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放射性衰变

原子核并非永远稳定。对于许多重元素或中子数异常的核素来说，原子核会自发地发生转变，放射出粒子或电磁辐射，最终演化为更稳定的状态——这一过程称为放射性衰变。1896年，贝可勒尔在研究铀盐时意外发现了这种现象，随后居里夫妇进一步揭示了它的规律。时至今日，放射性衰变已成为核物理最核心的内容之一，广泛应用于医学影像、放射治疗、放射性定年等领域。

α 衰变

α衰变是最早被发现的衰变类型之一。在这类衰变中，原子核自发地放射出一个 α 粒子。α粒子的本质就是一个氦-4的原子核，由2个质子和2个中子紧密结合而成，符号写作 $^{4}_{2}\text{He}$ 。

当一个母核发生α衰变时，它会失去2个质子和2个中子，因此子核的质量数（A）减少4，原子序数（Z）减少2。通用的衰变方程为：

^{A}_{Z}X \longrightarrow \;^{A-4}_{Z-2}Y \;+\; ^{4}_{2}\text{He}

以自然界中最常见的α衰变为例。铀-238是地壳中天然存在的放射性元素，它发生α衰变后生成钍-234：

^{238}_{92}\text{U} \longrightarrow \;^{234}_{90}\text{Th} \;+\; ^{4}_{2}\text{He}

验证一下：质量数 $238 = 234 + 4$ ，原子序数 $92 = 90 + 2$ ，两侧完全守恒。

α衰变遵守两个基本守恒定律：质量数守恒（等号两侧上标之和相等）和电荷数守恒（等号两侧下标之和相等）。写衰变方程时，只要这两个守恒满足，方程就是正确的。

α衰变释放出的能量称为 Q值，它来源于母核与子核之间的质量差——即质量亏损。根据质能关系 $E = \Delta m c^2$ ，若衰变前后总质量减少了 $\Delta m$ ，则释放的能量为：

Q = \Delta m \cdot c^2 = \left(m_X - m_Y - m_\alpha\right) c^2

这里的质量通常用原子质量单位（ $\text{u}$ ）表示，转换关系为 $1\,\text{u} \cdot c^2 = 931.5\,\text{MeV}$ 。

以钋-210的α衰变为例：

^{210}_{84}\text{Po} \longrightarrow \;^{206}_{82}\text{Pb} \;+\; ^{4}_{2}\text{He}

已知各核的原子质量： $m(\text{Po}) = 209.9829\,\text{u}$ ， $m(\text{Pb}) = 205.9745\,\text{u}$ ， $m(\text{He}) = 4.0026\,\text{u}$ ，则：

\Delta m = 209.9829 - 205.9745 - 4.0026 = 0.0058\,\text{u}

Q = 0.0058 \times 931.5 \approx 5.40\,\text{MeV}

这些能量绝大部分以α粒子的动能形式释放出来。

下图列出了几种常见的α衰变核素及其基本参数：

由于α粒子带有2个正电荷且质量较大，它在物质中的穿透能力很弱——一张薄薄的纸或几厘米厚的空气就能将其完全阻挡。但正因如此，它在单位路径上沉积的能量极多，对生物组织的电离损伤能力反而是三种射线中最强的。

β 衰变

β衰变的本质是原子核内部发生了夸克级别的弱相互作用，但在宏观描述层面，它表现为核内的质子和中子相互转化。β衰变分为三种类型：β⁻衰变、β⁺衰变和电子俘获。

β⁻ 衰变

β⁻衰变发生在中子过多的核素中。核内一个中子转变为一个质子，同时放射出一个电子（ $e^-$ ）和一个反电子中微子（ $\bar{\nu}_e$ ）：

n \longrightarrow p \;+\; e^- \;+\; \bar{\nu}_e

对于整个原子核来说，质量数不变（中子变质子，总核子数不变），原子序数增加1：

^{A}_{Z}X \longrightarrow \;^{A}_{Z+1}Y \;+\; e^- \;+\; \bar{\nu}_e

碳-14的β⁻衰变是最著名的例子，考古放射性定年法就依赖于此：

^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow \;^{14}_{7}\text{N} \;+\; e^- \;+\; \bar{\nu}_e

