流体力学基础

水从高处流向低处，飞机能在空中飞行，潜水艇可以在水下任意深度停留——这些现象背后都涉及流体运动的规律。流体包括液体和气体，与固体最根本的区别在于：流体没有固定形状，在外力作用下会连续变形流动。理解流体力学的基本规律，是航空、水利、医学等众多工程领域的基础。

流体的基本性质

描述流体运动，首先要了解密度和理想流体这两个基本概念。

密度 $\rho$ 是单位体积内流体的质量：

$\rho = \frac{m}{V}$

单位为 kg/m³。水的密度约为 1000 kg/m³，空气在标准状态下约为 1.29 kg/m³。

实际流体都有一定的粘性和可压缩性，使问题变得复杂。为了抓住主要规律，物理学中引入理想流体的概念：理想流体是指不可压缩（密度不随压强变化）、无粘性（流层之间无内摩擦力）的流体模型。液体在低速流动时近似满足这些条件；气体在速度远小于声速时也可近似视为不可压缩流体。

理想流体是物理学中常用的简化模型。水在常温常压下几乎不可压缩，用理想流体模型处理其低速流动误差极小。空气在低速（远小于音速 340 m/s）时同样可近似作不可压缩处理。

流体静压强与帕斯卡定律

静止流体内部任意一点都受到来自各方向的压强，称为流体静压强。在均匀重力场中，静止液体内深度为 $h$ 处的压强为：

$p = p_0 + \rho g h$

式中 $p_0$ 是液面上方的压强（大气压）， $\rho$ 是液体密度， $h$ 是该点距液面的深度。

这说明：液体内部压强随深度线性增大；同一深度处，各方向压强相等。

帕斯卡定律：密闭流体内，在任一点施加的压强变化，会等大地传递到流体各处。对于液压系统，两个活塞处压强相等：

$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$

液压千斤顶正是利用帕斯卡定律工作的：在面积小的活塞上施加较小的力，通过液体传递，在面积大的活塞上产生很大的力。

例题一：液压机小活塞面积 $A_1 = 10 \text{ cm}^2 = 10 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ，大活塞面积 $A_2 = 200 \text{ cm}^2 = 200 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ，在小活塞上施加 $F_1 = 50$ N 的力，求大活塞上的力。

由帕斯卡定律，两活塞处压强相等：

$F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 50 \times \frac{200}{10} = 1000 \text{ N}$

小力通过液压放大 20 倍，变成 1000 N 的推力。

液压装置广泛应用于汽车制动系统、液压剪切机、挖掘机等工程机械中。力的放大倍数等于活塞面积之比，而小活塞移动的距离更大，能量守恒始终成立。

连续性方程

流体在管道中流动时，若管道截面积发生变化，流速也会随之改变。连续性方程描述了截面积与流速的关系。

对于稳定流动的不可压缩理想流体，单位时间内流过管道任意截面的体积必须相等（否则流体会在某处积累或消失）。设某截面面积为 $A$ ，流速为 $v$ ，则单位时间内通过该截面的体积流量 $Q = Av$ 。由此得到连续性方程：

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q \text{（常数）}$

式中 $A_1$ 、 $A_2$ 是管道不同位置的截面积， $v_1$ 、 $v_2$ 是对应位置的流速， $Q$ 是体积流量（单位 m³/s）。

连续性方程揭示：管道截面积越小的地方，流速越大；截面积越大的地方，流速越小。这正是河流在窄处湍急、宽处平缓的原因。

例题二：水管从截面积 $A_1 = 4 \times 10^{-4}$ m² 的粗管流向截面积 $A_2 = 1 \times 10^{-4}$ m² 的细管，粗管处水速 $v_1 = 0.5$ m/s，求细管处的水速。

由连续性方程：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{4 \times 10^{-4} \times 0.5}{1 \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$

截面积缩小为原来的 $\dfrac{1}{4}$ ，流速增大为原来的 4 倍。

伯努利方程

连续性方程告诉了截面积与流速的关系，但流速变化的同时，压强也会随之变化。伯努利方程揭示了流速与压强之间的关系。

对理想流体在管道中的稳定流动，应用功能定理（能量守恒定律），可以推导出：

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数}$

这就是伯努利方程。式中 $p$ 是该处流体的压强， $\dfrac{1}{2}\rho v^2$ 称为动压强， $\rho g h$ 是与高度相关的重力势能项， $h$ 是该点相对参考面的高度。

