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有心力问题

两个通过相互作用力联系在一起的粒子，是自然界最普遍的运动形式之一：行星绕太阳公转、月球绕地球运转、氢原子中电子在核外运动。当这个相互作用力的方向始终沿两粒子连线方向时，就称为有心力。有心力问题具有高度的对称性，能量守恒与角动量守恒这两个初积分将看似复杂的三维运动化简为一维等效问题，从而得到精确的解析解。

等效一体问题与折合质量

研究两个粒子的相互作用时，考虑质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的粒子，它们之间的相互作用力大小只与两者间距 $r = |\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|$ 有关，方向沿连线方向。

引入两个新的坐标：质心位置 $\boldsymbol{R}$ 和相对位置 $\boldsymbol{r}$ ：

\boldsymbol{R} = \frac{m_1\boldsymbol{r}_1 + m_2\boldsymbol{r}_2}{M},\quad \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2

其中 $M = m_1 + m_2$ 为总质量。对质心坐标写牛顿方程，由于内力相消，质心做匀速直线运动；对相对坐标写方程，内力相加，得到：

\mu\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}(r)\hat{\boldsymbol{r}}

其中 $\mu$ 称为折合质量（reduced mass）：

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

折合质量将二体问题转化为单体问题：一个质量为 $\mu$ 的粒子在有心势场 $V(r)$ 中的运动。这样，复杂的两粒子问题就被化简为一个等效的单粒子问题。

下表给出几种常见系统的折合质量：

当 $m_2 \gg m_1$ 时， $\mu \approx m_1$ ，这就是轻粒子绕重粒子运动的情形，与通常直觉一致。当两粒子质量相当时，折合质量才与单粒子质量有显著差异。

运动方程的初积分

在极坐标 $(r, \theta)$ 下，折合质量为 $\mu$ 的粒子在有心势 $V(r)$ 中的运动，可以利用两个守恒量将运动方程直接积分。

角动量守恒

有心力方向沿 $\hat{\boldsymbol{r}}$ ，对原点的力矩 $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ ，因此角动量守恒：

\boldsymbol{L} = \mu \boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}} = \text{常矢量}

$\boldsymbol{L}$ 方向固定说明运动始终在一个平面内。取该平面为 $xy$ 平面， $L = |\boldsymbol{L}| = \mu r^2 \dot{\theta}$ 为常数。这正是开普勒第二定律（等面积定律）的根源：

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{L}{2\mu} = \text{常数}

能量守恒

系统的总能量为：

E = \frac{1}{2}\mu\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) + V(r)

利用 $\dot{\theta} = L/(\mu r^2)$ ，消去角速度：

E = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2\mu r^2} + V(r)

这是关于 $r(t)$ 的一阶微分方程，可以通过分离变量积分求解。

等效一维势与轨道分类

将上一节的能量公式中径向动能以外的部分定义为等效势能：

V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{L^2}{2\mu r^2}

第二项 $\dfrac{L^2}{2\mu r^2}$ 称为离心势垒，它在 $r \to 0$ 时趋于无穷大，阻止粒子接近原点。

径向运动方程变为：

E = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r)

这与一维质点在势场 $V_{\text{eff}}(r)$ 中的运动方程形式完全相同。粒子只能在满足 $E \geq V_{\text{eff}}(r)$ 的区域运动。

以引力为例（ $V = -k/r$ ， $k = GM\mu > 0$ ），等效势能 $V_{\text{eff}}(r)$ 在某个极小值处取最小值，记为，两侧分别由离心势垒和引力阱控制。

“束缚轨道”意味着粒子的运动范围被限制在 $r_{\min}$ 和 $r_{\max}$ 之间（称为近心点和远心点），能量始终满足 $E < 0$ 。飞散轨道则只有近心点，粒子从无穷远来，经过最近点后重新飞向无穷远。

