核物理基础

原子核的世界与我们日常经验中的宏观世界截然不同。在直径约 $10^{-15}\ \mathrm{m}$ 的空间里，质子和中子被一种极其强大、却作用范围极短的力紧紧束缚在一起，释放出来的能量可以是化学反应的百万倍。理解核物理，首先需要认识原子核是由什么构成的，核子之间如何相互吸引，以及系统的总能量如何通过质量来体现。

原子核的基本组成

原子核由两种核子构成：带正电的质子（proton）和不带电的中子（neutron）。描述一个原子核，需要三个基本数值。

符号	名称	含义
$Z$	质子数（原子序数）	核内质子的数目，决定元素种类
$N$	中子数	核内中子的数目
$A$	质量数	核子总数， $A = Z + N$

书写一种核素时，通常采用 $^A_Z\mathrm{X}$ 的形式，其中 X 为元素符号。例如碳-12 写作 $^{12}_{\phantom{0}6}\mathrm{C}$ ，表示 6 个质子、6 个中子；铀-235 写作 $^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}$ ，表示 92 个质子、143 个中子。

下图列出几种常见核素及其核子数，便于建立直观认识：

质子数相同、中子数不同的核素互称同位素。氢有三种同位素：普通氢（ $^1\mathrm{H}$ ）、氘（ $^2\mathrm{H}$ ，记作 D）、氚（ $^3\mathrm{H}$ ，记作 T）。它们化学性质几乎相同，因为化学行为由核外电子决定，而电子数等于质子数 $Z$ 。

质量数 $A$ 并不等于原子质量的精确值，但可以作为原子质量（以原子质量单位 $\mathrm{u}$ 计）的整数近似，偏差通常在 $1\%$ 以内。

例1： 已知磷的原子序数为 15，磷-31 的质量数为 31，求其中子数。

$N = A - Z = 31 - 15 = 16$ ，故磷-31 含 15 个质子、16 个中子。

例2： 钴-60（ $^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ）是医疗放射治疗中常用的放射源，求其中子数并判断与钴-59（ $^{59}_{27}\mathrm{Co}$ ）的关系。

$N(^{60}\mathrm{Co}) = 60 - 27 = 33$ ， $N(^{59}\mathrm{Co}) = 59 - 27 = 32$ ，两者质子数相同，互为同位素。

结合能与质量亏损

测量发现，原子核的实际质量总是小于其所含质子和中子质量之和。这一差值称为质量亏损，记作 $\Delta m$ ：

$\Delta m = Z m_{\mathrm{p}} + N m_{\mathrm{n}} - M_{\mathrm{核}}$

其中 $m_{\mathrm{p}} = 1.007276\ \mathrm{u}$ ， $m_{\mathrm{n}} = 1.008665\ \mathrm{u}$ ， $M_{\mathrm{核}}$ 为原子核的实测质量， $\mathrm{u}$ 为原子质量单位， $1\ \mathrm{u} = 1.66054 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ 。

根据爱因斯坦质能方程，这部分“消失”的质量转化为将核子束缚在一起所释放的能量，称为结合能 $B$ ：

$B = \Delta m \cdot c^2$

在核物理中常用 $1\ \mathrm{u}$ 所对应的能量 $931.5\ \mathrm{MeV}$ 作为换算因子，即

$B = \Delta m \times 931.5\ \mathrm{MeV/u}$

为了比较不同核素的稳定程度，引入比结合能（每个核子的平均结合能）：

$\varepsilon = \frac{B}{A}$

比结合能越大，意味着将该核分解为单个核子所需的能量越多，核越稳定。

例3： 计算氘核 $^2_1\mathrm{H}$ 的结合能。

氘核质量 $M_{\mathrm{D}} = 2.013553\ \mathrm{u}$ ，代入质量亏损公式：

$\Delta m = 1 \times 1.007276 + 1 \times 1.008665 - 2.013553 = 0.002388\ \mathrm{u}$