对管道中两个截面，伯努利方程写为：

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

伯努利方程本质上是流体的能量守恒定律： $\dfrac{1}{2}\rho v^2$ 代表单位体积流体的动能， $\rho g h$ 代表单位体积流体的重力势能， $p$ 代表压强势能（流体做功的能力）。三者之和沿流线保持不变。

水平管道的特殊情形：若管道水平放置（ $h_1 = h_2$ ），伯努利方程简化为：

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

结论：流速大的地方，压强小；流速小的地方，压强大。

流动位置	流速	压强	规律
宽管处（ $A$ 大）	$v$ 小	$p$ 大	流速与压强反向变化
窄管处（ $A$ 小）	$v$ 大	$p$ 小	流速大处压强低

例题三：水平水管，粗管截面积 $A_1 = 8 \times 10^{-4}$ m²，流速 $v_1 = 1$ m/s，压强 $p_1 = 2 \times 10^5$ Pa；细管截面积 $A_2 = 2 \times 10^{-4}$ m²，水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³，求细管处压强 $p_2$ 。

先由连续性方程求细管处流速：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 1}{2 \times 10^{-4}} = 4 \text{ m/s}$

再由伯努利方程（水平管， $h_1 = h_2$ ）：

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 2 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1 - 16)$

$p_2 = 2 \times 10^5 - 7500 = 1.925 \times 10^5 \text{ Pa}$

细管处流速增大，压强相应减小，由 $2 \times 10^5$ Pa 降至约 $1.93 \times 10^5$ Pa。

伯努利原理的应用

伯努利原理（流速大、压强小）在日常生活和工程技术中有大量应用。

机翼升力

飞机机翼的截面特别设计为上方弧度大、下方较平。气流流过机翼时，上翼面路程更长、流速更大、压强更小；下翼面流速较小、压强较大。上下压差形成向上的合力，即升力。

文丘里管（流量计）

文丘里管是利用伯努利原理测量流体流速的装置。在管道细颈处，流速增大、压强降低，通过测量细颈与宽管处的压强差，可计算出体积流量。文丘里管广泛用于自来水、天然气等管道的流量测量。

喷雾器与喷枪

喷雾器的气流在细管处高速流动，造成低压区，将液体从容器中抽吸上来，与气流混合后喷出形成细雾。汽车化油器（化油器）和气体喷枪也采用同样的原理。

例题四：飞机机翼上方空气流速 $v_2 = 80$ m/s，下方空气流速 $v_1 = 60$ m/s，机翼上下处于同一高度，空气密度 $\rho = 1.20$ kg/m³，求每平方米机翼面积上受到的升力（压强差）。

$\Delta p = p_{\text{下}} - p_{\text{上}} = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \times 1.20 \times (80^2 - 60^2)$

$\Delta p = 0.60 \times (6400 - 3600) = 0.60 \times 2800 = 1680 \text{ Pa}$

每平方米机翼面积上受到约 1680 N 的升力。

实际飞机升力的产生还涉及机翼攻角、气流粘性等多种因素，伯努利原理只是其中一部分的解释。现代大型客机翼面积约 500 m²，巡航时产生的升力可达数百吨，足以支撑整架飞机。

粘性流体与雷诺数

前面讨论的都是理想流体，实际流体都有粘性——流体内部相邻流层之间存在内摩擦力，阻碍相对运动。粘性用动力粘度 $\eta$ 表示，单位为 Pa·s。

粘性流体的流动状态分为两种：层流和湍流。层流时，流体沿规则的平行流线流动，各层之间互不混合，流动平稳有序；湍流时，流线混乱，出现大量涡旋，能量损耗大，流动不稳定。

雷诺数 $Re$ 是判断流态的无量纲参数，由英国工程师雷诺于 1883 年提出：

$Re = \frac{\rho v L}{\eta}$

式中 $\rho$ 是流体密度（kg/m³）， $v$ 是流速（m/s）， $L$ 是特征长度（对圆管取直径 $d$ ，单位 m）， $\eta$ 是动力粘度（Pa·s）。

雷诺数范围	流态	特点
$Re < 2300$	层流	流动平稳，阻力小
$2300 < Re < 4000$	过渡区	流态不稳定
$Re > 4000$	湍流	流动混乱，阻力大

