矢量分析与曲线坐标系

许多物理量带有方向，速度、力、电场强度都是如此。流体的温度、气体的压强则只需一个数就能描述。

把这两种量区分清楚，再用统一的记号写出梯度、散度、旋度，就能在直角坐标、柱坐标和球坐标之间切换，并把高斯定理、斯托克斯定理写成紧凑的矢量形式。下面从场与矢量的基本约定出发，逐步过渡到这些工具及其在简单物理问题中的用法。

书写习惯上，位置用 $\vec{r} = x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}$ 表示，单位矢量 $\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$ 相互垂直且长度为 $1$。场量在一点处的取值随该点坐标变化而变化，因此求导时始终把坐标当作自变量，把场量当作因变量，后续梯度、散度、旋度的公式都建立在这一套约定之上。

同一物理对象可以在不同坐标下写出不同形式的方程，但几何关系与守恒律不变。熟练之后，往往先在直角坐标里核对公式与量纲，再按对称性换到柱坐标或球坐标做积分或解微分方程，既减少分量个数，又突出对称性带来的简化。

记号上始终区分“对坐标的偏导”与“对时间的导数”；下面出现的 $\partial/\partial x$ 等均在空间固定、对坐标求导。时间依赖场在后面振动与波、电磁感应等内容中再引入对 $t$ 的偏导，与空间导数配合成完整的场方程。

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标量场、矢量场与常用运算

空间中每一点对应一个数的映射称为标量场，记为 $\phi(x,y,z)$ 或 $\phi(\vec{r})$。每一点对应一个矢量的映射称为矢量场，记为 $\vec{A}(x,y,z)$。电场强度 $\vec{E}$、磁感应强度 $\vec{B}$、流速 $\vec{v}$ 都是矢量场；温度 $T$、电势 $\varphi$ 是标量场。

标量场在一点附近的变化用偏导数描述即可；矢量场有三个分量，每个分量都可以对 $x$、$y$、$z$ 求偏导，因此需要更紧凑的符号把多种导数信息打包成梯度、散度、旋度。在此之前，点积与叉积是构造这些算符的基础。

两个矢量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的点积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 给出投影关系，结果为标量。叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的大小为 $|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$，方向按右手螺旋由 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$ 确定，结果垂直于两者所在平面。点积为零表示垂直，叉积为零表示平行（或有一矢量为零）。

矢量模长 $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ 与分量选取无关，换坐标系时模长不变。点积与叉积的公式在直角坐标中最易计算；换到曲线坐标时，基矢量可能随位置变化，需要区分对分量的导数与对几何方向的导数，因此后续专门给出 $\nabla$、$\nabla \cdot$、$\nabla \times$ 在柱、球坐标中的标准表，避免在弯曲坐标下误用直角分量公式。

例1： 设 $\vec{a} = (1,0,0)$，$\vec{b} = (1,1,0)$（单位均取 $\text{m}$ 仅表示分量无量纲化书写）。点积用分量形式计算：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 1$，与公式 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 一致，此时 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=\sqrt{2}$，$\cos\theta = 1/\sqrt{2}$。叉积用行列式或分量公式得到 $\vec{a} \times \vec{b} = (0,0,1)$。点积刻画 $\vec{b}$ 在 $x$ 轴上的投影长度，叉积给出垂直于 $xy$ 平面的单位方向，在描述力矩、洛伦兹力方向时常用。

分量公式 $(a_x,a_y,a_z) \times (b_x,b_y,b_z) = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)$ 与行列式展开等价，计算时任选其一即可；熟练后对称情形可直接读出非零分量。

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梯度：标量场变化最快的方向

标量场 $\phi$ 的梯度定义为 $\nabla\phi$。在直角坐标中：

$\nabla\phi = \hat{x}\,\frac{\partial\phi}{\partial x} + \hat{y}\,\frac{\partial\phi}{\partial y} + \hat{z}\,\frac{\partial\phi}{\partial z}$

梯度矢量指向 $\phi$ 增长最快的方向，其大小等于该方向上的方向导数最大值。方向导数 $\dfrac{d\phi}{ds}$ 沿单位矢量 $\hat{u}$ 的方向可写成 $\hat{u} \cdot \nabla\phi$，因此沿梯度方向时该点乘取最大值 $|\nabla\phi|$。在势场问题里，电场与电势满足 $\vec{E} = -\nabla\varphi$，即电场指向电势下降最陡的方向，负号与电荷受力方向及电势能变化配套。

