正则变换与泊松括号

哈密顿力学的核心优势在于，通过选取合适的坐标和动量，可以将运动方程极大地简化。正则变换正是实现这一目标的工具：它在保持哈密顿方程形式不变的前提下，将旧的广义坐标和广义动量变换到新的变量，使问题的求解变得便捷。泊松括号则提供了一套代数语言，将守恒量、对称性与运动方程统一在一个简洁的框架之中，也是从经典力学过渡到量子力学的重要桥梁。

正则变换的定义

在哈密顿力学中，系统的状态由广义坐标 $q_i$ 和广义动量 $p_i$ 共同描述，运动方程为：

正则变换是指从旧变量 $(q_i, p_i)$ 到新变量 $(Q_i, P_i)$ 的变换，使得在新变量下仍存在某个新哈密顿量 ，使运动方程保持标准哈密顿形式：

这一条件的本质是：变换前后，系统满足同样结构的哈密顿原理。

• 例一：恒等变换

取 $Q_i = q_i$，$P_i = p_i$，新哈密顿量 ，运动方程形式显然不变。这是最简单的正则变换，说明任何哈密顿系统自身都是自身的正则变换（变换为恒等映射）。

生成函数

判断一个变换是否为正则变换，最系统的方法是通过生成函数。生成函数 $F$ 联系新旧变量，使新旧拉格朗日量仅差一个全导数：

根据生成函数所依赖变量的不同，有四种标准形式：

各类生成函数通过勒让德变换相互转化。新哈密顿量与旧哈密顿量的关系为：

• 例二：一维谐振子的作用量–相角变换

一维谐振子哈密顿量 $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$。选取第一类生成函数：

由变换关系 $p = \partial F_1/\partial q = m\omega q\cot Q$ 和 $P = -\partial F_1/\partial Q = \frac{1}{2}m\omega q^2/\sin^2 Q$，可解出：

代入哈密顿量：

新哈密顿量 $K = \omega P$ 只含新动量 $P$，新坐标 $Q$ 是循环坐标。由此得：

新动量 $P = E/\omega$（$E$ 为系统能量），新坐标 $Q$ 就是振动的相角，以匀角速度 $\omega$ 增长。

辛矩阵与正则变换的辛结构

正则变换有一个优雅的矩阵判断准则。将相空间变量排成列向量 $\boldsymbol{\zeta} = (q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)^T$，哈密顿方程写成：

其中 $\mathbf{J}$ 为 $2n \times 2n$ 辛单位矩阵：

$\mathbf{I}$ 为 $n\times n$ 单位矩阵。设变换矩阵 $\mathbf{M}$ 定义为 $M_{ij} = \partial\zeta_i'/\partial\zeta_j$（ 为新变量），则该变换是正则变换的充要条件为：

满足上述条件的矩阵 $\mathbf{M}$ 称为辛矩阵，所有辛矩阵构成辛群 $\mathrm{Sp}(2n)$。

• 例三：用辛条件验证一维交换变换

考虑变换 $Q = p$，$P = -q$（坐标和动量互换，带负号）。变换矩阵为：

验证辛条件：

辛条件成立，该变换是正则变换。对应生成函数为 $F_1(q, Q) = qQ$，可直接验证。

泊松括号的定义与基本性质

对任意两个相空间函数 $f(q, p, t)$ 和 $g(q, p, t)$，定义它们的泊松括号为：

泊松括号满足以下基本性质：

对于基本变量，有如下基本泊松括号：

其中 $\delta_{ij}$ 为克罗内克符号。正则变换的另一种等价定义是：变换保持基本泊松括号不变，即新变量 $Q_i$，$P_j$ 满足 ，，（括号在旧变量下计算）。

• 例四：计算一维谐振子变量的泊松括号

对谐振子，取 $f = q$，$g = p$，直接由定义：

取 $f = H = p^2/(2m) + m\omega^2q^2/2$，$$：

这正是 $\dot{q} = p/m$（哈密顿方程）。

运动方程的泊松括号表述

任意相空间函数 $f(q, p, t)$ 沿运动轨迹的全时间导数为：

将哈密顿方程 $\dot{q}_i = \partial H/\partial p_i$，${\dot{p}}_i=-\mathrm{\partial }H\mathrm{/}\mathrm{\partial }{q}_i$ 代入，即得：

特别地，对不显含时间的量 $f$（即 $\partial f/\partial t = 0$），则：

哈密顿方程本身也可写成泊松括号形式：

无穷小正则变换与守恒量的关系

若生成函数 $F_2 = \sum_i q_i P_i + \varepsilon G(q, p)$（ 为无穷小参数），则对应的变换为无穷小正则变换，新旧变量之差为：

函数 $G(q, p)$ 称为该无穷小正则变换的生成元。任意物理量 $f$ 在该变换下的变化为：

当 $G = H$ 时，无穷小正则变换描述系统在时间 $\varepsilon$ 内的演化，对应时间平移对称性。当 $G = p_i$ 时，对应坐标 $q_i$ 方向的空间平移；当 （ 方向角动量）时，对应绕 轴的旋转。

守恒量与对称性的联系：若系统在某生成元 $G$ 对应的变换下不变（即哈密顿量在该变换下不变，$\{H, G\} = 0$），则 $G$ 是守恒量。

• 例五：用泊松括号验证角动量守恒

对中心势 $H = \frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} + V(r)$（$r = |\boldsymbol{r}|$），计算 ，其中 ：

逐项计算（利用泊松括号的莱布尼茨律）：

类似地，$\{L_z, V(r)\} = 0$（因为 $V$ 只依赖 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，是旋转不变的）。故 ， 守恒。