雷诺数综合反映了惯性力与粘性力的相对大小。流速大、管径大、密度大或粘度小时，雷诺数大，容易出现湍流。输油管道、血管中的血液流动等工程问题，都需要根据雷诺数判断流态，并据此进行设计计算。

例题五：水在直径 $d = 0.02$ m 的圆管中流动，水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³，粘度 $\eta = 1.0 \times 10^{-3}$ Pa·s，流速 $v = 0.1$ m/s，判断流态。

$Re = \frac{\rho v d}{\eta} = \frac{1000 \times 0.1 \times 0.02}{1.0 \times 10^{-3}} = \frac{2}{0.001} = 2000$

$Re = 2000 < 2300$ ，流动为层流，水在该条件下平稳有序地流动。

练习题

1. 水在水平管道中稳定流动，从截面积较大的粗管流入截面积较小的细管，以下说法正确的是（　　）

A．细管中水的流速较小，压强较大

B．细管中水的流速较大，压强较大

C．细管中水的流速较大，压强较小

D．细管中水的流速较小，压强较小

2. 下列现象中，不能用伯努利原理解释的是（　　）

A．飞机机翼产生升力

B．喷雾器将液体吸出并雾化

C．文丘里管测量管道流量

D．潜水艇在水下受到浮力

3. 关于雷诺数，下列说法正确的是（　　）

A．雷诺数越大，流体越容易保持层流状态

B．雷诺数与流体粘度无关

C．雷诺数综合反映了惯性力与粘性力的相对大小

D．流态的转变与雷诺数无关，只取决于流速

4. 理想流体在竖直圆管中向上流动，上方管径较小、下方管径较大，关于上下两处压强 $p_{\text{上}}$ 与 $p_{\text{下}}$ 的关系，正确的是（　　）

A． $p_{\text{上}} > p_{\text{下}}$ ，因为上方流速更大，动压强更大

B． $p_{\text{上}} < p_{\text{下}}$ ，仅因为上方高度更高

C． $p_{\text{上}} < p_{\text{下}}$ ，上方流速更大且高度更高，两个因素都使压强降低

D． $p_{\text{上}} = p_{\text{下}}$ ，因为流体连续流动，压强处处相等

5.（计算题） 自来水管的主管截面积 $A_1 = 5 \times 10^{-4}$ m²，支管截面积 $A_2 = 1 \times 10^{-4}$ m²，主管中水的流速 $v_1 = 2$ m/s，主管处压强 $p_1 = 3 \times 10^5$ Pa，两管水平等高（ $h_1 = h_2$ ），水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³。

（1）求支管中水的流速 $v_2$ ；

（2）求支管处的水压 $p_2$ 。

解题过程

（1）支管流速

由连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ ：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{5 \times 10^{-4} \times 2}{1 \times 10^{-4}} = 10 \text{ m/s}$

（2）支管压强

由伯努利方程（水平管， $h_1 = h_2$ ）：

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 3 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4 - 100)$

$p_2 = 3 \times 10^5 + 500 \times (-96) = 3 \times 10^5 - 4.8 \times 10^4 = 2.52 \times 10^5 \text{ Pa}$

（1）支管中水速 $v_2 = 10$ m/s；（2）支管处压强 $p_2 = 2.52 \times 10^5$ Pa。

6.（计算题） 一水塔中，水面在地面以上 $H = 20$ m 处，通过竖直管道将水输送至地面（取地面高度 $h = 0$ ）。水面处水速极慢可视为零（ $v_1 \approx 0$ ），水面处压强为大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5$ Pa，管口向大气开放（ $p_2 = p_0$ ），水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³， $g = 10$ m/s²。

（1）求管口处（地面）水的流速 $v_2$ ；

（2）若管口截面积 $A = 2 \times 10^{-4}$ m²，求每秒流出水的体积。

解题过程

（1）管口流速

取地面为参考面（ $h_2 = 0$ ），水面处 $h_1 = 20$ m， $v_1 = 0$ ， $p_1 = p_0$ ；管口处 $p_2 = p_0$ （向大气开放）。

由伯努利方程：

$p_0 + 0 + \rho g H = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0$

化简：

$\rho g H = \frac{1}{2}\rho v_2^2 \implies v_2 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$

