振动与波的深入分析
弹簧振子与单摆在无阻尼的理想情况下，能量于动能与势能间相互转换，振幅保持恒定。实际系统中总会存在摩擦、黏滞或辐射等能量损耗，振动随时间逐渐衰减；如果再施加周期性驱动力，在特定频率下可显著放大振幅，形成共振现象。周期信号通常可视为若干正弦函数的叠加，而波在介质中传播时，频率与波长的关系还衍生出相速度和群速度两个不同物理量。
下文将依次介绍“阻尼—受迫—叠加—波速”几个方面，每一部分都配有表格与算例，以便帮助理解与自我检验。
阻尼振动与三种典型情形
质量为 m m m x x x − k x -kx − k x − c x ˙ -c\dot{x} − c x ˙ c > 0 c>0 c > 0
m x ¨ + c x ˙ + k x = 0 m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0 m x ¨ + c x ˙ + k x = 0
引入固有角频率 ω 0 = k / m \omega_0=\sqrt{k/m} ω 0 = k / m γ = c / ( 2 m ) \gamma=c/(2m)
x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2 x=0 x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0
设试探解 x = e λ t x=\mathrm{e}^{\lambda t} x = e λ t λ 2 + 2 γ λ + ω 0 2 = 0 \lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0 λ 2 + 2 γλ + ω
λ 1 , 2 = − γ ± γ 2 − ω 0 2 \lambda_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} λ 1 , 2 = − γ ± γ 2 − ω
欠阻尼时常写 ω d = ω 0 2 − γ 2 \omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} ω d = ω 0 2 − γ 2
x ( t ) = e − γ t ( A cos ω d t + B sin ω d t ) x(t)=\mathrm{e}^{-\gamma t}\bigl(A\cos\omega_{\mathrm{d}} t+B\sin\omega_{\mathrm{d}} t\bigr) x ( t ) = e − γ t ( A cos ω d t + B
其中 A , B A,B A , B ω d \omega_{\mathrm{d}} ω d ω 0 \omega_0 ω 0 ω d \omega_{\mathrm{d}} ω
例1： m = 0.50 k g m=0.50\ \mathrm{kg} m = 0.50 kg k = 8.0 N ⋅ m − 1 k=8.0\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} k = 8.0 N ⋅ m − 1 c = 1.0 k g ⋅ s − 1 c=1.0\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}
例2： 临界阻尼条件为 c c r = 2 m k c_{\mathrm{cr}}=2\sqrt{mk} c cr = 2 mk c c r = 2 0.50 × 8.0 = 4.0
判断三类阻尼时先看 γ \gamma γ ω 0 \omega_0 ω 0
受迫振动与共振的定量关系
在阻尼振子基础上加简谐驱动力 F 0 cos ω t F_0\cos\omega t F 0 cos ω t F 0 F_0 F 0 ω \omega ω
m x ¨ + c x ˙ + k x = F 0 cos ω t m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos\omega t m x ¨ + c x ˙ + k x = F 0 cos ω t
长时间以后，暂态衰减殆尽，稳态解与驱动力同频，可写成 x ( t ) = A cos ( ω t − φ ) x(t)=A\cos(\omega t-\varphi) x ( t ) = A cos ( ω t − φ ) A A A φ \varphi φ ω \omega ω ω 0 \omega_0
A ( ω ) = F 0 / m ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 A(\omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}} A ( ω ) = ( ω 0 2 − ω
小阻尼下共振峰出现在 ω \omega ω ω 0 \omega_0 ω 0 γ \gamma γ Q ≈ ω 0 / ( 2 γ ) Q\approx\omega_0/(2\gamma) Q ≈ ω 0
稳态解 x = A cos ( ω t − φ ) x=A\cos(\omega t-\varphi) x = A cos ( ω t − φ ) φ \varphi φ ω \omega ω ω 0 \omega_0 ω 0
例3： F 0 / m = 0.40 m ⋅ s − 2 F_0/m=0.40\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} F 0 / m = 0.40 m ⋅ s − 2 ω 0 = 10 r a d ⋅ s − 1 \omega_0=10\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} ω
例4： 同一系统，改 ω = 5 r a d ⋅ s − 1 \omega=5\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} ω = 5 rad ⋅ s − 1 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 = ( 100 − 25 ) 2 = 75 2 = 5625 (\omega_0^2-\omega^2)^2=(100-25)^2=75^2=5625 ( ω 0
稳态振幅公式分母在 ω \omega ω ω 0 \omega_0 ω 0
暂态与稳态及共振曲线的带宽（入门）
总位移可写成齐次方程对应的暂态部分与特解代表的稳态部分之和。暂态项含有 e − γ t \mathrm{e}^{-\gamma t} e − γ t 1 / γ 1/\gamma 1/ γ A cos ( ω t − φ ) A\cos(\omega t-\varphi) A cos ( ω t − φ )
小阻尼共振峰的“尖锐程度”与带宽互为表里：Q Q Q ω \omega ω Δ ω \Delta\omega Δ ω Q Q Q Δ ω ∼ ω 0 / Q \Delta\omega\sim\omega_0/Q Δ ω ∼ ω 0
周期运动与谐波叠加（入门）
任一周期为 T T T f ( t ) f(t) f ( t ) n ω 1 n\omega_1 n ω 1 ω 1 = 2 π / T \omega_1=2\pi/T ω 1
方波、锯齿波等常见测试信号展开后，高频项系数往往随 n n n