等势面是 $\varphi = \text{常数}$ 的曲面；电场线与等势面处处正交，因为沿等势面切向移动时 $\varphi$ 不变，方向导数为零，即切向与 $\nabla\varphi$ 垂直。画图时先画等势线或等势面，再按垂直关系勾电场线，静电问题的几何图像就完整了。

例2： 二维温度场 $T(x,y) = T_0 + \alpha(x^2 + y^2)$，其中 $T_0$、$\alpha$ 为常数，$\alpha > 0$。则

$\frac{\partial T}{\partial x} = 2\alpha x,\quad \frac{\partial T}{\partial y} = 2\alpha y$

故 $\nabla T = 2\alpha(x\,\hat{x} + y\,\hat{y})$。在点 $(x,y)$ 处，梯度沿径向向外，热流若近似满足傅里叶定律 $\vec{q} \propto -\nabla T$，则热量由高温区指向低温区，与梯度反向。等温线是 $x^2+y^2 = \text{常数}$，即同心圆；梯度沿半径方向，与圆周垂直，这与“梯度垂直于等值线”的一般结论一致。

在原点附近梯度为零，标量 $T$ 在该点取极小值（在 $\alpha>0$ 时）；离原点越远，$|\nabla T|$ 越大，温度沿径向上升越快。同一形式的 $x^2+y^2$ 依赖也常见于轴对称问题中只随到轴距离变化的标量场，梯度仍沿径向，等值线仍为同心圆族。

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散度与旋度：源与涡

散度 $\nabla \cdot \vec{A}$ 度量矢量场在某点附近是“向外发散”还是“向内汇聚”。直角坐标下：

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

三项分别是 $x$、$y$、$z$ 方向上场分量沿各自方向的变化率之和；整体为正表示该点附近净“流出”，为负表示净“流入”。静电场高斯定律的微分形式 $\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \varepsilon_0$ 表明：电荷密度 $\rho$ 正是电场的散度源，无电荷处散度为零，电场线在此既不产生也不消失。

旋度 $\nabla \times \vec{A}$ 描述场的旋转性。直角坐标下可写成行列式便于记忆：

$\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$

按第一行展开，得到三个分量，每个分量都是两个偏导数之差。稳恒磁场的 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 说明磁场线无起点无终点；安培环路定理与法拉第定律则把 $\nabla \times \vec{B}$、$\nabla \times \vec{E}$ 与电流、变化磁场联系起来。

例3： $\vec{A} = (x, y, 0)$，三个分量为 $A_x = x$，$A_y = y$，$A_z = 0$。于是 $\partial A_x/\partial x = 1$，$\partial A_y/\partial y = 1$，$\partial A_z/\partial z = 0$，故 $\nabla \cdot \vec{A} = 1 + 1 + 0 = 2$，处处为常正散度，场在 $xy$ 平面内呈均匀扩张状。

例4： $\vec{v} = (-\omega y, \omega x, 0)$ 描写绕 $z$ 轴的刚体式旋转，$\omega$ 为常量。按行列式展开：$(\nabla \times \vec{v})_x = \dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z} = 0$，$(\nabla \times \vec{v})_y = \dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x} = 0$，$(\nabla \times \vec{v})_z = \dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y} = \omega - (-\omega) = 2\omega$。故 $\nabla \times \vec{v} = (0, 0, 2\omega)$，旋度沿轴且大小与角速度同量级，体现涡旋运动。

散度与旋度都是局部量：在某一点取值，由该点邻域内场的变化率决定。整体性质则通过高斯定理、斯托克斯定理转化为大范围的通量与环量。先算微分形式，再积分，是理论力学与电动力学里反复使用的路线。

不可压缩流体的速度场满足 $\nabla \cdot \vec{v} = 0$，表示任意微小体积内净流量为零，流体既不堆积也不抽空，只从一侧流入、从另一侧流出。有源或有汇的流动则对应散度非零的区域，与静电场中有电荷处 $\nabla \cdot \vec{E} \neq 0$ 的图像类似。