β⁺ 衰变

β⁺衰变发生在质子过多的核素中。核内一个质子转变为一个中子，同时放射出一个正电子（ $e^+$ ，即电子的反粒子）和一个电子中微子（ $\nu_e$ ）：

p \longrightarrow n \;+\; e^+ \;+\; \nu_e

对应的核衰变方程中，质量数不变，原子序数减少1：

^{A}_{Z}X \longrightarrow \;^{A}_{Z-1}Y \;+\; e^+ \;+\; \nu_e

例如，钠-22发生β⁺衰变：

^{22}_{11}\text{Na} \longrightarrow \;^{22}_{10}\text{Ne} \;+\; e^+ \;+\; \nu_e

正电子在物质中遇到电子后会发生湮灭，产生两个方向相反、能量各为 $0.511\,\text{MeV}$ 的γ光子，这正是PET（正电子发射断层扫描）医学成像的物理基础。

电子俘获

第三种β衰变形式是电子俘获（EC）。原子核从最内层电子壳（K层）俘获一个轨道电子，使核内一个质子转变为中子，同时放出一个电子中微子：

p \;+\; e^- \longrightarrow n \;+\; \nu_e

核衰变方程为：

^{A}_{Z}X \;+\; e^- \longrightarrow \;^{A}_{Z-1}Y \;+\; \nu_e

中微子的引入

早期物理学家在研究β衰变时发现了一个令人困惑的问题：如果β衰变只产生一个电子，那么根据动量守恒，电子的能量应该是确定的。然而实验测量发现，β衰变放出的电子具有连续的能量分布，从零一直到某个最大值，而不是单一的能量值。

这意味着衰变释放的能量并没有完全被电子带走。1930年，泡利大胆提出：必然还有一种几乎不与物质相互作用的中性粒子参与了衰变，带走了剩余的能量——这就是后来被称为中微子的粒子。1956年，中微子在实验中被直接探测到，泡利的猜想得到证实。

β衰变中电子的动能具有连续分布，从0到最大值 $E_{max}$ 都有可能。最大值对应中微子动能为零的情况。观测到的单次衰变中，电子能量与中微子能量之和等于衰变的Q值。

下图对三种β衰变类型进行了系统比较：

β粒子（电子或正电子）的穿透能力比α粒子强，通常需要几毫米铝板才能屏蔽。相比α粒子，β粒子的电离能力较弱，但射程更长。

γ 衰变

γ衰变与α、β衰变有着本质区别：它不涉及核内质子数或中子数的变化，因此衰变前后是同一种核素，只是原子核从高能量的激发态跃迁到低能量状态，多余的能量以γ光子的形式放出。

^{A}_{Z}X^* \longrightarrow \;^{A}_{Z}X \;+\; \gamma

其中 $X^*$ 表示原子核处于激发态。γ射线本质上是波长极短的电磁波，能量通常在 $0.01\,\text{MeV}$ 到 $10\,\text{MeV}$ 之间，远高于X射线。

γ衰变通常紧随α衰变或β衰变之后发生。以钴-60为例，它是核医学中常用的放射源。钴-60先经历β⁻衰变，产生处于激发态的镍-60，随后镍-60通过两次γ跃迁回到基态：

^{60}_{27}\text{Co} \longrightarrow \;^{60}_{28}\text{Ni}^{**} \;+\; e^- \;+\; \bar{\nu}_e

^{60}_{28}\text{Ni}^{**} \longrightarrow \;^{60}_{28}\text{Ni}^{*} \;+\; \gamma_1 \quad (E_{\gamma_1} = 1.17\,\text{MeV})

