平面电磁波与波的传播

光从遥远星球出发，穿越数亿光年的真空抵达地球；无线电波在大气中以接近光速传递；雨后天空中出现的彩虹，是阳光在水滴中折射与色散的结果。这一切现象的背后，都是电磁波在各种介质中的传播规律。麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，并给出了完整的描述框架。平面波是其中最基本的模型，从中出发可以理解偏振、界面处的反射与折射，以及色散介质中光脉冲的演化规律。

非导电介质中的平面波

在线性各向同性、无自由电荷的非导电介质（电容率 $\varepsilon$ ，磁导率 $\mu$ ）中，麦克斯韦方程组给出电场满足的波动方程：

\nabla^2 \boldsymbol{E} = \mu\varepsilon \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}

与真空中的波动方程 $\nabla^2 \boldsymbol{E} = \mu_0\varepsilon_0 \,\partial^2\boldsymbol{E}/\partial t^2$ 相比，波在介质中的传播速度变为：

v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{n}

其中 $c \approx 3.0 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ 是真空光速， $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}$ 是介质的折射率。对于大多数光学介质，，折射率近似为。

取平面波沿 $z$ 方向传播，电场写成复指数形式：

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t) = \boldsymbol{E}_0 \, e^{i(kz - \omega t)}

角频率 $\omega$ 与波数 $k$ 满足色散关系 $k = n\omega/c$ ，对应波长 $\lambda = 2\pi/k = \lambda_0/n$ ，其中是真空波长。将平面波代入麦克斯韦方程，可以推出两个基本性质：电磁波是横波，与都垂直于传播方向；且三者构成右手系，满足：

\boldsymbol{B} = \frac{n}{c}\,\hat{k} \times \boldsymbol{E}

电场与磁场振幅之比为 $E_0/B_0 = v = c/n$ 。

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光在介质中的传播速度 $v = c/n$ 始终不大于真空光速。这里说的速度是相速度，描述等相位面（波峰）的移动。携带信息的群速度在任何情形下都不会超过 $c$ 。

电磁波的偏振

电磁波是横波，电场矢量始终在垂直于传播方向的平面内振动。电场在这一平面内的振动方式，称为偏振状态。

设波沿 $z$ 方向传播，电场的两个正交分量为：

E_x = a_1 \cos(\omega t - kz + \delta_1), \qquad E_y = a_2 \cos(\omega t - kz + \delta_2)

两分量之间的相位差 $\delta = \delta_2 - \delta_1$ 决定了偏振类型：

当 $\delta = 0$ 或 $\pi$ 时，合成电场始终沿一个固定方向振动，称为线偏振（平面偏振）。当 $\delta = \pm\pi/2$ 且两分量振幅相等（ $a_1 = a_2$ ）时，电场矢量末端在垂直截面上画出一个圆，称为圆偏振；为左旋，为右旋。一般情形下，电场矢量末端轨迹为椭圆，称为椭圆偏振，线偏振和圆偏振都是它的特例。

描述偏振状态还有一套实用工具——斯托克斯参数，它们可以通过光强测量直接得到，特别适合描述部分偏振光：

S_0 = a_1^2 + a_2^2, \quad S_1 = a_1^2 - a_2^2, \quad S_2 = 2a_1 a_2\cos\delta, \quad S_3 = 2a_1 a_2\sin\delta

$S_0$ 代表总光强，对完全偏振光有 $S_0^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$ ；自然光各方向偏振均匀，满足。阳光通过一块偏振片后，只剩下一个方向的线偏振分量，强度降为原来的一半，这正是斯托克斯参数减半而其他分量从零变为非零的过程。

偏振是横波特有的性质，纵波（如声波）不存在偏振现象。正是因为电磁波有偏振，偏振滤光镜才能有效消除水面、玻璃的反光，这一点对纵波来说根本无法实现。

菲涅耳公式：界面处的反射与折射

光从折射率为 $n_1$ 的介质斜射向折射率为 $n_2$ 的介质时，界面处同时发生反射与折射。折射方向由斯涅尔定律决定：

n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t

斯涅尔定律只给出折射角，而菲涅耳公式进一步给出每种偏振分量的反射系数与透射系数。根据电磁场在界面处的边界条件（切向 $E$ 、切向 $H$ 均连续），对于 s 偏振（电场垂直于入射面）和 p 偏振（电场在入射面内），结果分别为：

r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}, \qquad r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}

反射率（能量比例）为 $R_s = r_s^2$ ， $R_p = r_p^2$ ，能量守恒要求。

例题　自然光从空气（ $n_1 = 1.00$ ）垂直入射到折射率 $n_2 = 1.50$ 的玻璃表面，求反射率。

垂直入射时 $\theta_i = \theta_t = 0$ ，两种偏振退化为同一公式：

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1.00 - 1.50}{1.00 + 1.50} = \frac{-0.50}{2.50} = -0.20