例一：引力场中的等效势

取 $V(r) = -\dfrac{GMm}{r}$ ， $L = 3.0\times10^{10}\,\mathrm{kg \cdot m^2/s}$ ，，（近似地球参数）。等效势极小值处：

\frac{GMm}{r^2} - \frac{L^2}{\mu r^3} = 0 \implies r_0 = \frac{L^2}{\mu\cdot GMm} \approx 2.25\times10^{7}\,\mathrm{m}

该半径对应圆轨道， $V_{\text{eff}}(r_0) < 0$ ，属于束缚态。

维里定理

对于一个在有界区域内做稳定运动的系统，动能的时间平均值与势能的时间平均值之间存在确定关系。设势能具有幂次形式 $V(r) = cr^n$ ，则：

\langle T \rangle = \frac{n}{2}\langle V \rangle

这就是维里定理（Virial Theorem）。

对于引力（ $V = -k/r$ ，即 $n = -1$ ）：

\langle T \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle

由于总能量 $E = \langle T \rangle + \langle V \rangle$ ，代入得：

E = \langle T \rangle + \langle V \rangle = \langle T \rangle - 2\langle T \rangle = -\langle T \rangle

即 $E = \langle T \rangle \cdot (-1) = \dfrac{1}{2}\langle V \rangle$ 。

维里定理告诉我们，引力束缚系统（如行星系、星系团、气体云）的总能量恒为负值，其动能时间平均值等于势能时间平均值绝对值的一半。天文学家利用维里定理，通过观测星系团中星系的运动速度来推算星系团的总质量，发现其中存在大量“暗物质”。

例二：利用维里定理估算地球公转动能

地球绕太阳的轨道接近圆形，取 $E \approx -2.65\times10^{33}\,\mathrm{J}$ （总机械能）。由维里定理：

\langle T \rangle = -E = 2.65\times10^{33}\,\mathrm{J}

核实：地球公转速度 $v \approx 2.98\times10^{4}\,\mathrm{m/s}$ ， $m = 5.97\times10^{24}\,\mathrm{kg}$ ，动能，与维里定理结果一致。

轨道方程

用 $u = 1/r$ 作变量替换，可以将轨道方程（即 $r$ 与 $\theta$ 的关系）化为更简洁的形式。利用：

\dot{r} = \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{\mu}\frac{du}{d\theta}

代入能量方程，得到比奈方程（Binet equation）：

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{\mu}{L^2 u^2}F\!\left(\frac{1}{u}\right)

其中 $F(r)$ 是有心力的径向分量（引力取负值）。

对于万有引力 $F = -\dfrac{GM\mu}{r^2} = -GM\mu u^2$ ，代入比奈方程：

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM\mu^2}{L^2}

令 $\beta = \dfrac{GM\mu^2}{L^2}$ ，上式是一个关于 $u(\theta)$ 的简谐方程，通解为：

u(\theta) = \beta + C\cos(\theta - \theta_0)

取 $\theta_0 = 0$ （选取近心点为角度起点），还原为 $r$ ：

r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

其中 $p = \dfrac{L^2}{GM\mu^2}$ 称为半通径， $e = \dfrac{CL^2}{GM\mu^2}$ 为，由初始条件决定。这正是圆锥曲线的极坐标方程，以力心为焦点。