$B = 0.002388 \times 931.5 \approx 2.22\ \mathrm{MeV}$

氘核的比结合能为 $\varepsilon = 2.22/2 = 1.11\ \mathrm{MeV}$ ，相对较低，说明氘核结合较为松散。

例4： 计算 $\alpha$ 粒子（ $^4_2\mathrm{He}$ ）的比结合能。

$^4_2\mathrm{He}$ 核质量为 $4.001506\ \mathrm{u}$ ：

$\Delta m = 2 \times 1.007276 + 2 \times 1.008665 - 4.001506 = 0.030376\ \mathrm{u}$

$B = 0.030376 \times 931.5 \approx 28.30\ \mathrm{MeV}$

$\varepsilon = 28.30 / 4 \approx 7.07\ \mathrm{MeV}$

$\alpha$ 粒子的比结合能远高于氘核，这正是为什么 $\alpha$ 粒子在核反应中非常稳定，常作为整体单元被释放出来。

下表给出几种典型核素的比结合能，可以看出中等质量核（如铁-56）的比结合能最高，重核与轻核的比结合能都相对较低：

比结合能曲线在 $A \approx 56$ （铁附近）出现峰值约 $8.8\ \mathrm{MeV}$ ，向两端递减。这一规律直接解释了核裂变和核聚变都能释放能量的原因：重核裂变向中间靠拢，比结合能增大；轻核聚变同样向中间靠拢，比结合能也增大，两者都意味着总质量减小、能量释放。

核力的基本特性

是什么力量把多个带正电的质子和不带电的中子束缚在直径不到 $10^{-14}\ \mathrm{m}$ 的极小空间里？质子之间的库仑排斥力在如此近的距离下已经极为强大，必然存在一种更强的吸引力来克服它，这就是核力（强相互作用的低能表现）。

核力有三条最重要的性质：

第一：短程性。 核力的作用范围约为 $1 \sim 2\ \mathrm{fm}$ （ $1\ \mathrm{fm} = 10^{-15}\ \mathrm{m}$ ）。超过约 $3\ \mathrm{fm}$ 后，核力迅速衰减至可以忽略；在约 $0.4\ \mathrm{fm}$ 以内，核力转变为排斥力，防止核子相互穿透。这与库仑力按距离平方反比缓慢衰减的行为截然不同。
第二：饱和性。 每个核子只与其紧邻的少数核子发生强烈的核力作用，而不是与核内所有核子都有强相互作用。这类似于分子间的短程化学键，而不是像引力或电磁力那样覆盖全局。饱和性使得结合能与核子数 $A$ 基本成正比，而非与 $A^2$ 成正比。
第三：电荷无关性。 核力对质子与质子（pp）、中子与中子（nn）、质子与中子（np）之间的作用强度几乎相同，不受电荷影响。

下表对核力与库仑力作简要对比：

例5： 两个质子相距 $r = 1.0\ \mathrm{fm}$ 时，库仑排斥力约为多少？

$F_{\mathrm{库仑}} = k_e\frac{e^2}{r^2} = 8.99\times 10^9 \times \frac{(1.60\times 10^{-19})^2}{(1.0\times 10^{-15})^2} \approx 230\ \mathrm{N}$

这已是相当大的力，但同距离下核力的吸引力约达到 $10^4\ \mathrm{N}$ 量级，远强于库仑排斥，核素因此能够稳定存在。

核的液滴模型与半经验质量公式

认识核力的饱和性和短程性后，可以用一个直观的模型来描述原子核：将它类比为一滴不可压缩的液体，每个核子如同液滴中的分子，只与紧邻邻居相互作用，整体密度几乎恒定。这就是液滴模型。

根据液滴模型，核的半径 $R$ 与质量数 $A$ 存在简单关系：

$R = R_0 A^{1/3}$

其中 $R_0 \approx 1.2\ \mathrm{fm}$ 。这意味着核的体积 $\propto A$ ，核物质密度近似为常数，约 $2.3 \times 10^{17}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ——比水的密度高约 $10^{14}$ 倍。

