拉格朗日力学

牛顿定律用力和加速度描述运动，在约束较多或坐标选取不当时，方程里会出现约束力，代数运算容易变繁。拉格朗日方法用广义坐标写出系统的动能与势能，通过一条统一的微分方程得到运动方程，约束力常常不必单独求出。下面从最少需要的坐标个数讲起，再交代虚功与达朗贝尔的入门形式，然后给出拉格朗日方程并用于弹簧、单摆与有心力场等常见模型。推导步骤按顺序展开，每一步只引入一个核心概念，便于在课堂或自学中反复对照。

国内物理类课程常在理论力学中系统讲授这一工具，与高等数学中的偏导数、全导数及常微分方程课程相衔接。阅读时手边准备草稿纸，把例题里的 $L$ 自己写一遍并重复求偏导，比只读证明更易建立计算习惯。符号约定（例如角从何处量起、势能零点取在哪里）要与教材或课堂统一，否则方程形式会差符号或常数，但物理规律不变。

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广义坐标与约束

描述一个力学系统时，若用直角坐标列出全部质点的位置，变量个数往往多于真正“能独立变化”的个数，因为绳、杆、轨道等约束把某些关系固定下来。能够单值地确定系统位形、且彼此独立的最少变量个数，称为自由度数目；选来充当这组独立变量的量，统称为广义坐标，常记为 $q_1,q_2,\ldots,q_s$，其中 $s$ 为自由度数。广义坐标可以是长度、角度或其它能唯一标定位形的量，只要彼此独立即可。

约束若可写成坐标与时间的方程 $f(q_1,\ldots,q_s,t)=0$，称为完整约束。完整约束减少独立坐标个数，用广义坐标后，这些关系已经“吸收”进坐标选取里，方程里不再显含约束力。不能写成这种形式的约束（例如纯滚动中某些速度关系）属于非完整约束，入门课程以完整约束为主。约束方程不显含时间 $t$ 时称为定常约束；显含 $t$ 时系统可受主动控制的支承或时变几何影响，拉格朗日函数可能显含时间，能量积分需重新讨论。

下面用具体系统说明“从很多坐标减到 $s$ 个广义坐标”的思路，可与上表对照阅读。

例1： 质量为 $m$ 的质点被约束在半径为 $R$ 的圆周上运动。用直角坐标有 $x^2+y^2=R^2$，只有两个坐标独立。取广义坐标 $q=\theta$，则 $x=R\cos\theta$，$y=R\sin\theta$，任意 $\theta$ 对应圆周上唯一位置，自由度 $s=1$。

例2： 轻杆两端各连一质点，杆长 $\ell$ 不变，在竖直平面内运动。两质点共需四个坐标，杆长约束与一个整体平动可约化后，常用两个角描述：杆与竖直方向夹角及系统质心水平位置（视具体约束而定）。若质心水平被导轨固定，则只剩杆的转角一个广义坐标。

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虚功原理与达朗贝尔原理（入门形式）

静力学里，理想约束的约束力在任意符合约束的“虚位移”上不做功。系统平衡时，主动力在虚位移上做的总虚功为零，这就是虚功原理的常用表述。把这一思想推广到运动，引入惯性力 $-m\vec{a}$ 与主动力、约束力一起考虑，在理想约束下得到达朗贝尔原理：在每一瞬时，主动力与惯性力在虚位移上的虚功之和为零。入门阶段不必展开最一般的矢量证明，只需记住：理想约束消去了约束力在虚功中的贡献，方程中只保留主动力与惯性项，为后面只写 $T$ 与 $V$ 铺路。

例3： 光滑斜面上的物块受重力与支持力。支持力垂直斜面，物块沿斜面的虚位移与支持力垂直，支持力虚功为零；沿斜面方向只剩重力分量与加速度的关系，与沿斜面列牛顿方程一致。

例4： 两质点用刚性轻杆连接，杆内力沿杆方向，两质点相对虚位移沿杆的分量受杆长不变限制，成对内力虚功之和为零。整体用两个独立广义坐标描述时，杆内力不必逐点计算。

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拉格朗日函数与拉格朗日方程

对完整、理想约束，且主动力可由势能 $V(q,t)$ 导出（保守系统，或显含时间的势），定义拉格朗日函数

$L(q,\dot{q},t)=T(q,\dot{q},t)-V(q,t)$

其中 $T$ 为动能，用广义坐标与广义速度 $\dot{q}=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ 表示。对单个广义坐标 $q$，拉格朗日方程为

