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刚体运动学

刚体是理论力学中比质点更接近真实物体的模型。所谓刚体，是指在运动过程中内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。现实中的铁块、陀螺、行星等，在不考虑形变的情况下，都可以用刚体模型来描述。刚体的运动比质点更丰富——它不仅可以平动，还可以绕轴转动，如何用数学语言精确描述这种转动，正是刚体运动学的核心任务。

刚体的自由度

确定一个物体在空间中的位置和姿态，需要指定一组独立参数，这些参数的个数称为系统的自由度。

对于自由空间中的单个质点，只需给出三个坐标 $(x, y, z)$ 就可以完全确定其位置，自由度为 3。

刚体比质点复杂：除了整体位置，还需要描述其姿态（即朝向）。先固定刚体上的某个参考点（一般取质心），用三个坐标描述其位置；再确定刚体绕该点的方向，需要另外三个独立的转动参数。因此，空间中自由刚体共有 6 个自由度。

在实际问题中，约束会减少自由度。例如：

约束类型	举例	剩余自由度
固定一点（球铰链）	陀螺底端固定	3（纯转动）
固定一条轴	门绕合页转动	1
固定两点	刚性连杆	0（完全固定）

刚体的 6 个自由度分别由 3 个平动参数和 3 个转动参数描述。平动参数通常取质心坐标，转动参数的选取方式有多种，欧拉角就是其中最常用的一种。

正交变换与方向余弦矩阵

描述刚体的转动，最系统的工具是旋转矩阵。

设固定在刚体上的坐标系（体坐标系）为 $Ox'y'z'$ ，空间中固定不动的坐标系（惯性系）为 $Oxyz$ 。两个坐标系的原点重合，它们之间的关系可以用一个 $3\times3$ 的矩阵表示：

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \mathbf{A} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素 $a_{ij}$ 是体坐标系第 $i$ 个轴的单位矢量与惯性系第 $j$ 个轴单位矢量的内积，即两轴夹角的余弦值，因此 $\mathbf{A}$ 称为方向余弦矩阵。

由于旋转不改变矢量的长度，方向余弦矩阵满足正交性条件：

\mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A} = \mathbf{I}

其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。正交矩阵还满足 $\det(\mathbf{A}) = \pm 1$ ，对于纯旋转（不含反射）， $\det(\mathbf{A}) = +1$ 。

例一：绕 $z$ 轴旋转角 $\varphi$

将坐标系绕 $z$ 轴转过角度 $\varphi$ ，新旧坐标之间的关系为：

\mathbf{A}_z(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

验证正交性： $\mathbf{A}_z \mathbf{A}_z^{\mathrm{T}} = \mathbf{I}$ ， $\det(\mathbf{A}_z) = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ ，满足纯旋转的条件。

类似地，绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转的矩阵分别为：

\mathbf{A}_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A}_y(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & -\sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\beta & 0 & \cos\beta \end{pmatrix}

任意空间旋转都可以分解为绕三个坐标轴的依次旋转，即三个基本旋转矩阵的乘积：

\mathbf{A} = \mathbf{A}_{z}(\psi)\,\mathbf{A}_{x}(\theta)\,\mathbf{A}_{z}(\varphi)

旋转矩阵的乘法一般不满足交换律。先绕 $x$ 轴转 $90°$ 、再绕 $z$ 轴转 $90°$ ，与先绕 $z$ 轴、再绕 $x$ 轴的结果通常不同。这意味着有限转动不是矢量，不能像位移那样相加。

欧拉角

欧拉角是描述刚体转动姿态最常用的三个参数，分别记为 $\varphi$ （进动角）、 $\theta$ （章动角）和 $\psi$ （自转角）。

从惯性系 $Oxyz$ 到体坐标系 $Ox'y'z'$ ，欧拉角规定了一套固定的转动顺序：

三次旋转的组合给出完整的方向余弦矩阵：

\mathbf{A} = \mathbf{A}_{z'}(\psi)\,\mathbf{A}_{x'}(\theta)\,\mathbf{A}_{z}(\varphi)