液滴模型给出了贝特—魏茨泽克半经验质量公式，把结合能写成几项物理机制的叠加：

$B(Z,A) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} + \delta$

各项系数及物理含义如下表所示：

例6： 用半经验公式粗略估算 $^{56}_{26}\mathrm{Fe}$ 的结合能（不计 $\delta$ 项）。

$A=56$ ， $Z=26$ ， $N=30$ ：

$B \approx 15.8\times 56 - 18.3\times 56^{2/3} - 0.714\times\frac{26\times 25}{56^{1/3}} - 23.2\times\frac{(56-52)^2}{56}$

$= 884.8 - 18.3\times 14.97 - 0.714\times\frac{650}{3.826} - 23.2\times\frac{16}{56}$

$\approx 884.8 - 273.9 - 121.3 - 6.6 \approx 483\ \mathrm{MeV}$

与实验值 $492\ \mathrm{MeV}$ 相差约 $2\%$ ，表明液滴模型在中等质量核上具有较好的预测能力。

半经验质量公式对于很轻的核（ $A < 10$ ）误差较大，因为轻核表面效应和量子效应更加显著，液滴类比逐渐失效。

练习题

选择题

1. 已知锝-99（ $^{99}_{43}\mathrm{Tc}$ ）是医学核显像中最常用的放射性同位素，其中子数为（　　）

A. 43 B. 56 C. 99 D. 142

答案：B

$N = A - Z = 99 - 43 = 56$ 。锝-99 含 43 个质子、56 个中子。

2. 关于比结合能，下列说法正确的是（　　）

A. 比结合能越小，原子核越稳定

B. 铀-235 的比结合能高于铁-56

C. 质量数约为 56 的核素比结合能最大，核最稳定

D. 氢核的比结合能为零，因此它不能参与核反应

答案：C

比结合能反映核子平均受到的束缚强度，越大核越稳定。比结合能曲线在 $A\approx 56$ 附近达到峰值约 $8.8\ \mathrm{MeV}$ ，铁附近的核最为稳定。铀-235 的比结合能约 $7.6\ \mathrm{MeV}$ ，低于铁-56。质子（氢核）比结合能为零是因为它本身就是单个核子，但仍可参与核反应。

3. 核力的“饱和性”意味着（　　）

A. 核力只在特定温度下出现

B. 每个核子只与邻近有限数目的核子有强烈的核力作用，结合能近似与 $A$ 成正比

C. 核力的大小达到饱和最大值后不再随距离变化

D. 质子数越多，核力越强

答案：B

饱和性是指核力不是“所有核子两两作用”的长程力，而是每个核子只与紧邻几个核子相互作用，正因如此，结合能 $B\approx a_V A$ （体积项主导），与 $A$ 成正比而非 $A^2$ 成正比。

4. 液滴模型给出核的半径公式 $R = R_0 A^{1/3}$ ，其直接隐含的结论是（　　）

A. 核的表面积与 $A$ 成正比

B. 核物质密度（核子数/体积）近似为与 $A$ 无关的常数

C. 核的半径与质子数 $Z$ 成正比

D. 重核半径等于轻核半径

答案：B

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A$ ，体积正比于 $A$ ，故核子数密度 $A/V = 3/(4\pi R_0^3)$ 为常数，与质量数无关，这正是“不可压缩液体”类比的核心依据。

计算题

5. 计算氦-4（ $^4_2\mathrm{He}$ ）核的质量亏损 $\Delta m$ 和结合能 $B$ 。

已知： $m_{\mathrm{p}} = 1.007276\ \mathrm{u}$ ， $m_{\mathrm{n}} = 1.008665\ \mathrm{u}$ ， $M(^4\mathrm{He}) = 4.001506\ \mathrm{u}$ ， $1\ \mathrm{u} = 931.5\ \mathrm{MeV}/c^2$ 。