例5： 对称方波只含奇次正弦项，基波频率为 ω 1 \omega_1 ω 1 f ( t ) ≈ a 1 sin ω 1 t + a 3 sin 3 ω 1 t f(t)\approx a_1\sin\omega_1 t+a_3\sin 3\omega_1 t f ( t ) ≈ a 1 sin ω
例6： 钢琴同一音高的不同琴键力度产生不同谐波强度，人耳分辨的是基频加谐波包络，与傅里叶思想一致，但不必在作业中手算每个系数。
把复杂振动看成简单正弦叠加，既便于分析共振（哪个频率成分被放大），也便于实验上用滤波器逐个频率测量。
色散关系与相速度、群速度
单色简谐波常写为 cos ( k x − ω t ) \cos(kx-\omega t) cos ( k x − ω t ) k = 2 π / λ k=2\pi/\lambda k = 2 π / λ ω \omega ω ω \omega ω k k
v p = ω k v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega}{k} v p = k ω
表示等相位面沿传播方向推进的速度。群速度定义为
v g = d ω d k v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} v g = d k d ω
表示波包（有限长脉冲）整体能量或信息传播的典型速度。无色散时 ω = v k \omega=vk ω = v k v v v v p = v g = v v_{\mathrm{p}}=v_{\mathrm{g}}=v v p = v g
例7： 设 ω = α k 2 \omega=\alpha k^2 ω = α k 2 α \alpha α v p = α k v_{\mathrm{p}}=\alpha k v p = α k
例8： 浅水长波近似 v p ≈ g h v_{\mathrm{p}}\approx\sqrt{gh} v p ≈ g h h h h
群速度在吸收很强或反常色散区域可能超出初等模型范围；入门题以实数 ω ( k ) \omega(k) ω ( k )
公式对照与量纲自检
稳态振幅与阻尼分类的演算顺序
受迫振动稳态振幅的数值计算，建议按固定顺序操作：先统一单位为 k g \mathrm{kg} kg m \mathrm{m} m s \mathrm{s} s N \mathrm{N} N r a d ⋅ s − 1 \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} rad ⋅ s − 1
练习题
选择题
1. 方程 x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2 x=0 x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0
A. 单调回到平衡，无振荡
B. 振幅按指数衰减的振荡
C. 振幅随时间线性增长
D. 解恒为零
答案：B
此时特征根为共轭复根，实部为 − γ < 0 -\gamma\lt 0 − γ < 0 ω d = ω 0 2 − γ 2 \omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} ω d = ω 0
2. 临界阻尼条件用 m m m c c c k k k
A. c = 2 m k c=2\sqrt{mk} c = 2 mk
B. c = m k c=\sqrt{mk} c = mk
C. c = m k / ω 0 c=mk/\omega_0 c = mk / ω 0
D. c = k / m c=k/m c = k / m
答案：A
特征方程判别式为零给出 ( c / 2 m ) 2 = k / m (c/2m)^2=k/m ( c /2 m ) 2 = k / m c 2 = 4 m k c^2=4mk c 2 = 4 mk c = 2 m k c=2\sqrt{mk}
3. 受迫振动稳态振幅 A ( ω ) A(\omega) A ( ω ) ω \omega ω ω 0 \omega_0 ω 0
A. 驱动力频率与固有频率合拍，能量持续输入
B. 阻尼在该频率为零
C. 弹性系数 k k k
D. 质量在该频率变为零
答案：A
共振附近驱动力与振子速度相位关系使一个周期内净功为正，振幅增大；阻尼仍存在，只是与驱动力平衡在较大振幅。k k k m m m
4. 色散介质中 ω = α k 2 \omega=\alpha k^2 ω = α k 2 α > 0 \alpha\gt 0 α > 0 v p v_{\mathrm{p}} v p
A. v g = v p v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}} v g = v p
B. v g = 2 v p v_{\mathrm{g}}=2v_{\mathrm{p}} v g = 2 v p
C. v p = 2 v g v_{\mathrm{p}}=2v_{\mathrm{g}} v p = 2 v g
D. v g = 0 v_{\mathrm{g}}=0 v g = 0
答案：B
v p = ω / k = α k v_{\mathrm{p}}=\omega/k=\alpha k v p = ω / k = α k v g = d ω / d k = 2 α k v_{\mathrm{g}}=\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k=2\alpha k v g
计算题
5. 已知 m = 0.20 k g m=0.20\ \mathrm{kg} m = 0.20 kg k = 5.0 N ⋅ m − 1 k=5.0\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} k = 5.0 N ⋅ m − 1 c = 0.60 k g ⋅ s − 1 c=0.60\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}
解：
ω 0 = k / m = 5.0 / 0.20 = 25 = 5.0 r a d ⋅ s − 1 \omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{5.0/0.20}=\sqrt{25}=5.0\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} ω 0 = k / m
6. 受迫振动中 F 0 / m = 0.50 m ⋅ s − 2 F_0/m=0.50\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} F 0 / m = 0.50 m ⋅ s − 2 ω 0 = 8.0 r a d ⋅ s − 1 \omega_0=8.0\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} ω
解：
A = F 0 / m ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 A=\dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}} A = ( ω 0 2 − ω