^{60}_{28}\text{Ni}^{*} \longrightarrow \;^{60}_{28}\text{Ni} \;+\; \gamma_2 \quad (E_{\gamma_2} = 1.33\,\text{MeV})

γ射线没有质量、没有电荷，穿透能力极强，需要几厘米厚的铅板或数十厘米厚的混凝土才能有效屏蔽。正因为其极强的穿透性，γ射线被广泛用于金属探伤、肿瘤放射治疗（伽马刀）以及食品杀菌消毒。

下表汇总了三种射线的物理性质：

三种射线对人体均有危害，但防护方式不同。α粒子体外伤害极小，但若通过呼吸或食物进入体内则危害极大；β粒子可穿透皮肤伤害浅层组织；γ射线可穿透人体，对深部器官造成损伤。

衰变定律与半衰期

放射性核素不是突然全部衰变的，而是以一种严格的统计规律逐渐减少。对于大量放射性原子核而言，在任意时刻，单位时间内发生衰变的核数正比于当时存在的核数。这一规律可以写成微分方程：

\frac{dN}{dt} = -\lambda N

其中 $N$ 是 $t$ 时刻尚未衰变的核数， $\lambda$ 称为衰变常数，单位为 $\text{s}^{-1}$ （每秒）。负号表示 $N$ 随时间减少。

对上式积分，得到放射性衰变定律：

N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}

这是一个指数衰减函数。 $N_0$ 是 $t = 0$ 时的核数， $e$ 是自然常数（约等于2.718）。这意味着无论初始数量多少，核数总是按相同的比例逐渐减少，永远不会完全归零（只是越来越少）。

半衰期

半衰期 $T_{1/2}$ 是放射性核素数目减少到原来一半所需的时间。令 $N = N_0/2$ 代入衰变定律：

\frac{N_0}{2} = N_0 \, e^{-\lambda T_{1/2}}

两边取自然对数：

\ln 2 = \lambda T_{1/2}

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}

半衰期与衰变常数成反比： $\lambda$ 越大，半衰期越短，衰变越快。

用半衰期表示的衰变定律还可以写成更直观的形式：

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}}

这说明每经过一个半衰期，剩余核数就减少一半。经过 $n$ 个半衰期后，剩余核数为 $N_0 / 2^n$ 。

放射性活度

实验中我们通常不直接数核的个数，而是测量放射性活度 $A$ ，即单位时间内发生衰变的次数（也就是每秒发射的粒子数）：

A = \lambda N = \lambda N_0 \, e^{-\lambda t} = A_0 \, e^{-\lambda t}

活度的单位是贝可勒尔（ $\text{Bq}$ ）， $1\,\text{Bq} = 1$ 次衰变每秒。旧单位居里（ $\text{Ci}$ ）也仍在使用： $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\text{Bq}$ ，这相当于1克镭-226的活度。

下图列出了一些常见放射性核素的半衰期，跨度从毫秒到数十亿年：

计算示例

示例一：经过多少个半衰期后，样品剩余 $1/8$ ？

由 $N/N_0 = (1/2)^n = 1/8$ ，解得 $n = 3$ ，即经过3个半衰期后剩余原来的八分之一。

示例二：碳-14定年的基本原理

生物体活着时，通过呼吸不断从大气中摄取碳，其中 $^{14}\text{C}$ 与 $^{12}\text{C}$ 的比例维持在一个稳定值（约 $1.2 \times 10^{-12}$ ）。生物死亡后，停止与外界交换碳，开始按半衰期5730年衰减。若测得某古生物化石中的比例为初始值的，则：

\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{4} \implies n = 2

t = n \times T_{1/2} = 2 \times 5730 = 11460\,\text{年}

放射性衰变定律是一个纯统计规律。对单个原子核而言，无法预测它何时衰变；但对于包含大量原子核的样品（如 $10^{20}$ 个核），统计规律极为精确，实验测量与理论预测高度吻合。

