，总阶次减少

• 5. 一质量为 $m = 2\,\mathrm{kg}$ 的粒子在一维势场 $V(x) = \alpha x^4$（$\alpha = 1\,\mathrm{N/m^3}$）中运动。（一）写出拉格朗日量并求广义动量；（二）写出哈密顿量；（三）写出哈密顿正则方程；（四）若初始条件为 $x(0) = 1\,\mathrm{m}$，$\dot{x}(0) = 0$，求系统的总能量。

• 6. 一质量为 $m$、电荷为 $q$ 的带电粒子在均匀磁场 $\boldsymbol{B} = B\hat{z}$ 中做平面运动。取矢势 $\boldsymbol{A} = (0,\, Bx,\, 0)$，拉格朗日量为：

$$L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + qB x\dot{y}$$

（一）求广义动量 $p_x$ 和 $p_y$；（二）判断是否存在循环坐标并说明理由；（三）写出哈密顿量。