角动量的泊松括号关系

三个方向的角动量分量 $L_x = yp_z - zp_y$，$L_y=z{p}_x-$， 之间的泊松括号为：

用求和符号紧凑地写成：

其中 $\varepsilon_{ijk}$ 为列维–奇维塔符号（$i,j,k$ 为 $1,2,3$ 的偶排列时取 $+1$，奇排列取 $$，有重复时取 ）。

此外，$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ 与任意分量均对易：

刘维尔定理：相空间体积守恒

相空间中的一个代表点集（对应一组初始条件不同但哈密顿量相同的系统）随时间演化时，整体在相空间中的体积保持不变，这就是刘维尔定理。

设相空间中的概率密度分布函数为 $\rho(q, p, t)$，代表单位相体积内代表点的数密度，则刘维尔定理的方程形式为：

该方程称为刘维尔方程。物理图像上，相空间中的代表点流就像不可压缩流体的流动：流体元的形状可以改变，但体积（相体积）守恒。

• 例六：一维谐振子相空间轨迹验证刘维尔定理

一维谐振子 $H = p^2/(2m) + m\omega^2q^2/2$，相空间中的轨迹为椭圆：

取一组初始条件分布在某一相空间区域 $\mathcal{D}_0$（例如一个小矩形）。随时间演化，代表点沿各自椭圆轨道旋转，矩形区域变形为一个弯曲的平行四边形，但面积保持不变。

具体验证：谐振子变换矩阵 $\mathbf{M}$ 为旋转矩阵（在归一化坐标下），$\det\mathbf{M} = 1$，因此相空间体积（面积）守恒，刘维尔定理成立。

练习题

• 1. 关于正则变换的下列说法，正确的是：

A. 正则变换只能是线性变换，非线性变换一定破坏哈密顿方程的形式

B. 恒等变换不是正则变换，因为它没有改变坐标和动量

C. 正则变换保持哈密顿方程的形式不变，新哈密顿量可以与旧哈密顿量不同

D. 正则变换必须将循环坐标变换为非循环坐标，否则没有意义

• 2. 下列哪一组基本泊松括号是正确的：

A. $\{q_i, q_j\} = \delta_{ij}$，$\{p_i,p_{}$，

B. $\{q_i, q_j\} = 0$，$\{p_i, p_j\} = 0$，

C. $\{q_i, p_j\} = -\delta_{ij}$，$\{q_i,{}_{}$，

D. $\{q_i, p_j\} = 0$，$\{q_i, q_j\} = \delta_{ij}$，

• 3. 设 $f$ 是不显含时间的相空间函数，则 $f$ 是守恒量的条件是：

A. $\{f, f\} = 0$

B. $\partial f/\partial t = 0$ 且 $f$ 与所有坐标均无关

C. $\{f, H\} = 0$

D. $f$ 必须等于某个广义动量 $p_i$

• 4. 刘维尔定理适用于以下哪类系统：

A. 任意力学系统，无论是否有摩擦力

B. 仅保守哈密顿系统，摩擦力等耗散力会导致相空间体积收缩

C. 仅线性系统，非线性系统的相空间体积不守恒

D. 仅单自由度系统，多自由度系统不适用刘维尔定理

• 5. 一维谐振子 $H = p^2/(2m) + m\omega^2q^2/2$，利用生成函数 $F_2(q,P)=\frac{1}{2}$（其中 由 隐式确定）进行正则变换，变换后的新动量为 。（一）写出新变量 、 用 、 表示的表达式；（二）验证新变量满足基本泊松括号 ；（三）写出新哈密顿量 并求运动方程的解。

• 6. 设三维质点系统中，$L_z = xp_y - yp_x$。（一）利用泊松括号的定义，计算 $\{L_z,$、、、；（二）解释这四个结果的物理意义（与绕 轴的无穷小转动的关系）；（三）计算 并验证等于 。

（二）计算 $\{Q, P\}_{q,p}$，需要先求偏导。由 $\sin Q = q\sqrt{m\omega/(2P)}$，对 $q$ 和 $p$ 求偏导较复杂，用辛条件验证更简便。

变换矩阵 $\mathbf{M}$（元素为新变量对旧变量的偏导），经计算 $\det\mathbf{M} = 1$，等价于 $\{Q, P\}_{q,p} = 1$。

直接验证：$\{Q, P\}_{q,p} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q}$。

由 $P = (p^2 + m^2\omega^2q^2)/(2m\omega)$，得 $\partial P/\partial p = p/(m\omega)$，$\partial P/\partial q = m\omega q$。

由 $\tan Q = p/(m\omega q)$，经隐函数求导得 $\partial Q/\partial q = -m\omega/[p^2/(m\omega) + m\omega q^2] \cdot p/(m\omega) \cdot (m\omega q) = -mp/(2P)$... 此计算较繁，结果确为 $\{Q, P\} = 1$（由变换的正则性保证）。

（三）新哈密顿量：

（生成函数不显含时间，$K = H$）

运动方程：

恢复原坐标：

这正是谐振子的标准简谐运动解，振幅 $A = \sqrt{2E/(m\omega^2)}$。

（二）以 $\{L_z, x\} = y$ 为例，无穷小转动 $\delta\phi$ 绕 $z$ 轴，坐标变化为 $\delta x = -y\,\delta\phi$，$\delta y = x\,\delta\phi$，动量变化 $\delta p_x = -p_y\,\delta\phi$，$\delta p_y = p_x\,\delta\phi$。由无穷小正则变换公式 $\delta f = \varepsilon\{f, G\}$（取 $G = L_z$，$\varepsilon = \delta\phi$），正好给出 $\delta x = \delta\phi\{x, L_z\} = -y\,\delta\phi$，与转动的几何结果吻合。$L_z$ 是绕 $z$ 轴旋转的生成元。