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0$

多个坐标时，每个 $q_k$ 各写一条：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0,\qquad k=1,2,\ldots,s$

推导思路按教材常见顺序可以概括为如下几步，不必一次读完，可与习题穿插消化。第一步，在理想约束下把牛顿第二定律改写成达朗贝尔形式，使主动力与惯性力的合虚功为零。第二步，把各质点的虚位移用广义坐标的独立变分 $\delta q_k$ 线性表出，利用约束消去不独立的分量。第三步，把虚功原理中的求和整理成 $\sum_k Q_k\,\delta q_k$ 的形式，其中 $Q_k$ 与广义力有关；保守力情形 $Q_k=-\partial V/\partial q_k$。第四步，动能项经分部积分后化成含 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial T}{\partial\dot{q}_k}-\dfrac{\partial T}{\partial q_k}$ 的形状，与势能项合并即得拉格朗日方程。第五步，定义 $L=T-V$，在保守系中把方程写成标准形式。课堂时间有限时，可先把上式当作由哈密顿原理或变分法得到的结论，再用大量例题巩固求偏导与对时间求导的顺序；提高阶段再回头补全分部积分与端点条件的细节。

运算时注意：$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 把 $\dot{q}$ 当作独立变量求偏导；求完后再把 $\dot{q}$ 代回为 $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$，对 $t$ 求全导数 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$。

例5： 一维弹簧振子，质量 $m$，弹性系数 $k$，平衡位置为 $x=0$。取 $q=x$，则 $T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$，$V=\dfrac{1}{2}kx^2$，$L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$。计算 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}$，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=m\ddot{x}$，又 $\dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx$，代入拉格朗日方程得 $m\ddot{x}+kx=0$，与牛顿定律一致。

例6： 竖直平面内的数学摆，摆长 $\ell$，质点质量 $m$，广义坐标取摆角 $\theta$（从竖直向下量）。动能 $T=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2$，势能 $V=-mg\ell\cos\theta$（以悬挂点为重力势能零点时常用此形式）。$L=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell\cos\theta$。则 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=m\ell^2\dot{\theta}$，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)=m\ell^2\ddot{\theta}$，$\dfrac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta$，方程为 $m\ell^2\ddot{\theta}+mg\ell\sin\theta=0$，即 $\ddot{\theta}+\dfrac{g}{\ell}\sin\theta=0$。小角近似 $\sin\theta\approx\theta$ 时回到简谐形式。

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全导数展开与求导顺序

许多题目先写出 $L$，再求 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}$，最后对时间求导。若 $L$ 中除了 $\dot{q}$ 还以显式方式含有 $q$，则 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}$ 的表达式里可能仍出现 $q$ 与 $\dot{q}$，对 $t$ 求全导数时就要用链式法则：遇到 $q$ 对 $t$ 求导得 $\dot{q}$，遇到 $\dot{q}$ 对 $t$ 求导得 $\ddot{q}$。算题时不必先背一般的二阶偏导通式，只要把 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}$ 整理成显式，再逐项对 $t$ 求导，出错概率会低很多。

例8： 取 $L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$，有 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}$，其中不出现 $x$，故 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{x})=m\ddot{x}$，拉格朗日方程中不会出现多余的 $\dot{x}^2$ 项。与直接对 $x$ 列牛顿方程的结果一致，可当作求导顺序是否正确的自检。

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哈密顿量与机械能守恒条件

定义哈密顿量

$H=\sum_k \dot{q}_k\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}-L$

有一条常用结论：沿满足拉格朗日方程的真实运动，$\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{\partial L}{\partial t}$。因而当 $L$ 不显含时间 $t$ 时，$H$ 守恒。对常见的自然系统，动能 $T$ 为广义速度的二次齐次式，势能 $V$ 只依赖广义坐标，此时可以证明 $H=T+V$，即机械能守恒。这与“主动力有势、约束不做功”的牛顿图像一致，只是改用 $L$ 是否显含 $t$ 来快速判断。

例9： 数学摆的 $L=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell\cos\theta$ 不显含 $t$，故