展开后，方向余弦矩阵的各元素均为 $\varphi$ 、 $\theta$ 、 $\psi$ 的三角函数。例如矩阵第一行第一列的元素为：

a_{11} = \cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\cos\theta\sin\varphi

欧拉角的取值范围通常规定为：

0 \leq \varphi < 2\pi,\quad 0 \leq \theta \leq \pi,\quad 0 \leq \psi < 2\pi

例二：地球自转与欧拉角

地球在绕太阳公转的同时自转。以地球质心为原点，取太阳方向为惯性系参考方向。地球的章动角 $\theta$ 对应地轴与公转轨道法线的夹角，约为 $23.5°$ ；进动角 $\varphi$ 描述地轴在宇宙空间中的指向（约每 $26000$ 年转一周，称为岁差）；自转角 $\psi$ 则描述地球每天自转 $360°$ 。

欧拉角提供了描述刚体任意朝向的一套完备参数。它的三个角具有明确的物理含义：进动角描述“在哪个方向转”，章动角描述“倾斜了多少”，自转角描述“绕自身转了多少”。陀螺、卫星姿态控制、飞行器导航中都广泛使用欧拉角。

刚体的角速度矢量

刚体的转动快慢和转动方向可以用一个矢量来统一描述，称为角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 。

角速度矢量的方向沿瞬时转动轴（按右手定则确定），大小等于角速度的数值，单位为 $\mathrm{rad/s}$ 。

利用欧拉角，角速度矢量可以分解为三个欧拉角速率的贡献：

\boldsymbol{\omega} = \dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{e}}_z + \dot{\theta}\,\hat{\boldsymbol{e}}_{\xi} + \dot{\psi}\,\hat{\boldsymbol{e}}_{z'}

其中 $\hat{\boldsymbol{e}}_z$ 是惯性系 $z$ 轴方向， $\hat{\boldsymbol{e}}_{\xi}$ 是节线方向，是体坐标系轴方向。

将 $\boldsymbol{\omega}$ 投影到体坐标系的三个轴上，得到体坐标分量（常用于欧拉方程）：

\omega_{x'} = \dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi

\omega_{y'} = \dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi

\omega_{z'} = \dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi}

例三：匀速自转的对称陀螺

一个对称陀螺，章动角 $\theta = 30°$ 保持不变（ $\dot{\theta} = 0$ ），进动角速率 $\dot{\varphi} = 2\,\mathrm{rad/s}$ ，自转角速率。求角速度在体坐标系轴的分量。

\omega_{z'} = \dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi} = 2\times\cos 30° + 10 = 2\times\frac{\sqrt{3}}{2} + 10 = \sqrt{3} + 10 \approx 11.73\,\mathrm{rad/s}

下面给出不同参数组合下角速度 $z'$ 分量的变化：

当 $\theta = 90°$ （体轴垂直于惯性 $z$ 轴）时，进动对 $\omega_{z'}$ 没有贡献。

惯性系与转动系中的时间导数

刚体在转动时，固定在刚体上的参考系（体坐标系）也随之转动。同一个矢量 $\boldsymbol{A}$ ，在惯性系和转动系中求时间导数，结果不同。

设转动系相对惯性系的角速度为 $\boldsymbol{\omega}$ 。转动系的三个单位基矢 $\hat{\boldsymbol{e}}_1'$ 、 $\hat{\boldsymbol{e}}_2'$ 、随体坐标系转动，它们对时间的导数为：

\frac{d\hat{\boldsymbol{e}}_i'}{dt} = \boldsymbol{\omega}\times\hat{\boldsymbol{e}}_i'

设 $\boldsymbol{A} = A_1'\hat{\boldsymbol{e}}_1' + A_2'\hat{\boldsymbol{e}}_2' + A_3'\hat{\boldsymbol{e}}_3'$ ，在惯性系中求导：

\left(\frac{d\boldsymbol{A}}{dt}\right)_{\text{惯性}} = \left(\frac{d\boldsymbol{A}}{dt}\right)_{\text{转动}} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}