（2）每秒流出水的体积

$Q = A v_2 = 2 \times 10^{-4} \times 20 = 4 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$

（1）管口水速 $v_2 = 20$ m/s；（2）每秒流出水的体积为 $4 \times 10^{-3}$ m³（即 4 升）。

流体力学基础

流体的基本性质

描述流体运动，首先要了解密度和理想流体这两个基本概念。

密度 $\rho$ 是单位体积内流体的质量：

$\rho = \frac{m}{V}$

单位为 kg/m³。水的密度约为 1000 kg/m³，空气在标准状态下约为 1.29 kg/m³。

流体静压强与帕斯卡定律

静止流体内部任意一点都受到来自各方向的压强，称为流体静压强。在均匀重力场中，静止液体内深度为 $h$ 处的压强为：

$p = p_0 + \rho g h$

式中 $p_0$ 是液面上方的压强（大气压）， $\rho$ 是液体密度， $h$ 是该点距液面的深度。

这说明：液体内部压强随深度线性增大；同一深度处，各方向压强相等。

帕斯卡定律：密闭流体内，在任一点施加的压强变化，会等大地传递到流体各处。对于液压系统，两个活塞处压强相等：

$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$

液压千斤顶正是利用帕斯卡定律工作的：在面积小的活塞上施加较小的力，通过液体传递，在面积大的活塞上产生很大的力。

由帕斯卡定律，两活塞处压强相等：

$F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 50 \times \frac{200}{10} = 1000 \text{ N}$

小力通过液压放大 20 倍，变成 1000 N 的推力。

连续性方程

流体在管道中流动时，若管道截面积发生变化，流速也会随之改变。连续性方程描述了截面积与流速的关系。

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q \text{（常数）}$

式中 $A_1$ 、 $A_2$ 是管道不同位置的截面积， $v_1$ 、 $v_2$ 是对应位置的流速， $Q$ 是体积流量（单位 m³/s）。

连续性方程揭示：管道截面积越小的地方，流速越大；截面积越大的地方，流速越小。这正是河流在窄处湍急、宽处平缓的原因。

例题二：水管从截面积 $A_1 = 4 \times 10^{-4}$ m² 的粗管流向截面积 $A_2 = 1 \times 10^{-4}$ m² 的细管，粗管处水速 $v_1 = 0.5$ m/s，求细管处的水速。

由连续性方程：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{4 \times 10^{-4} \times 0.5}{1 \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$

截面积缩小为原来的 $\dfrac{1}{4}$ ，流速增大为原来的 4 倍。

伯努利方程

连续性方程告诉了截面积与流速的关系，但流速变化的同时，压强也会随之变化。伯努利方程揭示了流速与压强之间的关系。

对理想流体在管道中的稳定流动，应用功能定理（能量守恒定律），可以推导出：

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数}$

对管道中两个截面，伯努利方程写为：

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

水平管道的特殊情形：若管道水平放置（ $h_1 = h_2$ ），伯努利方程简化为：

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

结论：流速大的地方，压强小；流速小的地方，压强大。

流动位置	流速	压强	规律
宽管处（ $A$ 大）	$v$ 小	$p$ 大	流速与压强反向变化
窄管处（ $A$ 小）	$v$ 大	$p$ 小	流速大处压强低

先由连续性方程求细管处流速：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 1}{2 \times 10^{-4}} = 4 \text{ m/s}$

再由伯努利方程（水平管， $h_1 = h_2$ ）：

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 2 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1 - 16)$

$p_2 = 2 \times 10^5 - 7500 = 1.925 \times 10^5 \text{ Pa}$

细管处流速增大，压强相应减小，由 $2 \times 10^5$ Pa 降至约 $1.93 \times 10^5$ Pa。

伯努利原理的应用

伯努利原理（流速大、压强小）在日常生活和工程技术中有大量应用。

机翼升力

文丘里管（流量计）

喷雾器与喷枪

$\Delta p = p_{\text{下}} - p_{\text{上}} = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \times 1.20 \times (80^2 - 60^2)$