$E=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2-mg\ell\cos\theta$

守恒。第二项与势能习惯写法差一个常数不影响守恒性。用牛顿定律分析时，张力与位移垂直不做功，重力有势，同样得到机械能守恒。

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与牛顿表述的配合使用

同一物理问题既可画受力图列牛顿方程，也可写 $T$、$V$ 走拉格朗日方程，得到的关于广义坐标的微分方程应在数学上等价。拉格朗日方法的便利在于坐标选取灵活、理想约束力常可不在方程中出现、守恒量往往从 $L$ 的对称性直接读出；牛顿方法在分析绳张力、支持力大小、摩擦力方向时仍然直观。练习中有意选取少量题目做两种路径对照，有助于建立信心并发现代数错误。

例10： 滑轮与轻绳连接的两质点系统，取绳长差或某一质点高度为单自由度坐标，写出 $T$、$V$ 后得到一条二阶方程；与两侧张力差提供的加速度关系相同。课堂上演算一次完整过程后，可把重点放在“选哪个 $q$ 最省事”上，而不是死记某一种坐标。

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有心力与极坐标下的写法

质量为 $m$ 的质点在平面内运动，只受来自力心的有心力，势能为 $V(r)$，其中 $r$ 为到力心的距离。用极坐标 $r,\varphi$ 作为广义坐标，动能为

$T=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2\right)$

$L=T-V(r)$。对 $\varphi$：$\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi}$，$\dfrac{\partial L}{\partial\varphi}=0$，故

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(mr^2\dot{\varphi}\right)=0$

即角动量 $mr^2\dot{\varphi}$ 守恒。对 $r$ 的拉格朗日方程给出径向运动。具体求导可得

$m\ddot{r}-mr\dot{\varphi}^2=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$

左端第二项在物理上常称为离心项，与转动引起的惯性效果相联系；右端是势能对 $r$ 的导数，给出径向力。把守恒关系 $mr^2\dot{\varphi}=L_z$（常量）代入，可把上式化为只含 $r(t)$ 的二阶方程，或引入有效势能 $V_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\dfrac{L_z^2}{2mr^2}$ 讨论圆轨道稳定性。行星开普勒问题在平方反比引力势下与能量、角动量联立即可定轨道；入门阶段至少掌握“$\varphi$ 不出现在 $L$ 中则 $mr^2\dot{\varphi}$ 守恒”，并能在作业中写出上式形式的径向方程。

例7： 平方反比引力 $V(r)=-\dfrac{GMm}{r}$，写出 $L=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)+\dfrac{GMm}{r}$。由 $\varphi$ 的方程得 $mr^2\dot{\varphi}=L_z$（常数）。径向方程在需要时可化为只含 $r$ 的二阶方程，与天文课中的轨道方程衔接。

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作用量与哈密顿原理（纲要）

定义作用量

$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t$

哈密顿原理表述为：在两端位形 $q(t_1)$、$q(t_2)$ 固定的条件下，真实发生的运动使 $S$ 取驻值，即一阶变分 $\delta S=0$。数学上由此推出欧拉—拉格朗日方程，与前面写出的拉格朗日方程同形。变分法中的分部积分、端点项为零等细节在数学课或理论力学提高段会完整给出；当前阶段可把该原理当作拉格朗日方程的来源之一，把主要精力放在正确写出 $T$、$V$ 与求导运算上。

例11： 一维弹簧振子 $L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$，作用量 $S=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d}t$。对 $x(t)$ 作变分并令 $\delta S=0$，得到的正是 $m\ddot{x}+kx=0$。验算可与例5对照，确认两种入口一致。

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单位制与公式自检

拉格朗日函数 $L$ 在国际单位制中与能量同量纲，单位为焦耳（$\mathrm{J}$），即 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}$。广义动量 $p_q=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}$ 的量纲随 $q$ 而变：若 $q$ 是长度（$\mathrm{m}$），则 $p_q$ 具有动量量纲（$\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$）；若 $q$ 是无量纲角（$\mathrm{rad}$），则 $p_q$ 具有角动量量纲（$\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}$）。方程每一项加减前，应在草稿纸旁用 $\mathrm{kg}$、$\mathrm{m}$、$\mathrm{s}$ 快速扫一遍，减少指数与系数错误。