这就是矢量时间导数的转系公式，是非惯性参考系力学中最核心的关系式。

公式 $\left(\dfrac{d\boldsymbol{A}}{dt}\right)_{\text{惯性}} = \left(\dfrac{d\boldsymbol{A}}{dt}\right)_{\text{转动}} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$ 的含义：矢量在惯性系中的变化率，等于它在转动系中的变化率，加上因坐标系本身转动而引起的附加变化率。

例四：转盘上滑动的小球

一个圆转盘绕竖直轴以角速度 $\omega = 2\,\mathrm{rad/s}$ 匀速转动。一个小球在盘面上沿转盘径向方向以速度 $v' = 3\,\mathrm{m/s}$ （相对于盘）向外滑动，当前距转轴 $r = 1\,\mathrm{m}$ 。

在转动系（盘）中，小球速度为 $\boldsymbol{v}' = v'\hat{\boldsymbol{e}}_r = 3\hat{\boldsymbol{e}}_r\,\mathrm{m/s}$ 。

利用导数关系，在惯性系中，小球速度为：

\boldsymbol{v}_{\text{惯性}} = \boldsymbol{v}' + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}

其中 $\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$ 的大小为 $\omega r = 2\times1 = 2\,\mathrm{m/s}$ ，方向沿切向 $\hat{\boldsymbol{e}}_\theta$ 。因此：

|\boldsymbol{v}_{\text{惯性}}| = \sqrt{(v')^2 + (\omega r)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3.61\,\mathrm{m/s}

科里奥利效应

将矢量时间导数的转系公式应用于质点的加速度，可以得到非惯性转动参考系中的运动方程。

设质点在惯性系中受合力 $\boldsymbol{F}$ ，在转动系（角速度 $\boldsymbol{\omega}$ ，角加速度 $\dot{\boldsymbol{\omega}}$ ）中的位置为 $\boldsymbol{r}'$ ，速度（相对于转动系）为 $v^{}$ 。在转动系中，运动方程变为：

m\boldsymbol{a}' = \boldsymbol{F} - m\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}' - m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}') - 2m\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'

右边后三项是附加的“惯性力”：

项	名称	物理意义
$-m\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'$	角加速度力	转动系角速度变化引起
$-m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}')$

科里奥利力（Coriolis force）的大小为：

F_{\text{科}} = 2m\omega v'\sin\alpha

其中 $\alpha$ 是速度 $\boldsymbol{v}'$ 与 $\boldsymbol{\omega}$ 之间的夹角，单位为 $\mathrm{N}$ 。

例五：地球上的科里奥利效应

地球自转角速度 $\omega_{\oplus} = 7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ ，旋转轴指向北极。在地球表面（转动系中），运动的物体会受到科里奥利力的作用，导致运动轨迹偏转。

在北半球， $\boldsymbol{\omega}$ 有向上的分量，对水平运动的物体，科里奥利力使其向右偏转；在南半球则向左偏转。

例六：傅科摆的摆动平面偏转

在纬度 $\lambda$ 处，傅科摆摆动平面的旋转角速率为：

\Omega = \omega_{\oplus}\sin\lambda

在北极（ $\lambda = 90°$ ）： $\Omega = 7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ ，摆动平面旋转一圈需要 $T = 2\pi/\Omega \approx 86400\,\mathrm{s} = 24\,\mathrm{h}$ ，即恰好一天。

在北京（ $\lambda \approx 40°$ ）：

\Omega = 7.27\times10^{-5}\times\sin 40° \approx 7.27\times10^{-5}\times0.643 \approx 4.67\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}

旋转一周需要：

T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{2\pi}{4.67\times10^{-5}} \approx 1.346\times10^5\,\mathrm{s} \approx 37.4\,\mathrm{h}

即北京的傅科摆约每 $37.4$ 小时旋转一圈，在赤道（ $\lambda = 0°$ ）处， $\Omega = 0$ ，摆动平面完全不旋转。

练习题

1. 关于有限转动，下列说法正确的是：

A. 有限转动可以用矢量表示，因为它有大小和方向

B. 两次有限转动的合成满足交换律，与顺序无关

C. 有限转动不满足矢量加法的交换律，顺序不同结果不同

D. 方向余弦矩阵的行列式可以为任意实数

答案：C

分析：有限转动不满足交换律，先绕 $x$ 轴转 $90°$ 再绕 $z$ 轴转 $90°$ ，与先绕 $z$ 轴再绕 $x$ 轴，结果通常不同，因此 C 正确，A 和 B 错误。方向余弦矩阵是正交矩阵，行列式只能为 $+1$ （纯旋转）或（含反射），D 错误。

