质点系与刚体力学

多个物体连在一起运动时，逐个列方程往往冗长。先把质量分布用“质心”这个代表点概括整体平动，再讨论绕轴的转动，思路会顺很多。下面从离散质点与连续体的质心写起，接着给出常见转动惯量、平行轴与垂直轴两条定理，再说明刚体平面运动与纯滚动的速度关系，最后用很浅的图像说明高速自转陀螺在重力作用下为什么会绕竖直方向缓慢转弯。

内力总是成对出现、大小相等方向相反，对整体动量的变化没有净贡献；因此整体平动部分的加速度只看外力。转动部分则与转轴位置有关：绕质心的转动惯量与绕另一条平行轴的转动惯量之间，相差一项“总质量乘两轴距离平方”，这就是平行轴定理的用途。

质心与质心运动定理

设有 $N$ 个质点，质量分别为 $m_1,m_2,\ldots,m_N$，位置矢量分别为 $\vec{r}_1,\vec{r}_2,\ldots,\vec{r}_N$。总质量记为 $M=\sum_i m_i$。质心位置定义为

$\vec{r}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\vec{r}_i$

质量连续分布时，把求和换成积分：在体积内密度为 $\rho(\vec{r})$，则质量元 $\mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}V$，

$\vec{r}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{M}\iiint_V \vec{r}\,\rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V,\qquad M=\iiint_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

对称性明显时不必每次都积分：质量分布关于某点对称，质心落在对称中心；均匀细杆取中点为原点时，两端质量对称，质心在中点。

质心运动定理把牛顿第二定律推广到质点系：外力矢量和为 $\vec{F}_{\mathrm{ext}}$，则

$M\vec{a}_{\mathrm{c}}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}$

其中 $\vec{a}_{\mathrm{c}}=\dfrac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t^{2}}$。重力场均匀时，质心与重心重合，整体所受重力可等效为总质量集中在质心上的一个力。

例1： 水平光滑面上两个小车用轻绳连接，质量 $m_1=2.0\ \mathrm{kg}$、$m_2=3.0\ \mathrm{kg}$。某时刻 ${}_{}$ 在 ， 在 。一维质心坐标为

$x_{\mathrm{c}}=\frac{m_1\cdot 0+m_2\cdot 5.0}{m_1+m_2}=\frac{15.0}{5.0}=3.0\ \mathrm{m}$

绳上张力属于内力；水平面无摩擦且无其他水平外力时，$\vec{F}_{\mathrm{ext}}=0$，故 $\vec{a}_{\mathrm{c}}=0$，质心水平速度不变。最初静止时，两车间无论怎样相对运动，质心水平速度仍为零，直到出现新的水平外力。

例2： 炮车与炮弹在水平方向发射前总动量为零。发射后炮弹向前、炮车向后；水平方向无其他外力时，质心水平加速度为零，水平方向发射前系统整体静止时，发射后瞬间质心水平速度仍为零，炮弹与炮车动量大小相等、方向相反。这是质心运动定理与动量守恒一起用的典型情形。

转动惯量与定轴转动

刚体绕固定轴转动时，角速度记为 $\omega$，各质点到轴的垂直距离为 $r_i$，线速度 $v_i=r_i\omega$。动能求和得

$T=\sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2=\frac{1}{2}\left(\sum_i m_i r_i^2\right)\omega^2=\frac{1}{2}I\omega^2$

转动惯量定义为

$I=\sum_i m_i r_i^2\quad\text{（离散）},\qquad I=\iiint r_\perp^2\,\mathrm{d}m\quad\text{（连续）}$

其中 $r_\perp$ 是质量元到转轴的垂直距离。在国际单位制中，$I$ 的单位为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$。

例3： 匀质细杆 $M=1.2\ \mathrm{kg}$，$L=0.90\ \mathrm{m}$，绕通过中心且垂直杆的轴转动，

$I=\frac{1}{12}ML^2=\frac{1}{12}\times 1.2\times 0.90^2=0.081\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$

先算 $0.90^2=0.81$，再乘 $1.2$ 得 $0.972$，除以 $12$ 得 $0.081$，单位与 $MR^2$ 一致。

例4： 匀质圆盘 $M=2.0\ \mathrm{kg}$，$R=0.15\ \mathrm{m}$，绕中心垂直轴，$I=\dfrac{1}{2}MR^2=0.0225\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$。保持总质量与半径不变，改成细圆环且质量全在边缘时，，更大，因为同样角速度下边缘线速度更大，动能更集中在外侧。

定轴转动的动力学关系为

$I\alpha=\tau_{\mathrm{ext}}$

$\alpha=\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$ 为角加速度，$\tau_{\mathrm{ext}}$ 为对同一轴的外力矩代数和。内力矩成对抵消，不出现在右端。

代入数值时，角速度宜统一为 $\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$。题目以“度每秒”给出角速度时，先换算：$\omega_{\mathrm{rad}}=\dfrac{\pi}{180}\,\omega_{\mathrm{deg}}$，其中 表示以度为单位的角速率数值。

平行轴定理与垂直轴定理

平行轴定理：已知刚体对通过质心且与某轴平行的轴的转动惯量为 $I_{\mathrm{c}}$，则对与该轴平行、相距为 $d$ 的另一轴，

$I=I_{\mathrm{c}}+Md^2$

项 $Md^2$ 可理解为把全部质量集中在质心时，对该平行轴的转动惯量。

例5： 细杆 $M$、$L$，绕一端垂直轴的转动惯量可用平行轴验证：对中心轴 $I_{\mathrm{c}}=\dfrac{ML^2}{12}$，两轴距离 ，

$I=I_{\mathrm{c}}+Md^2=\frac{ML^2}{12}+M\frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3}$

