哈密顿力学

拉格朗日方法用广义坐标 $q$ 与广义速度 $\dot{q}$ 写出标量 $L$，得到关于 $q(t)$ 的二阶微分方程。哈密顿方法则引入与 $\dot{q}$ 共轭的广义动量 $p$，把方程改写成关于 $q$ 与 $p$ 的一阶方程组，形式对称，便于讨论守恒量与几何图像。下面按顺序说明广义动量、哈密顿量的写法、正则方程、相空间与刘维尔定理的定性含义，以及泊松括号在判断守恒量时的用法。难度控制在理论力学入门课常见范围，计算以单自由度与可分离的简例为主，并与已学过的能量、动量表述对照。

阅读时建议手算一遍谐振子从 $L$ 到 $H$ 的代入，核对 $\dot{q}=\partial H/\partial p$、$\dot{p}=-\partial H/\partial q$ 是否回到牛顿方程。符号约定（广义动量的定义、势能零点）需与作业或教材统一，否则 的表达式可能差常数项，但运动方程不变。

广义动量与哈密顿量的构成

对完整理想约束且主动力有势 $V(q,t)$ 的系统，拉格朗日函数 $L(q,\dot{q},t)=T-V$。广义动量定义为

$p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}$

单自由度时如此；多自由度时对每个 $q_k$ 有 $p_k=\partial L/\partial\dot{q}_k$。哈密顿量由勒让德变换给出：

$H(q,p,t)=\sum_k p_k\dot{q}_k-L(q,\dot{q},t)$

式中的 $\dot{q}_k$ 需用 $q$、$p$、$t$ 从 $p_k=\mathrm{\partial }L\mathrm{/}\mathrm{\partial }{\stackrel{}{}}_{}$ 反解出来再代入。对常见的自然系统：动能 为广义速度的二次齐次式，势能 只依赖 （及必要时 ），且约束不显含时间时，可以证明这样得到的 等于机械能 。有非定常约束或显含时间的势时， 的物理意义要单独分析，入门阶段先掌握定常、保守情形。

例1： 一维弹簧振子，$L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$。则 ，故 。代入得

$H=p\cdot\frac{p}{m}-\left(\frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2-\frac{1}{2}kx^2\right)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2$

与动能加势能一致。单位：$p^2/(2m)$ 为 $\mathrm{J}$，$\dfrac{1}{2}kx^2$ 为 。

例2： 平面数学摆，$L=\dfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell\cos\theta$（势能零点取法与教材一致）。，。经代数整理，

$H=\frac{p_\theta^2}{2m\ell^2}-mg\ell\cos\theta$

定常情形下 $H$ 即机械能（表达式中常数项与势能零点有关）。

哈密顿正则方程

在完整理想约束、主动力有势的前提下，真实运动满足哈密顿正则方程。单自由度写法为

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

多自由度时对每个 $k$：

$\dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k},\qquad \dot{p}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}$

方程为 $2s$ 个一阶常微分方程，与拉格朗日得到的 $s$ 个二阶方程等价。运算时把 $H(q,p,t)$ 中的 $q$ 与 $p$ 当作独立变量求偏导，再沿真实轨道代入 $q(t)$、 对时间求导。

例3： 对例1的 $H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$，有 ，。由 对时间求导得 ，与牛顿定律一致。

例4： 质量为 $m$ 的质点作一维自由运动，$V=0$，$L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$，，。正则方程给出 ，，故 为常量， 为常量，匀速直线运动。

哈密顿量随时间的变化

沿真实轨道，哈密顿量对时间的全导数满足

$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial t}$

证明思路在教材中由链式法则与正则方程合并得到，此处记住结论即可。当 $H$ 不显含时间 $t$ 时，$\partial H/\partial t=0$，故 $H$ 为守恒量；定常保守系统且 $H=T+V$ 时，即机械能守恒。拉格朗日侧有 ，与上式对应。

例5： 某一模型中取 $H$ 含有 $\cos\omega t$ 这类显式时间因子，$\partial H/\partial t$ 一般不为零，$H$ 沿轨道变化，能量可与外界交换。入门作业仍以不显含 $t$ 的 $H$ 为主。

相空间与刘维尔定理（定性）

以每个广义坐标 $q_k$ 与对应广义动量 $p_k$ 为轴，构成 $2s$ 维相空间。系统在某一时刻的状态用相空间里的一点表示，随时间演化画出一条轨迹。单自由度谐振子在 $(x,p)$ 平面上，能量取定值时轨迹为闭合曲线（椭圆），不同能量对应不同椭圆。

刘维尔定理指出：保守哈密顿系统随时间演化时，相空间中任一随代表点一起运动的区域体积（在 $(q,p)$ 坐标下由 $\prod_k \mathrm{d}q_k\mathrm{d}p_k$ 定义的体积元）保持不变。直观上可把这种演化比作不可压缩流体的流动：代表点既不相撞重叠，也不留下空洞，整体占据的相体积守恒。定理的严格证明用到正则变换或散度形式，提高课程会讲；当前阶段掌握“哈密顿流保持相体积”这一图像即可，用于理解统计物理里系综密度沿轨迹不变的提法。