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直角、柱坐标与球坐标

柱坐标 $(\rho, \varphi, z)$ 与直角坐标的关系为 $x = \rho\cos\varphi$，$y = \rho\sin\varphi$，$z = z$，其中 $\rho \ge 0$，$0 \le \varphi < 2\pi$。由前两式可得 $\rho^2 = x^2 + y^2$，$\tan\varphi = y/x$，但由 $\tan\varphi$ 反求 $\varphi$ 时必须看 $(x,y)$ 所在象限，单独用反正切函数容易丢掉 $\pi$ 的修正。

球坐标 $(r, \theta, \varphi)$ 常取 $x = r\sin\theta\cos\varphi$，$y = r\sin\theta\sin\varphi$，$z = r\cos\theta$，其中 $r \ge 0$，$\theta$ 为与 $z$ 轴夹角，$\varphi$ 为方位角。径向距离 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 与柱坐标下 $\rho$ 的关系为 $r^2 = \rho^2 + z^2$。

柱坐标体积元中的因子 $\rho$ 来自 $\rho\,d\varphi$ 与 $d\rho$ 所张成的面积元；球坐标中的 $r^2\sin\theta$ 把微小盒子的三条边长乘在一起，在积分算体积或质量时直接代入即可。

从直角到柱、到球的变换，本质是同一空间点的三种参数化；画图时把 $\rho$ 看成 $xy$ 平面内的极径，把 $r$ 看成到原点的直线距离，把 $\theta$ 看成与 $z$ 轴的夹角，就不易混淆。线元长度在柱坐标中为 $ds^2 = d\rho^2 + \rho^2 d\varphi^2 + dz^2$，在球坐标中为 $ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2$，需要弧长或动能表达式时可直接引用。

例5： 点 $P$ 的直角坐标为 $(1, 1, 0)$。则 $\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2}$，$\varphi = \arctan(y/x) = \pi/4$，$z = 0$，柱坐标为 $(\sqrt{2}, \pi/4, 0)$。又 $r = \sqrt{2}$，$\theta = \pi/2$（在 $xy$ 平面内），球坐标为 $(\sqrt{2}, \pi/2, \pi/4)$。轴对称问题常用柱坐标，点电荷、球壳问题常用球坐标，可少算一个或两个分量。

代回验证：$x = r\sin\theta\cos\varphi = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$，$y = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$，$z = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$，与直角坐标一致。$\theta = \pi/2$ 时 $\cos\theta = 0$，$z = r\cos\theta$ 自然为零，说明点落在赤道平面上。

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高斯定理与斯托克斯定理（矢量形式）

高斯定理（散度定理）把闭曲面积分与体积分联系起来：

$\oiint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A})\,dV$

左侧是矢量场穿过闭曲面 $S$ 的通量，面积元 $d\vec{S}$ 的方向取外法向；右侧是散度在 $S$ 所围体积 $V$ 内的积累。静电学中用它由对称电荷分布求 $\vec{E}$ 十分有效：先由对称性判断 $\vec{E}$ 的方向与大小在面上的取值，再把 $\vec{E} \cdot d\vec{S}$ 对整个闭面积分，与体内总电荷联系起来。

斯托克斯定理把曲面积分与边界曲线积分联系起来：

$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{S}$

左侧是 $\vec{A}$ 沿闭曲线 $C$ 的环量，线元 $d\vec{l}$ 的方向与 $C$ 的走向一致；右侧是旋度穿过以 $C$ 为边界的曲面 $S$ 的通量。曲面 $S$ 的法向与 $C$ 的走向仍由右手定则配合：四指沿 $C$ 方向弯曲时，大拇指指向 $d\vec{S}$ 的正方向。同一边界 $C$ 可以张成不同曲面，定理保证只要 $S$ 以 $C$ 为边界，积分值相同。

例6： 半径为 $R$ 的球面，球心有点电荷 $q$，球面上各点电场大小均为 $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{R^2}$，方向沿径向与外法向一致。于是 $\vec{E} \cdot d\vec{S} = E\,dS$，通量 $\Phi_E = \displaystyle\oiint_S E\,dS = E \cdot 4\pi R^2$。代入 $E$ 得 $\Phi_E = q/\varepsilon_0$，与高斯定理给出的体积分结果一致；体积分中散度仅在点电荷位置奇异，整体仍给出同一通量。