R = r^2 = 0.04 = 4\%

每个空气—玻璃界面约有 $4\%$ 的光能量被反射。普通眼镜镜片有四个界面，未镀增透膜时总反射损耗约 $16\%$ ，这正是眼镜需要镀膜的原因。

菲涅耳公式中，反射系数 $r_s$ 始终为负（当 $n_2 > n_1$ 时），代表反射光有半波损失（相位翻转 $\pi$ ）。这一现象在薄膜干涉中非常重要，决定了干涉条纹是亮纹还是暗纹。

全内反射与布儒斯特角

当光从光密介质（ $n_1$ 较大）射向光疏介质（ $n_2 < n_1$ ）时，斯涅尔定律 $n_{1} \sin θ_{i} = n_{2} \sin θ_{}$ 要求。当达到（即）时，对应的入射角称为临界角：

\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}

入射角超过 $\theta_c$ 时，折射光消失，入射光被全部反射回原介质，称为全内反射。此时反射率 $R = 1$ ，能量完全不损失。

光纤利用的正是全内反射原理：折射率较高的纤芯被低折射率的包层包围，光在纤芯中传播时不断被内壁全反射，沿轴向“蜿蜒前进”，几乎无能量损耗，可传输数公里甚至数十公里。

另一个重要的特殊角度是布儒斯特角。由菲涅耳公式，当 $r_p = 0$ 时，p 偏振分量完全不被反射。利用折射定律化简，这一条件等价于：

\theta_i + \theta_t = 90°, \quad \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}

此角度称为布儒斯特角（ $\theta_B$ ）。在布儒斯特角入射时，反射光成为纯 s 偏振的线偏振光。

从空气（ $n_1 = 1.00$ ）射向玻璃（ $n_2 = 1.50$ ），布儒斯特角为 $\theta_B = \arctan(1.5) \approx 56.3°$ 。摄影师常用的偏振滤镜（CPL 滤镜），可以滤除以布儒斯特角附近入射到水面或玻璃的反射光，从而消除炫光。

全内反射是现代光纤通信的核心原理。一根直径不足头发丝的光纤，可以同时传输数万路信号，损耗极低，从根本上改变了现代通信基础设施的面貌。

频率色散

实际介质的折射率 $n$ 并非常数，而是随电磁波频率变化，这种现象称为色散。白光通过棱镜后被分解为彩色光谱，正因为不同颜色（不同频率）的光在玻璃中折射率不同，偏折角各异。

从 Lorentz 模型出发，介质中的束缚电子在外电场驱动下做受迫振动。在远离共振频率的透明区域，折射率随频率增大而增大，称为正常色散（ $\mathrm{d}n/\mathrm{d}\omega > 0$ ）。在共振频率附近，介质对光有强烈吸收，同时折射率随频率增大反而减小，称为反常色散。折射率的频率依赖关系可以近似写成：

n^2(\omega) \approx 1 + \frac{Ne^2}{m_e\varepsilon_0} \sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2}

其中 $N$ 为单位体积分子数， $f_j$ 为振子强度， $\omega_{0j}$ 为各共振频率。

电磁波在导体中传播时会迅速衰减，只能穿透表面薄薄一层，称为趋肤效应。趋肤深度（场振幅衰减到表面值 $1/e$ 时的深度）为：

\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}}

其中 $\sigma$ 为导体的电导率。频率越高，趋肤深度越小：铜在 $50 \, \mathrm{Hz}$ 工频下趋肤深度约为 $9 \, \mathrm{mm}$ ，在 $10 \, \mathrm{GHz}$ 微波下仅约 $0.7 \, \mathrm{\mu m}$ 。这是高频导线只需表面镀铜的物理依据。

等离子体（如电离层）由自由电子和正离子组成，其等效折射率为：

n^2(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, \qquad \omega_p = \sqrt{\frac{Ne^2}{m_e\varepsilon_0}}

$\omega_p$ 称为等离子体频率。当 $\omega < \omega_p$ 时， $n^2 < 0$ ，电磁波无法传播，被完全反射。这正是频率较低的中波、短波广播能被电离层反射、实现超视距通信的根本原因；而频率更高的微波和光波则能穿透电离层，用于卫星通信。

反常色散区域中折射率随频率增大而减小，并不意味着信号可以超光速传播。信号速度（群速度）在任何情形下都不超过真空光速 $c$ ，这是相对论的基本要求。

波包传播与群速度

单色平面波在色散介质中以相速度移动：

v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n(\omega)}

相速度描述等相位面（波峰）的移动速度，但不代表信息传播的速度。实际信号都是由一系列频率接近的单色波叠加而成的波包，波包整体外形（包络）以群速度移动：

v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}

利用色散关系 $k = n(\omega)\omega/c$ ，对 $\omega$ 求导，可以将群速度改写为：

v_g = \frac{c}{n(\omega) + \omega \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}