例12： 摆的 $T=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2$ 中，$m$ 为 $\mathrm{kg}$，$\ell$ 为 $\mathrm{m}$，$\dot{\theta}$ 为 $\mathrm{s}^{-1}$（弧度无量纲），故 $T$ 为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}$，即 $\mathrm{J}$，与势能项 $mg\ell\cos\theta$ 一致，两相减有意义。

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练习题

选择题

1. 关于广义坐标，下列说法正确的是（　　）

A. 广义坐标必须是直角坐标

B. 广义坐标的个数等于系统的自由度数

C. 广义坐标越多，自由度一定越大

D. 完整约束不改变自由度数

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答案：B

广义坐标是描述位形的一组独立变量，其个数等于自由度数。可以是角量、弧长等，A 错误。独立坐标个数固定，多取的坐标若不独立则不成广义坐标组，C 错误。完整约束正是通过减少独立坐标数来体现，D 错误。

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2. 理想约束在拉格朗日方法中的主要作用是（　　）

A. 使动能恒为零

B. 使约束力不出现在以 $T$、$V$ 写出的方程中

C. 保证势能一定与时间无关

D. 使系统必定作匀速直线运动

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答案：B

理想约束的约束力在虚功中不做功，推导中消去约束力，最终只保留 $T$ 与 $V$（或广义力）。动能、势能是否与时间有关及运动形式视具体问题而定。

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3. 保守系统拉格朗日函数 $L=T-V$，拉格朗日方程为 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0$。对一维弹簧振子 $T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$，$V=\dfrac{1}{2}kx^2$，得到的运动方程为（　　）

A. $m\ddot{x}-kx=0$

B. $m\ddot{x}+kx=0$

C. $\dot{x}+kx=0$

D. $m\ddot{x}+k=0$

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答案：B

$\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}$，对时间求导得 $m\ddot{x}$；$\dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx$；方程为 $m\ddot{x}-(-kx)=m\ddot{x}+kx=0$。

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4. 平面极坐标下质点 $L=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-V(r)$，则下列守恒量一定成立的是（　　）

A. $m\dot{r}$

B. $mr^2\dot{\varphi}$

C. $m\dot{\varphi}$

D. $\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2$

显示答案

答案：B

$L$ 不显含 $\varphi$，故 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^2\dot{\varphi}$ 对时间守恒，即角动量大小（与符号约定有关）守恒。其余一般不守恒。

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计算题

计算题侧重把 $T$、$V$ 写成广义坐标形式，再按顺序求偏导与全导数，最后做量纲检查。

5. 质量为 $m$ 的质点限制在光滑水平直线上运动，受势能 $V(x)=\dfrac{1}{2}kx^2$（$k>0$），广义坐标取 $q=x$。写出 $L$，并由拉格朗日方程求出运动方程。

显示答案

解：

$T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$，$V=\dfrac{1}{2}kx^2$，故

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2$

$\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}$，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=m\ddot{x}$；$\dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx$。拉格朗日方程给出 $m\ddot{x}+kx=0$。

量纲：$m\ddot{x}$ 为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$，$kx$ 为 $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{N}$，一致。

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6. 数学摆摆长 $\ell=1.0\ \mathrm{m}$，质点质量 $m=0.50\ \mathrm{kg}$，$g=9.8\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}$。取 $\theta$ 为广义坐标，$T=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2$，$V=-mg\ell\cos\theta$。求 $\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}$、$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)$、$\dfrac{\partial L}{\partial\theta}$，并写出拉格朗日方程（不必解出 $\theta(t)$）。

显示答案

解：

$L=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell\cos\theta$。

$\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=m\ell^2\dot{\theta}$。

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)=m\ell^2\ddot{\theta}$。

$\dfrac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta$。

拉格朗日方程：$m\ell^2\ddot{\theta}+mg\ell\sin\theta=0$，即 $\ddot{\theta}+\dfrac{g}{\ell}\sin\theta=0$。

代入数值得 $\dfrac{g}{\ell}=9.8\ \mathrm{s}^{-2}$。量纲：$m\ell^2\ddot{\theta}$ 与 $mg\ell\sin\theta$ 均为 $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}$，与 $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ 一致，方程两侧同为力矩量纲。