解：

质量亏损：

$\Delta m = 2m_{\mathrm{p}} + 2m_{\mathrm{n}} - M(^4\mathrm{He})$

$= 2\times 1.007276 + 2\times 1.008665 - 4.001506$

$= 2.014552 + 2.017330 - 4.001506 = 0.030376\ \mathrm{u}$

结合能：

$B = \Delta m \times 931.5\ \mathrm{MeV/u} = 0.030376\times 931.5 \approx 28.3\ \mathrm{MeV}$

比结合能 $\varepsilon = B/A = 28.3/4 \approx 7.07\ \mathrm{MeV}$ ，明显高于氘核，说明氦-4 比氘核稳定得多。

6. 用液滴模型半径公式估算：（a） $^{12}_{\phantom{0}6}\mathrm{C}$ 的核半径；（b） $^{238}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}$ 的核半径；（c）两者半径之比，并与理论预测对照。

已知 $R_0 = 1.2\ \mathrm{fm}$ 。

解：

（a）碳-12 的核半径：

$R_{\mathrm{C}} = 1.2\times 12^{1/3} = 1.2\times 2.289 \approx 2.75\ \mathrm{fm}$

（b）铀-238 的核半径：

$R_{\mathrm{U}} = 1.2\times 238^{1/3} = 1.2\times 6.201 \approx 7.44\ \mathrm{fm}$

（c）半径之比：

$\frac{R_{\mathrm{U}}}{R_{\mathrm{C}}} = \frac{7.44}{2.75} \approx 2.71$

理论预测值为 $\left(\dfrac{238}{12}\right)^{1/3} = 19.83^{1/3} \approx 2.71$ ，与直接计算完全一致，验证了 $R\propto A^{1/3}$ 的可靠性。

核物理基础

原子核的基本组成

原子核由两种核子构成：带正电的质子（proton）和不带电的中子（neutron）。描述一个原子核，需要三个基本数值。

符号	名称	含义
$Z$	质子数（原子序数）	核内质子的数目，决定元素种类
$N$	中子数	核内中子的数目
$A$	质量数	核子总数， $A = Z + N$

下图列出几种常见核素及其核子数，便于建立直观认识：

质量数 $A$ 并不等于原子质量的精确值，但可以作为原子质量（以原子质量单位 $\mathrm{u}$ 计）的整数近似，偏差通常在 $1\%$ 以内。

例1： 已知磷的原子序数为 15，磷-31 的质量数为 31，求其中子数。

$N = A - Z = 31 - 15 = 16$ ，故磷-31 含 15 个质子、16 个中子。

例2： 钴-60（ $^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ）是医疗放射治疗中常用的放射源，求其中子数并判断与钴-59（ $^{59}_{27}\mathrm{Co}$ ）的关系。

$N(^{60}\mathrm{Co}) = 60 - 27 = 33$ ， $N(^{59}\mathrm{Co}) = 59 - 27 = 32$ ，两者质子数相同，互为同位素。

结合能与质量亏损

测量发现，原子核的实际质量总是小于其所含质子和中子质量之和。这一差值称为质量亏损，记作 $\Delta m$ ：

$\Delta m = Z m_{\mathrm{p}} + N m_{\mathrm{n}} - M_{\mathrm{核}}$

根据爱因斯坦质能方程，这部分“消失”的质量转化为将核子束缚在一起所释放的能量，称为结合能 $B$ ：

$B = \Delta m \cdot c^2$

在核物理中常用 $1\ \mathrm{u}$ 所对应的能量 $931.5\ \mathrm{MeV}$ 作为换算因子，即

$B = \Delta m \times 931.5\ \mathrm{MeV/u}$

为了比较不同核素的稳定程度，引入比结合能（每个核子的平均结合能）：

$\varepsilon = \frac{B}{A}$

比结合能越大，意味着将该核分解为单个核子所需的能量越多，核越稳定。

例3： 计算氘核 $^2_1\mathrm{H}$ 的结合能。

氘核质量 $M_{\mathrm{D}} = 2.013553\ \mathrm{u}$ ，代入质量亏损公式：

$\Delta m = 1 \times 1.007276 + 1 \times 1.008665 - 2.013553 = 0.002388\ \mathrm{u}$