开普勒问题与三定律

平方反比引力是自然界最重要的有心力之一：

F(r) = -\frac{GM\mu}{r^2}

由上节推导，轨道方程 $r = \dfrac{p}{1+e\cos\theta}$ 是以引力中心为焦点的圆锥曲线。

开普勒第一定律：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处（ $0 < e < 1$ ）。

对于椭圆轨道，半长轴 $a$ 与轨道能量的关系为：

E = -\frac{GM\mu}{2a}

这个结果只与半长轴 $a$ 有关，与离心率无关。

开普勒第二定律：行星在相等时间内扫过相等的面积。这是角动量守恒的直接体现：

\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2\mu} = \text{常数}

开普勒第三定律：行星公转周期 $T$ 的平方与轨道半长轴 $a$ 的立方成正比。推导如下：

T = \frac{\text{椭圆面积}}{dA/dt} = \frac{\pi ab}{L/(2\mu)} = \frac{2\pi\mu ab}{L}

利用 $b = a\sqrt{1-e^2}$ ， $p = b^2/a = L^2/(GM\mu^2)$ ，化简得到：

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3

开普勒第三定律 $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$ 只与中心天体质量和轨道半长轴有关，与行星质量和轨道形状无关。天文学家利用此定律，通过观测行星的公转周期，就能计算出太阳的质量。

下表验证太阳系各行星的开普勒第三定律（以地球数据为单位）：

所有行星的 $T^2/a^3$ 值均接近1.000，精确验证了开普勒第三定律。

例三：计算火星的公转周期

已知火星轨道半长轴 $a = 2.279\times10^{11}\,\mathrm{m}$ ，太阳质量 $M = 1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ ，万有引力常数。

T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{(2.279\times10^{11})^3}{6.674\times10^{-11}\times1.989\times10^{30}}}

= 2\pi\sqrt{\frac{1.186\times10^{34}}{1.327\times10^{20}}} = 2\pi\sqrt{8.938\times10^{13}} \approx 5.935\times10^7\,\mathrm{s} \approx 1.88\,\text{年}

与实测值 1.881 年吻合。

轨道的时间演化

对于椭圆轨道，已知轨道形状 $r(\theta)$ 后，还需要确定粒子在什么时刻到达轨道上的哪个位置。

由 $L = \mu r^2 \dot{\theta}$ ，得：

dt = \frac{\mu r^2}{L}d\theta

对 $\theta$ 积分，得到时间与角度的对应关系。引入偏近点角 $\xi$ （也称偏心异常角），定义：

r = a(1 - e\cos\xi)

经过化简，可以得到著名的开普勒方程：

\xi - e\sin\xi = \frac{2\pi}{T}(t - t_0) \equiv M_k

其中 $M_k$ 称为平近点角， $t_0$ 是过近心点的时刻。

开普勒方程是超越方程，无法用初等函数直接求解 $\xi$ 。实际应用中用数值迭代法求解：给定时刻 $t$ ，先算出 $M_k$ ，再用牛顿迭代法解出 $\xi$ ，最后由 $r = a(1-e\cos\xi)$ 得到位置。

例四：椭圆轨道上近心点和远心点的速度

设椭圆轨道半长轴 $a$ ，离心率 $e$ ，中心天体质量 $M$ 。近心点距离 $r_{\min} = a(1-e)$ ，远心点距离。

在近心点和远心点， $\dot{r} = 0$ ，速度完全为切向。利用角动量守恒：

\mu v_p r_{\min} = \mu v_a r_{\max} = L

利用能量守恒（ $E = -GM\mu/(2a)$ ）求出 $L$ ，代入得：

v_p = \sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e}},\quad v_a = \sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1-e}{1+e}}

以地球公转为例（ $a = 1.496\times10^{11}\,\mathrm{m}$ ， $e = 0.0167$ ）：

位置	距离（AU）	速度（ $\mathrm{km/s}$ ）
近日点（1月初）	0.9833	30.29
平均	1.0000	29.78
远日点（7月初）	1.0167	29.29

例五：地球同步卫星的轨道半径

同步卫星周期等于地球自转周期 $T = 24\times3600 = 86400\,\mathrm{s}$ ， $GM_{\oplus} = 3.986\times10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2}$ 。

a = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{3.986\times10^{14}\times(86400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}

= \left(\frac{3.986\times10^{14}\times7.465\times10^9}{39.48}\right)^{1/3} = \left(7.54\times10^{22}\right)^{1/3} \approx 4.22\times10^{7}\,\mathrm{m}