练习题

选择题

第1题　在α衰变方程 $^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow \;^{A}_{Z}Y + ^{4}_{2}\text{He}$ 中，子核的质量数和原子序数分别是：

A. $A = 230，Z = 90$

B. $A = 222，Z = 86$

C. $A = 222，Z = 88$

D. $A = 230，Z = 86$

答案：B

根据质量数守恒： $A = 226 - 4 = 222$ ；根据电荷数守恒： $Z = 88 - 2 = 86$ 。子核为氡-222（ $^{222}_{86}\text{Rn}$ ）。

第2题　下列关于β⁻衰变的说法，正确的是：

A. β⁻衰变后，原子核的质量数增加1

B. β⁻衰变的本质是核内一个中子转变为质子，并放出电子和反中微子

C. β⁻衰变放出的所有电子具有相同的动能

D. β⁻衰变后，子核的原子序数减少1

答案：B

A错：β⁻衰变质量数不变（中子变质子，核子总数不变）。B正确：这正是β⁻衰变的微观本质。C错：β衰变中电子动能具有连续分布，从0到最大值都有可能，剩余能量由中微子携带。D错：β⁻衰变后原子序数增加1（质子数增加1）。

第3题　某放射性样品的半衰期为20天，初始时有 $8 \times 10^{10}$ 个放射性原子核。经过60天后，剩余的放射性原子核数目约为：

A. $1 \times 10^{10}$ 个

B. $2 \times 10^{10}$ 个

C. $4 \times 10^{10}$ 个

D. $0.5 \times 10^{10}$ 个

答案：A

60天 $= 3 \times 20$ 天，即经过了3个半衰期。每过一个半衰期减半：

$N = 8 \times 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 8 \times 10^{10} \times \frac{1}{8} = 1 \times 10^{10}\,\text{个}$

第4题　关于γ衰变，下列说法正确的是：

A. γ衰变后，原子核的质子数和中子数都不发生变化

B. γ射线是高速运动的电子流

C. γ衰变是独立于α、β衰变之外的过程，不与其他衰变伴随发生

D. γ射线的穿透能力弱于α射线

答案：A

γ衰变是激发态原子核跃迁到基态，只释放电磁辐射，不改变质子数和中子数，因此A正确。B错：γ射线是高能电磁波，不是电子流（那是β射线的描述）。C错：γ衰变通常紧随α衰变或β衰变之后发生，是伴生现象。D错：γ射线穿透能力最强，远强于α射线。

计算题

第5题　钋-210发生α衰变，生成铅-206。已知钋-210、铅-206和氦-4的原子质量分别为 $209.9829\,\text{u}$ 、 $205.9745\,\text{u}$ 和 $4.0026\,\text{u}$ ，且 $1\,\text{u} \cdot c^2 = 931.5\,\text{MeV}$ 。

（1）写出该α衰变的核方程。

（2）计算此次衰变的Q值（释放的能量）。

（3）若α粒子带走了衰变释放能量的98%，求α粒子的动能。

（1）核方程：

$^{210}_{84}\text{Po} \longrightarrow \;^{206}_{82}\text{Pb} \;+\; ^{4}_{2}\text{He}$

第6题　某医院有一批碘-131用于甲状腺癌治疗，碘-131的半衰期为8天，衰变常数 $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ 。

（1）计算碘-131的衰变常数 $\lambda$ （单位： $\text{天}^{-1}$ ）。

（2）若初始时样品的放射性活度为 $A_0 = 3.7 \times 10^{10}\,\text{Bq}$ （即 $1\,\text{Ci}$ ），求24天后的活度 $A$ 。

（3）从安全角度出发，要求样品活度降至初始值的 $1/16$ 以下才能作为普通废物处理，问至少需要存放多少天？

（1）衰变常数：

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{8} \approx 0.0866\,\text{天}^{-1}$

^{14}

C

^{14}\text{C}

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