$B = 0.002388 \times 931.5 \approx 2.22\ \mathrm{MeV}$

氘核的比结合能为 $\varepsilon = 2.22/2 = 1.11\ \mathrm{MeV}$ ，相对较低，说明氘核结合较为松散。

例4： 计算 $\alpha$ 粒子（ $^4_2\mathrm{He}$ ）的比结合能。

$^4_2\mathrm{He}$ 核质量为 $4.001506\ \mathrm{u}$ ：

$\Delta m = 2 \times 1.007276 + 2 \times 1.008665 - 4.001506 = 0.030376\ \mathrm{u}$

$B = 0.030376 \times 931.5 \approx 28.30\ \mathrm{MeV}$

$\varepsilon = 28.30 / 4 \approx 7.07\ \mathrm{MeV}$

$\alpha$ 粒子的比结合能远高于氘核，这正是为什么 $\alpha$ 粒子在核反应中非常稳定，常作为整体单元被释放出来。

下表给出几种典型核素的比结合能，可以看出中等质量核（如铁-56）的比结合能最高，重核与轻核的比结合能都相对较低：

核力的基本特性

核力有三条最重要的性质：

第一：短程性。 核力的作用范围约为 $1 \sim 2\ \mathrm{fm}$ （ $1\ \mathrm{fm} = 10^{-15}\ \mathrm{m}$ ）。超过约 $3\ \mathrm{fm}$ 后，核力迅速衰减至可以忽略；在约 $0.4\ \mathrm{fm}$ 以内，核力转变为排斥力，防止核子相互穿透。这与库仑力按距离平方反比缓慢衰减的行为截然不同。
第二：饱和性。 每个核子只与其紧邻的少数核子发生强烈的核力作用，而不是与核内所有核子都有强相互作用。这类似于分子间的短程化学键，而不是像引力或电磁力那样覆盖全局。饱和性使得结合能与核子数 $A$ 基本成正比，而非与 $A^2$ 成正比。
第三：电荷无关性。 核力对质子与质子（pp）、中子与中子（nn）、质子与中子（np）之间的作用强度几乎相同，不受电荷影响。

下表对核力与库仑力作简要对比：

例5： 两个质子相距 $r = 1.0\ \mathrm{fm}$ 时，库仑排斥力约为多少？

$F_{\mathrm{库仑}} = k_e\frac{e^2}{r^2} = 8.99\times 10^9 \times \frac{(1.60\times 10^{-19})^2}{(1.0\times 10^{-15})^2} \approx 230\ \mathrm{N}$

这已是相当大的力，但同距离下核力的吸引力约达到 $10^4\ \mathrm{N}$ 量级，远强于库仑排斥，核素因此能够稳定存在。

核的液滴模型与半经验质量公式

根据液滴模型，核的半径 $R$ 与质量数 $A$ 存在简单关系：

$R = R_0 A^{1/3}$

液滴模型给出了贝特—魏茨泽克半经验质量公式，把结合能写成几项物理机制的叠加：

$B(Z,A) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} + \delta$

各项系数及物理含义如下表所示：

例6： 用半经验公式粗略估算 $^{56}_{26}\mathrm{Fe}$ 的结合能（不计 $\delta$ 项）。

$A=56$ ， $Z=26$ ， $N=30$ ：

$B \approx 15.8\times 56 - 18.3\times 56^{2/3} - 0.714\times\frac{26\times 25}{56^{1/3}} - 23.2\times\frac{(56-52)^2}{56}$