$\Delta p = 0.60 \times (6400 - 3600) = 0.60 \times 2800 = 1680 \text{ Pa}$

每平方米机翼面积上受到约 1680 N 的升力。

粘性流体与雷诺数

前面讨论的都是理想流体，实际流体都有粘性——流体内部相邻流层之间存在内摩擦力，阻碍相对运动。粘性用动力粘度 $\eta$ 表示，单位为 Pa·s。

雷诺数 $Re$ 是判断流态的无量纲参数，由英国工程师雷诺于 1883 年提出：

$Re = \frac{\rho v L}{\eta}$

式中 $\rho$ 是流体密度（kg/m³）， $v$ 是流速（m/s）， $L$ 是特征长度（对圆管取直径 $d$ ，单位 m）， $\eta$ 是动力粘度（Pa·s）。

雷诺数范围	流态	特点
$Re < 2300$	层流	流动平稳，阻力小
$2300 < Re < 4000$	过渡区	流态不稳定
$Re > 4000$	湍流	流动混乱，阻力大

例题五：水在直径 $d = 0.02$ m 的圆管中流动，水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³，粘度 $\eta = 1.0 \times 10^{-3}$ Pa·s，流速 $v = 0.1$ m/s，判断流态。

$Re = \frac{\rho v d}{\eta} = \frac{1000 \times 0.1 \times 0.02}{1.0 \times 10^{-3}} = \frac{2}{0.001} = 2000$

$Re = 2000 < 2300$ ，流动为层流，水在该条件下平稳有序地流动。

练习题

1. 水在水平管道中稳定流动，从截面积较大的粗管流入截面积较小的细管，以下说法正确的是（　　）

A．细管中水的流速较小，压强较大

B．细管中水的流速较大，压强较大

C．细管中水的流速较大，压强较小

D．细管中水的流速较小，压强较小

2. 下列现象中，不能用伯努利原理解释的是（　　）

A．飞机机翼产生升力

B．喷雾器将液体吸出并雾化

C．文丘里管测量管道流量

D．潜水艇在水下受到浮力

3. 关于雷诺数，下列说法正确的是（　　）

A．雷诺数越大，流体越容易保持层流状态

B．雷诺数与流体粘度无关

C．雷诺数综合反映了惯性力与粘性力的相对大小

D．流态的转变与雷诺数无关，只取决于流速

4. 理想流体在竖直圆管中向上流动，上方管径较小、下方管径较大，关于上下两处压强 $p_{\text{上}}$ 与 $p_{\text{下}}$ 的关系，正确的是（　　）

A． $p_{\text{上}} > p_{\text{下}}$ ，因为上方流速更大，动压强更大

B． $p_{\text{上}} < p_{\text{下}}$ ，仅因为上方高度更高

C． $p_{\text{上}} < p_{\text{下}}$ ，上方流速更大且高度更高，两个因素都使压强降低

D． $p_{\text{上}} = p_{\text{下}}$ ，因为流体连续流动，压强处处相等

（1）求支管中水的流速 $v_2$ ；

（2）求支管处的水压 $p_2$ 。

解题过程

（1）支管流速

由连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ ：

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{5 \times 10^{-4} \times 2}{1 \times 10^{-4}} = 10 \text{ m/s}$

（2）支管压强

由伯努利方程（水平管， $h_1 = h_2$ ）：

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 3 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4 - 100)$

$p_2 = 3 \times 10^5 + 500 \times (-96) = 3 \times 10^5 - 4.8 \times 10^4 = 2.52 \times 10^5 \text{ Pa}$

（1）支管中水速 $v_2 = 10$ m/s；（2）支管处压强 $p_2 = 2.52 \times 10^5$ Pa。

（1）求管口处（地面）水的流速 $v_2$ ；

（2）若管口截面积 $A = 2 \times 10^{-4}$ m²，求每秒流出水的体积。

解题过程

（1）管口流速

取地面为参考面（ $h_2 = 0$ ），水面处 $h_1 = 20$ m， $v_1 = 0$ ， $p_1 = p_0$ ；管口处 $p_2 = p_0$ （向大气开放）。

由伯努利方程：

$p_0 + 0 + \rho g H = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0$

化简：

$\rho g H = \frac{1}{2}\rho v_2^2 \implies v_2 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$

（2）每秒流出水的体积

$Q = A v_2 = 2 \times 10^{-4} \times 20 = 4 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$

（1）管口水速 $v_2 = 20$ m/s；（2）每秒流出水的体积为 $4 \times 10^{-3}$ m³（即 4 升）。