在正常色散介质中， $\mathrm{d}n/\mathrm{d}\omega > 0$ ，分母大于 $n(\omega)$ ，群速度小于相速度，也小于真空光速。这是光脉冲在光纤中传输时产生色散展宽（不同频率分量以不同速度传播，导致脉冲变宽）的根本原因。

例题　在某光学玻璃中，折射率随角频率的变化为 $n(\omega) = 1.50 + 2.0 \times 10^{-16}\omega$ （ $\omega$ 单位为 $\mathrm{rad/s}$ ）。对于的光，求相速度和群速度（取）。

n(\omega_0) = 1.50 + 2.0 \times 10^{-16} \times 3.0 \times 10^{15} = 1.50 + 0.060 = 1.560

v_p = \frac{c}{n(\omega_0)} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.560} \approx 1.92 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}

\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega} = 2.0 \times 10^{-16} \, \mathrm{s/rad}

v_g = \frac{c}{n + \omega_0 \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.560 + 3.0 \times 10^{15} \times 2.0 \times 10^{-16}} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.560 + 0.600} = \frac{3.0 \times 10^8}{2.160} \approx 1.39 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}

群速度（ $1.39 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ）明显小于相速度（ $1.92 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ），正是正常色散介质的典型特征。

群速度是波包包络移动的速度，也是能量和信息传播的实际速度，始终不超过真空光速 $c$ 。相速度则只描述等相面的移动，可以超过 $c$ （如等离子体中高频波的相速度），但这不携带信息，不违背相对论。

练习题

选择题

题目一（知识点：折射率与光速）

光在折射率 $n = 1.5$ 的玻璃中传播，其速度约为（　　）（取 $c = 3.0 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ）

A. $1.5 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ 　　B. $2.0 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ 　　C. $2.5 \times 10^{8} m / s$ 　　D.

答案：B

由 $v = c/n = 3.0 \times 10^8 / 1.5 = 2.0 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ，光在玻璃中的速度为真空光速的。

题目二（知识点：全内反射与临界角）

光从折射率 $n_1 = 1.6$ 的介质射向空气（ $n_2 = 1.0$ ），发生全内反射的临界角 $\theta_c$ 约为（　　）

A. $28°$ 　　B. $39°$ 　　C. $45°$ 　　D. $53°$

答案：B

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.0}{1.6} = 0.625, \quad \theta_c = \arcsin(0.625) \approx 38.7° \approx 39°$

题目三（知识点：布儒斯特角与偏振）

光从空气（ $n_1 = 1.0$ ）射向折射率 $n_2 = \sqrt{3} \approx 1.73$ 的介质，布儒斯特角为（　　）

A. $30°$ 　　B. $45°$ 　　C. $60°$ 　　D. $75°$

答案：C

$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}, \quad \theta_B = 60°$

题目四（知识点：色散与等离子体）

电离层对低频无线电波（频率低于等离子体频率 $\omega_p$ ）的处理方式是（　　）

A. 完全吸收，使信号消失

B. 完全透过，不发生任何反射

C. 将其全部反射回地面

D. 将其折射但不反射

答案：C

当 $\omega < \omega_p$ 时，等离子体的折射率满足 $n^2 = 1 - \omega_p^2/\omega^2 < 0$ ，电磁波无法在其中传播，被完全反射回地面。这正是中波、短波广播能实现超视距传输的物理机制。

计算题

题目五（知识点：菲涅耳公式、正入射反射率）

一束自然光从空气（ $n_1 = 1.00$ ）垂直入射到一块折射率 $n_2 = 1.60$ 的玻璃板上，玻璃板有两个平行界面。

（1）求光在第一个界面（空气→玻璃）的反射率 $R_1$ ；

（2）求光在第二个界面（玻璃→空气）的反射率 $R_2$ ；

（3）设入射光强度为 $I_0$ ，求通过两个界面后的透射光强度（忽略玻璃内部的吸收）。

解：
（1） 空气→玻璃界面，正入射时两种偏振退化为同一公式：

r_1 = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1.00 - 1.60}{1.00 + 1.60} = \frac{-0.60}{2.60} \approx -0.2308

题目六（知识点：相速度、群速度与正常色散）

在某光学玻璃中，折射率随角频率的变化关系为：

n(\omega) = 1.45 + 1.0 \times 10^{-16}\,\omega \quad (\omega \text{ 的单位为 } \mathrm{rad/s})

取 $c = 3.0 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ，对频率 $\omega_0 = 4.0 \times 10^{15} \, \mathrm{rad/s}$ 的蓝光：

（1）求该频率下的折射率 $n(\omega_0)$ ；

（2）求相速度 $v_p$ ；

（3）求群速度 $v_g$ ，并判断该介质属于正常色散还是反常色散。

解：
（1） 代入数值：

n(\omega_0) = 1.45 + 1.0 \times 10^{-16} \times 4.0 \times 10^{15} = 1.45 + 0.40 = 1.85

t

n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t

2.5 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}

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