与上表中“过端点”结果一致。

垂直轴定理适用于薄板（厚度可忽略）：在板面内取相互垂直的 $x$、$y$ 轴，$z$ 轴垂直板面，则

$I_z=I_x+I_y$

例6： 匀质薄圆盘质量 $M$、半径 $R$，在盘面内过圆心的任意两条垂直轴转动惯量相同，记为 $I_x=I_y$。绕垂直盘面的中心轴 $I_z={\displaystyle \frac{1}{2}}M{R}^2$，由对称性 ，代入得 ，故 。此结论建立在薄板模型上，厚度不可忽略时需回到三维积分。

平面运动、纯滚动与动能

刚体平面运动常分解为随质心的平动与绕质心（或过质心垂直轴）的转动。任一点速度

$\vec{v}=\vec{v}_{\mathrm{c}}+\vec{\omega}\times\vec{r}^{\prime}$

$\vec{r}^{\prime}$ 为从质心指向该点的矢量；平面运动中 $\vec{\omega}$ 垂直运动平面。

纯滚动时圆轮与接触面之间接触点相对地面瞬时速度为零，故

$v_{\mathrm{c}}=\omega R$

$R$ 为半径，$v_{\mathrm{c}}$ 为质心速率，$\omega$ 为角速度大小。动能可写为

$T=\frac{1}{2}Mv_{\mathrm{c}}^{2}+\frac{1}{2}I_{\mathrm{c}}\omega^{2}$

$I_{\mathrm{c}}$ 为绕质心垂直轴的转动惯量。

斜面上圆盘纯滚动下滑时，接触点瞬时位移为零，静摩擦力对圆盘不做功；重力势能转化为平动与转动动能之和，列守恒式时两项动能都要计入。

陀螺进动的直观图像

对定点或定轴，角动量 $\vec{L}$ 与角速度在刚体高度对称时往往方向一致；外力矩满足 $\vec{\tau}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$。玩具陀螺高速绕对称轴自转时，重心偏在支点一侧，重力产生相对支点的力矩；这个力矩主要改变角动量的方向，使 的尖端在水平面内缓慢画圆，整体绕竖直轴转弯，称为进动。自转角速度越大，同样力矩下方向变化越慢，进动往往越不明显。初学阶段可把握如下图像：力矩改变角动量的方向；自转越快，进动往往越慢。详细矢量推导可放在提高读物中。

练习题

选择题

1. 关于质心运动定理 $M\vec{a}_{\mathrm{c}}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}$，下列说法正确的是（　　）

A. 内力可以改变质心加速度

B. 质心加速度只由外力矢量和决定，与内力无关

C. 没有外力时，每个质点一定保持静止

D. 质心位置一定在物体内部

2. 匀质细杆长 $L$、质量 $M$，绕通过中心且垂直杆的轴的转动惯量为（　　）

A. $\dfrac{ML^2}{3}$

B. $\dfrac{ML^2}{12}$

C. $\dfrac{ML^2}{2}$

D. $ML^2$

3. 质量与半径均相同的匀质圆盘与细圆环，均绕通过中心且垂直于盘面的轴转动。比较转动惯量 $I_{\mathrm{盘}}$ 与 $I_{\mathrm{环}}$，有（　　）

A. $I_{\mathrm{盘}}=I_{\mathrm{环}}$

B. $I_{\mathrm{盘}}>I_{\mathrm{环}}$

C. $I_{\mathrm{盘}}<I_{\mathrm{环}}$

D. 无法比较

4. 半径为 $R$ 的圆轮在水平地面作纯滚动，质心速率为 $v_{\mathrm{c}}$，角速度大小为 $\omega$，则正确的是（　　）

A. $v_{\mathrm{c}}=\omega R^2$

B. $v_{\mathrm{c}}=\dfrac{\omega}{R}$

C. $v_{\mathrm{c}}=\omega R$

D. $v_{\mathrm{c}}$ 与 $\omega$ 无关

计算题

计算题侧重代入公式、算术与单位自检；选择题侧重概念与定理条件。书写时保持题设符号与公式中符号一致，避免把质心轴与任意平行轴混淆。

5. 质量 $m_1=4.0\ \mathrm{kg}$ 与 $m_2=6.0\ \mathrm{kg}$ 的两质点用刚性轻杆连成一体。取一维坐标，${}_{}$ 在 ， 在 。求系统质心坐标 与总质量 。

6. 匀质圆盘质量 $M=1.6\ \mathrm{kg}$，半径 $R=0.20\ \mathrm{m}$，绕通过盘心且垂直盘面的轴转动。角速度从 $\omega_0=12\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ 在恒定合外力矩作用下经 均匀增加到 。求转动惯量 、角加速度 及这段时间内合外力矩大小 。

质心坐标

$x_{\mathrm{c}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{M}=\frac{4.0\times 0+6.0\times 2.0}{10.0}=\frac{12.0}{10.0}=1.2\ \mathrm{m}$

量纲：分子为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}$，分母为 $\mathrm{kg}$，商为 $\mathrm{m}$。质心离 $4.0\ \mathrm{kg}$ 一端较远，符合质量较大一端权重更大的规律。

角加速度为常量时

$\alpha=\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{20-12}{3.0}=\frac{8.0}{3.0}\approx 2.67\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-2}$

合外力矩

$\tau=I\alpha=0.032\times\frac{8.0}{3.0}\approx 0.0853\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$

也可写成分数形式 $\tau=\dfrac{0.256}{3.0}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$。量纲：$I$ 为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$，$\alpha$ 为 $\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-2}$，乘积为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}$，与 $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ 一致。