$= 884.8 - 18.3\times 14.97 - 0.714\times\frac{650}{3.826} - 23.2\times\frac{16}{56}$

$\approx 884.8 - 273.9 - 121.3 - 6.6 \approx 483\ \mathrm{MeV}$

与实验值 $492\ \mathrm{MeV}$ 相差约 $2\%$ ，表明液滴模型在中等质量核上具有较好的预测能力。

半经验质量公式对于很轻的核（ $A < 10$ ）误差较大，因为轻核表面效应和量子效应更加显著，液滴类比逐渐失效。

练习题

选择题

1. 已知锝-99（ $^{99}_{43}\mathrm{Tc}$ ）是医学核显像中最常用的放射性同位素，其中子数为（　　）

A. 43 B. 56 C. 99 D. 142

答案：B

$N = A - Z = 99 - 43 = 56$ 。锝-99 含 43 个质子、56 个中子。

2. 关于比结合能，下列说法正确的是（　　）

A. 比结合能越小，原子核越稳定

B. 铀-235 的比结合能高于铁-56

C. 质量数约为 56 的核素比结合能最大，核最稳定

D. 氢核的比结合能为零，因此它不能参与核反应

答案：C

3. 核力的“饱和性”意味着（　　）

A. 核力只在特定温度下出现

B. 每个核子只与邻近有限数目的核子有强烈的核力作用，结合能近似与 $A$ 成正比

C. 核力的大小达到饱和最大值后不再随距离变化

D. 质子数越多，核力越强

答案：B

4. 液滴模型给出核的半径公式 $R = R_0 A^{1/3}$ ，其直接隐含的结论是（　　）

A. 核的表面积与 $A$ 成正比

B. 核物质密度（核子数/体积）近似为与 $A$ 无关的常数

C. 核的半径与质子数 $Z$ 成正比

D. 重核半径等于轻核半径

答案：B

计算题

5. 计算氦-4（ $^4_2\mathrm{He}$ ）核的质量亏损 $\Delta m$ 和结合能 $B$ 。

已知： $m_{\mathrm{p}} = 1.007276\ \mathrm{u}$ ， $m_{\mathrm{n}} = 1.008665\ \mathrm{u}$ ， $M(^4\mathrm{He}) = 4.001506\ \mathrm{u}$ ， $1\ \mathrm{u} = 931.5\ \mathrm{MeV}/c^2$ 。

解：

质量亏损：

$\Delta m = 2m_{\mathrm{p}} + 2m_{\mathrm{n}} - M(^4\mathrm{He})$

$= 2\times 1.007276 + 2\times 1.008665 - 4.001506$

$= 2.014552 + 2.017330 - 4.001506 = 0.030376\ \mathrm{u}$

结合能：

$B = \Delta m \times 931.5\ \mathrm{MeV/u} = 0.030376\times 931.5 \approx 28.3\ \mathrm{MeV}$

比结合能 $\varepsilon = B/A = 28.3/4 \approx 7.07\ \mathrm{MeV}$ ，明显高于氘核，说明氦-4 比氘核稳定得多。

已知 $R_0 = 1.2\ \mathrm{fm}$ 。

解：

（a）碳-12 的核半径：

$R_{\mathrm{C}} = 1.2\times 12^{1/3} = 1.2\times 2.289 \approx 2.75\ \mathrm{fm}$

（b）铀-238 的核半径：

$R_{\mathrm{U}} = 1.2\times 238^{1/3} = 1.2\times 6.201 \approx 7.44\ \mathrm{fm}$

（c）半径之比：

$\frac{R_{\mathrm{U}}}{R_{\mathrm{C}}} = \frac{7.44}{2.75} \approx 2.71$

理论预测值为 $\left(\dfrac{238}{12}\right)^{1/3} = 19.83^{1/3} \approx 2.71$ ，与直接计算完全一致，验证了 $R\propto A^{1/3}$ 的可靠性。