即距地心约 $42200\,\mathrm{km}$ ，距地面约 $35800\,\mathrm{km}$ 。

练习题

1. 关于有心力作用下粒子的运动，下列说法正确的是：

A. 粒子的动量守恒，因为有心力是保守力

B. 粒子对力心的角动量守恒，因为有心力对力心的力矩为零

C. 粒子的运动可以是三维空间曲线

D. 折合质量 $\mu$ 总大于两粒子质量中较大的那个

答案：B

分析：有心力 $\boldsymbol{F} = F(r)\hat{\boldsymbol{r}}$ 对力心的力矩 $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} = F(r)(\boldsymbol{r}\times\hat{\boldsymbol{r}}) = \boldsymbol{0}$ ，所以角动量守恒，B 正确。有心力一般不为零，动量不守恒，A 错误。角动量方向固定，运动在法平面内，是平面运动，不可能是三维曲线，C 错误。折合质量，总小于两者中较小的那个，D 错误。

2. 一颗行星绕太阳做椭圆运动，下列关于行星能量的说法正确的是：

A. 行星在近日点的动能最大，势能也最大

B. 行星从近日点运动到远日点的过程中，总机械能增大

C. 行星在近日点的速度最大，动能最大，势能最小

D. 行星的总机械能随轨道位置不断变化

答案：C

分析：椭圆轨道上总机械能守恒，D 错误，B 错误。近日点距太阳最近，引力势能 $V = -GMm/r$ 最小（负值绝对值最大），由能量守恒知动能最大，即速度最大，C 正确。近日点势能最小，A 错误。

3. 在等效一维势图像中，若粒子总能量 $E$ 满足 $V_{\min} < E < 0$ ，则粒子的运动是：

A. 做匀速圆周运动

B. 在两个转折点之间做束缚运动，轨道为椭圆（引力情形）

C. 从无穷远来，经过最近点后飞向无穷远

D. 粒子不能运动，处于静止状态

答案：B

分析： $E = V_{\min}$ 时才是圆轨道，A 错误。 $E > 0$ 时粒子才能从无穷远来、飞向无穷远（飞散轨道），C 错误。 $V_{\min} < E < 0$ 时等效势图像显示粒子被限制在和之间，做束缚运动，对应引力势场中的椭圆轨道，B 正确。D 明显错误。

4. 维里定理应用于引力束缚系统时，若系统总能量为 $E$ ，则动能的时间平均值 $\langle T \rangle$ 为：

A. $\langle T \rangle = E$

B. $\langle T \rangle = 2E$

C. $\langle T \rangle = -E$

D. $\langle T \rangle = -2E$

答案：C

分析：对引力（ $V \propto r^{-1}$ ， $n = -1$ ），维里定理给出 $\langle T \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle$ 。由，得，代入：，解出。选 C。

5. 某卫星绕地球做椭圆轨道运动，近地点高度 $h_1 = 400\,\mathrm{km}$ ，远地点高度 $h_2 = 36000\,\mathrm{km}$ 。已知地球半径 $R = 6400$ ，地球表面重力加速度。求：（一）椭圆轨道的半长轴；（二）卫星的公转周期；（三）近地点速度与远地点速度之比。

解：

（一）椭圆半长轴：

近地点距地心 $r_1 = R + h_1 = 6400 + 400 = 6800\,\mathrm{km} = 6.8\times10^6\,\mathrm{m}$

6. 已知某双星系统由质量相等的两颗恒星组成，每颗星质量均为 $M = 2.0\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ ，两星间距 $d = 1.2\times10^{11}\,\mathrm{m}$ ，互相绕对方做圆周运动。求：（一）等效折合质量；（二）系统的总角动量；（三）每颗恒星的公转周期。

解：

（一）折合质量：

\mu = \frac{M \cdot M}{M + M} = \frac{M}{2} = \frac{2.0\times10^{30}}{2} = 1.0\times10^{30}\,\mathrm{kg}

k m

R = 6400\,\mathrm{km}

有心力问题 | 自在学