例6： 阻尼振动在牛顿力学中有摩擦力，能量不断损失，相轨迹向原点盘旋，相面积不守恒；哈密顿形式描述的是无耗散的理想模型，刘维尔定理对哈密顿系统成立。二者对照有助于区分“理想哈密顿模型”与“含耗散的实际系统”。

谐振子总能量 $E=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$ 取定值时， 平面上是一条椭圆。把它写成 的标准形式，可得 ，。能量越大，椭圆在 与 两个方向上都越“胖”，但不同能量的椭圆彼此不相交，代表点始终留在给定 的那条闭合曲线上。

周期运动在相空间中的轨迹闭合，与能量守恒、$H$ 不显含 $t$ 相对应。多自由度可积系统会出现高维环面等更丰富的几何，提高课程再系统学习。

泊松括号与守恒量

两个力学量 $f(q,p,t)$、$g(q,p,t)$ 的泊松括号定义为

$\{f,g\}=\sum_k\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial g}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial q_k}\right)$

单自由度时 $\{f,g\}=\dfrac{\partial f}{\partial q}\dfrac{\partial g}{\partial p}-\dfrac{\partial f}{\partial p}\dfrac{\partial g}{\partial q}$。基本关系 。沿哈密顿轨道的运动方程可写成 。在 不显含 且 时， 为守恒量。

例7： 一维谐振子 $H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$。取 ，，（同一函数与自身作泊松括号得零），故 ，能量守恒。再取 ，有

$\{p,H\}=\frac{\partial p}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial p}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial x}=0-1\cdot kx=-kx$

沿轨道 $\dot{p}=-\partial H/\partial x=-kx$，与 $\dot{f}=\{f,H\}$（ 不显含 ）一致。日常算题用正则方程写 往往更快捷。

与拉格朗日表述的对照及计算习惯

同一力学问题既可从 $L$ 出发求欧拉—拉格朗日方程，也可经 $p=\partial L/\partial\dot{q}$ 换到 $H$ 写正则方程，数学上等价。拉格朗日侧适合写约束与选取坐标；哈密顿侧适合讨论相空间几何、守恒量与某些量子化前的经典骨架。作业中可任选其一，但以题目指定形式为准。

练习题

选择题

1. 由拉格朗日函数 $L(q,\dot{q})$ 定义广义动量 $p=\partial L/\partial\dot{q}$，对一维自由质点 $L$，则 等于（　　）

A. $m\ddot{x}$

B. $m\dot{x}$

C. $\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$

D. $kx$

2. 一维谐振子哈密顿量 $H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$，由正则方程得到的 为（　　）

A. $-kx$

B. $\dfrac{p}{m}$

C. $m p$

D. $\dfrac{k x}{m}$

3. 哈密顿量 $H$ 不显含时间 $t$ 时，沿真实轨道有（　　）

A. $\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}$ 必为零

B. $\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}$ 必不为零

C. 广义动量 $p$ 必为零

D. 动能必为零

4. 关于刘维尔定理的适用对象，下列说法正确的是（　　）

A. 任意力学系统相体积都守恒

B. 理想哈密顿系统（无耗散）在相空间演化中保持相体积

C. 有阻尼的振子一定满足相体积守恒

D. 只适用于量子系统

计算题

5. 质量为 $m$ 的质点沿 $x$ 轴运动，势能 $V(x)=\dfrac{1}{2}kx^2$（$$）。写出 、广义动量 、哈密顿量 ，并由正则方程导出关于 的二阶方程。

6. 已知 $H=\dfrac{p^2}{2m}+mgx$（一维，重力势能 $V=mgx$，、 为常量）。求 、，并说明 随时间是否守恒。

$H=p\cdot\frac{p}{m}-L=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2$

$\dot{x}=\partial H/\partial p=p/m$，$\dot{p}=-\partial H/\partial x=-kx$。对第一式求导 $\ddot{x}=\dot{p}/m=-k x/m$，即 $m\ddot{x}+kx=0$。

量纲：$m\ddot{x}$ 与 $kx$ 均为 $\mathrm{N}$。

$\dot{p}=-mg\neq 0$（常量非零），故 $p$ 随时间线性变化，不守恒；动量变化率等于恒定的重力。$\dot{x}=p/m$ 随 $p$ 变化，即匀加速运动 $\ddot{x}=-g$（坐标正向与势能写法须与题设一致；此处按题给 $H$ 直接求导）。

由 $\dot{p}=-mg$ 得 $p(t)=p_0-mgt$，$\dot{x}=p/m$ 得 $x(t)=x_0+\dfrac{p_0}{m}t-\dfrac{1}{2}gt^2$，与匀加速公式一致。

量纲：$mg$ 为 $\mathrm{N}$，与 $\dot{p}$ 一致。