该结果与球半径 $R$ 无关：只要闭曲面把点电荷包在内部，电通量恒为 $q/\varepsilon_0$。电荷在曲面外时，穿入与穿出的通量抵消，总通量为零。斯托克斯定理一侧的典型用法是：已知 $\nabla \times \vec{A}$ 在曲面上的分布，通过选简单曲面（如平面圆盘）把环量化为面积分；另一侧则是沿边界逐段计算线积分作检验。

两式都把“局部微分信息”与“整体积分信息”连成一体：高斯定理看闭曲面内外通量与体内源强；斯托克斯定理看曲面边缘环量与面上旋度分布。实际解题时常先判断对称性，再选高斯面或安培回路，最后把面积分或线积分化为代数运算。

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拉普拉斯算符在不同坐标中的形式（查阅用）

拉普拉斯算符 $\nabla^2$ 对标量场定义为散度的梯度：$\nabla^2\phi = \nabla \cdot (\nabla\phi)$。直角坐标：

$\nabla^2\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$

把 $\nabla\phi$ 的三个分量依次代入散度公式，二阶混合导数在 $\phi$ 足够光滑时会相互抵消或合并，最终只剩下三个纯二阶偏导之和。光滑性指 $\phi$ 在所讨论区域内连续且所需阶偏导存在并连续；物理上常见的势函数在电荷、质量分布之外一般都满足这一条件。柱坐标与球坐标下表达式较长，但在解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi = 0$ 或泊松方程时必不可少。下面给出标准形式供直接代入计算。

轴对称且与 $z$ 无关的柱坐标问题中，$\partial/\partial\varphi = 0$，式子明显简化；球对称时 $\phi$ 仅依赖 $r$，则 $\nabla^2\phi = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^2\dfrac{d\phi}{dr}\right)$。展开导数还可写成 $\dfrac{d^2\phi}{dr^2} + \dfrac{2}{r}\dfrac{d\phi}{dr}$，在求点电荷电势或引力势时经常遇到。

泊松方程 $\nabla^2\phi = -4\pi G\rho_m$（引力）或静电中的 $\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon_0$ 在球对称情形下都退化为对 $r$ 的常微分方程，先积出通解，再用边界条件定常数。柱坐标下若仅与 $\rho$ 有关，拉普拉斯算符化为 $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{d}{d\rho}\!\left(\rho\dfrac{d\phi}{d\rho}\right)$，与均匀带电长直线的电势问题对应。

用直角坐标验算：$\phi = x^2 + y^2 + z^2$ 时 $\partial^2\phi/\partial x^2 = 2$，三项相加得 $\nabla^2\phi = 6$。换到球对称写法 $\phi = r^2$，代入 $\nabla^2\phi = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}(r^2 \dfrac{d\phi}{dr})$，其中 $d\phi/dr = 2r$，$r^2 \cdot 2r = 2r^3$，再对 $r$ 求导得 $6r^2$，除以 $r^2$ 仍为 $6$，与直角坐标结果一致，可用来检查坐标公式是否抄错。

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练习题

选择题

1. 下列关于梯度 $\nabla\phi$ 的说法，正确的是（　　）

A. 梯度方向总是标量场 $\phi$ 下降最快的方向

B. 梯度的大小等于 $\phi$ 在空间中的最大值

C. 梯度方向是 $\phi$ 增长最快的方向，其模等于该方向的方向导数

D. 梯度与等值面平行

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答案：C

梯度指向 $\phi$ 增加最快的方向，且该方向上的方向导数等于 $|\nabla\phi|$。静电学中 $\vec{E} = -\nabla\varphi$，电场沿电势降低方向，故选项 A 把符号说反。梯度大小是局部变化率，不是场的全局最大取值，B 错误。梯度垂直于等值面，D 错误。

方向导数沿任意 $\hat{u}$ 为 $\hat{u}\cdot\nabla\phi$，由柯西—施瓦茨不等式 $|\hat{u}\cdot\nabla\phi| \le |\nabla\phi|$，等号当且仅当 $\hat{u}$ 与 $\nabla\phi$ 同向或反向时成立，故增长最快方向必沿 $\nabla\phi$。

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2. 直角坐标下，矢量场 $\vec{A} = (x, y, z)$ 的散度 $\nabla \cdot \vec{A}$ 为（　　）