2. 在北半球，一股向南运动的风（即北风）受科里奥利力的影响，其偏转方向是：

A. 向东偏转（向左）

B. 向西偏转（向右）

C. 向上偏转

D. 不偏转，科里奥利力只影响东西方向运动

答案：B

分析：在北半球，地球自转角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 的竖直分量向上。科里奥利力为 $\boldsymbol{F} = -2m\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'$ 。对向南运动（ $\boldsymbol{v}'$ 指向南，即方向），竖直分量指向，则（向东），科里奥利力，即向西。北半球水平运动的物体偏向运动方向的右侧，向南运动的右侧即向西，选 B。

3. 欧拉角中，章动角 $\theta$ 的物理含义是：

A. 刚体绕自身对称轴的自转角速率

B. 体坐标系 $z'$ 轴相对于惯性系 $z$ 轴的夹角

C. 刚体在水平面内绕竖直轴的旋转角

D. 刚体的总转动角速度大小

答案：B

分析：欧拉角由进动角 $\varphi$ 、章动角 $\theta$ 、自转角 $\psi$ 组成。章动角 $\theta$ 描述体坐标系 $z'$ 轴（刚体对称轴）与惯性系 $z$ 轴的夹角，是描述“倾斜程度”的参数，B 正确。进动角描述绕惯性轴的旋转，自转角描述绕体轴的自转，均不是的含义，排除 A、C、D。

4. 关于转动参考系中的科里奥利力，下列说法正确的是：

A. 科里奥利力只与质点的位置有关，与速度无关

B. 质点在转动系中静止时，科里奥利力最大

C. 科里奥利力的方向总是垂直于质点在转动系中的速度

D. 科里奥利力是真实的相互作用力，存在反作用力

答案：C

分析：科里奥利力 $\boldsymbol{F}_{\text{科}} = -2m\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'$ ，其大小与质点在转动系中的速度 $v'$ 成正比，质点静止时为零，A 错误，B 错误。科里奥利力方向为的反方向，叉积结果垂直于，因此科里奥利力始终垂直于质点速度，C 正确。科里奥利力是惯性力（非惯性系中的虚拟力），没有施力物体，也没有反作用力，D 错误。

5. 一个陀螺的章动角 $\theta = 60°$ ，进动角速率 $\dot{\varphi} = 3\,\mathrm{rad/s}$ ，自转角速率 $\dot{\psi} = 8\,\mathrm{rad/s}$ ，（稳定进动）。求角速度矢量在体坐标系三个轴上的分量、、，并计算角速度的大小。取时刻计算。

解：

取 $\psi = 0$ ， $\dot{\theta} = 0$ ，代入欧拉角速度公式：

\omega_{x'} = \dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi = 3\times\sin 60°\times\sin 0° + 0 = 0

6. 在纬度 $\lambda = 30°$ 的地方，一枚炮弹以速度 $v = 600\,\mathrm{m/s}$ 向正北方向水平发射，飞行时间 $t = 50\,\mathrm{s}$ 。地球自转角速度 $\omega_{\oplus} = 7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ 。求：（一）炮弹所受科里奥利力的大小（取炮弹质量）；（二）飞行结束时炮弹相对于无地球自转情况的侧向偏移量。

解：

（一）炮弹向北运动，速度方向水平指北。在纬度 $\lambda = 30°$ 处，地球自转角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 在竖直方向的分量为 $\omega_{\oplus}\sin\lambda$ ，对水平向北运动的物体，科里奥利力指向东方（北半球向右偏转）：

科里奥利力大小（取 $\boldsymbol{\omega}$ 与夹角分析，水平运动时贡献最大的分量）：

'

\boldsymbol{v}'

-

1

-1

\varphi

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