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

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答案：D

$\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$。

该场 $\vec{A}$ 沿径向从原点向外增长，$x$、$y$、$z$ 三个方向分量各自随坐标线性增大，三个方向偏导各贡献 $1$，合起来散度处处为常数 $3$，与位置无关。

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3. 对稳恒磁场 $\vec{B}$，下列恒成立的是（　　）

A. $\nabla \times \vec{B} = 0$ 处处成立

B. $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 处处成立

C. $\nabla \cdot \vec{B} = \mu_0 \rho_m$，$\rho_m$ 为磁荷密度

D. $\vec{B}$ 必为保守场

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答案：B

磁场无源，磁感应线闭合，故 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$。有电流处 $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$，一般不为零，A 错误。不存在磁单极磁荷的标准表述，C 错误。有旋场一般不是保守场，D 错误。

稳恒情形麦克斯韦方程组中 $\nabla\cdot\vec{B}=0$ 与 $\nabla\times\vec{H}=\vec{J}$（真空下 $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$）配套；散度恒为零是对磁场源结构的总体约束，不因是否有电流而改变。

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4. 高斯定理 $\displaystyle\oiint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A})\,dV$ 中，曲面 $S$ 与体积 $V$ 应满足的关系是（　　）

A. $S$ 为任意开曲面，$V$ 为 $S$ 一侧的任意区域

B. $S$ 为闭曲面，$V$ 为 $S$ 所包围的体积，且法向通常取外法向

C. $S$ 与 $V$ 无必然关系

D. $S$ 必须是平面

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答案：B

散度定理要求 $S$ 为闭曲面，$V$ 为其内部区域，通量积分用外法向与体积分中的散度配套。开曲面适用于斯托克斯定理与曲面积分，不直接套此闭曲面积分形式。

若误把开曲面当作闭曲面使用，就没有唯一确定的“内部体积”，通量与体积分之间的恒等关系也失去意义。外法向约定保证“流出为正”，与体积分中散度的符号约定一致。

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计算题

计算题侧重分步求偏导、代入数值与单位自检；选择题侧重概念辨析与定理条件。完成后可把梯度、散度、旋度的结果代回原场，检查量纲与对称性是否与题设一致。

书写答案时保持矢量分量顺序与题中坐标轴约定一致，避免符号差错。

5. 标量场 $\phi(x,y,z) = x^2 y + z$，求 $\nabla\phi$，并求点 $(1, 2, 0)$ 处梯度的模。

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解：

对 $x$ 求偏导时把 $y$、$z$ 看作常数，得 $\dfrac{\partial\phi}{\partial x} = 2xy$。对 $y$ 求偏导时把 $x$、$z$ 看作常数，得 $\dfrac{\partial\phi}{\partial y} = x^2$。对 $z$ 求偏导得 $\dfrac{\partial\phi}{\partial z} = 1$。故

$\nabla\phi = 2xy\,\hat{x} + x^2\,\hat{y} + \hat{z}$

在 $(1, 2, 0)$ 处代入 $x=1$、$y=2$、$z=0$：$\nabla\phi = 4\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}$。模长用勾股定理：

$|\nabla\phi| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

量纲上若 $x,y,z$ 以 $\text{m}$ 计，$\phi$ 以 $\text{V}$ 计，则梯度单位为 $\text{V/m}$，与电场强度单位一致。

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6. 用柱坐标表示，点 $P$ 的直角坐标为 $(0, 3, 4)$。求 $\rho$、$\varphi$（取 $0 \le \varphi < 2\pi$）及 $z$；并求该点到原点距离 $r$（球坐标中的径向距离）。

显示答案

解：

柱坐标径向距离在 $xy$ 平面内量度：$\rho = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0 + 9} = 3\ \text{m}$（长度单位仅示意）。

方位角 $\varphi$：$x=0$ 且 $y=3>0$，点落在 $y$ 轴正半轴，故 $\varphi = \pi/2$，不能用 $\arctan(y/x)$ 的单一主值公式机械代入，需按象限判定。

$z$ 与直角坐标相同：$z = 4\ \text{m}$。

球坐标径向距离 $r = \sqrt{\rho^2 + z^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{m}$，与 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 一致，说明两套公式配套。