麦克斯韦方程组与守恒律

当一道闪电划破天空，无线电波从天线向四面八方传播，X射线穿透人体到达胶片——这些现象的背后，是同一套方程在不同频率下的体现。19世纪中叶，麦克斯韦将法拉第的实验发现、安培的电流规律与高斯定律统一在四个方程之中，并预言了电磁波的存在，这是物理学史上最重要的理论综合之一。电磁场不仅传递力，还携带能量和动量，理解这套方程，就掌握了从静电到光的整个电磁世界。

位移电流

稳恒电流的安培定律写为 $\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J}$。对此式两边取散度，左侧恒为零（矢量恒等式：旋度的散度等于零），右侧得到 $\nabla \cdot \boldsymbol{J} = 0$，这意味着任意截面上的电流密度是无散的。对于稳恒电流，这没有问题；但在电容器充放电的过程中，导线中有真实电流流过，而两极板之间并无导线——若在此处应用安培定律，就会遇到矛盾。

下面用一个具体情形说明这个矛盾。给一个平行板电容器充电，取两个以导线为边界的曲面 $S_1$ 和 $S_2$：$S_1$ 是穿过导线的平面，穿过它的电流为 $I$； 是从同一回路拉向极板之间的曲面，由于极板间无导线，穿过它的传导电流为零。同一条安培回路，选择不同的面，结论竟然不同——这说明稳恒安培定律在时变情形下并不自洽。

麦克斯韦引入了位移电流的概念。极板间的电场随充电过程而变化，设极板间的电场为 $\boldsymbol{E}$，其时间变化率 $\partial\boldsymbol{E}/\partial t$ 具有和电流密度相同的量纲效果。定义位移电流密度：

单位与传导电流密度相同，均为 $\mathrm{A/m^2}$。将安培定律修正为：

对修正后的方程取散度，右侧第一项 $\nabla \cdot \boldsymbol{J}$ 与第二项 $\varepsilon_0\,\partial(\nabla \cdot \boldsymbol{E})/\partial t = \partial\rho/\partial t$ 之和，恰好等于连续性方程 的左边，结果为零，矛盾消除。

• 例题　平行板电容器极板面积 $S = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m^2}$，以 $I = 0.10\,\mathrm{A}$ 的电流充电，求极板间位移电流密度以及 $\mathrm{\partial }E$ 的大小。

极板间面电荷密度以速率 $\sigma = Q/S$ 增长，$\partial\sigma/\partial t = I/S$。极板间电场 $E = \sigma/\varepsilon_0$，因此：

位移电流密度：

位移电流密度与极板上的传导电流密度数值相等，两者在量值上无缝衔接，这正是麦克斯韦修正的自洽之处。

麦克斯韦方程组的完整形式

将高斯定律、磁场散度为零、法拉第感应定律与修正后的安培定律汇集在一起，得到真空中麦克斯韦方程组的微分形式：

四个方程，两个散度，两个旋度，完整地描述了电磁场与源（电荷密度 $\rho$ 和电流密度 $\boldsymbol{J}$）之间的关系。

方程组的积分形式（利用散度定理和斯托克斯定理转换）：

积分形式直观地联系了场量与宏观的总电荷、总电流，在具有对称性的问题中非常方便。

由第三、四个方程可以看出：变化的磁场激发旋转的电场，变化的电场激发旋转的磁场，两者互相激励，不依赖任何电荷或电流，就能在真空中以电磁波的形式向外传播，速度恰好是光速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$。

标量势与矢量势

从麦克斯韦方程的第二个方程 $\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ 出发，由矢量恒等式可知，必然存在矢量场 $\boldsymbol{A}$，使得：

将此式代入法拉第定律 $\nabla\times\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t$，得到：

括号内的量旋度为零，因此可以写成某个标量函数的梯度的负值，定义标量势 $\varphi$：

在静电情形下，$\partial\boldsymbol{A}/\partial t = 0$，退化为熟悉的 $\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi$。在时变情形下，电场不再仅由电荷决定，还有来自变化矢量势的贡献。

将 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 用势表示后代入麦克斯韦方程组，第二和第三个方程自动满足，只需从第一和第四个方程求解势函数。这将六个场分量（$\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 各三个）的求解问题，化简为四个势分量（$\varphi$ 一个，$\boldsymbol{A}$ 三个）的求解问题。

规范变换

$\boldsymbol{A}$ 和 $\varphi$ 的选取并不唯一。对矢量势加上任意标量函数 $\chi$ 的梯度，对标量势减去 $\chi$ 对时间的偏导，物理量 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不变：

这称为规范变换，$\chi$ 称为规范函数。选择不同的规范（即不同的 $\chi$），能简化方程的形式或计算。

• 洛伦兹规范

选择 $\chi$ 使得：

此即洛伦兹条件。在该条件下，$\varphi$ 和 $\boldsymbol{A}$ 满足形式完全对称的波动方程：

两个方程形式相同，源分别为 $-\rho/\varepsilon_0$ 和 $-\mu_0\boldsymbol{J}$。洛伦兹规范与相对论的协变性兼容，是处理辐射和波传播问题时最常用的选择。

• 库仑规范

选择 $\chi$ 使得：

此即库仑规范（也称横场规范）。标量势满足：

这与静电学中的泊松方程完全相同，因此 $\varphi$ 能立即由当时刻的电荷分布写出，无需考虑推迟效应。库仑规范在处理量子电动力学和辐射场问题时有特别的优势。

波动方程与推迟解

在洛伦兹规范下，标量势和矢量势均满足形如：

的非齐次波动方程，其中 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 是真空中的光速， 是源项（对 为 ，对 为 ）。

该方程的解与源之间存在推迟关系：场点在 $t$ 时刻的势，只由源在更早的时刻 $t' = t - |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|/c$ 的状态决定——信号从源点传到场点需要时间 ，这就是电磁相互作用以光速传递的直接体现。

推迟势的表达式为：

与静电和静磁中的势相比，唯一的区别是将源函数中的 $t$ 换成了推迟时刻 $t_r = t - |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|/c$。在源缓慢变化（准静态近似）的条件下，推迟效果可以忽略，两者退化为静态的泊松方程解。

• 例题　有一个点电荷 $q$ 固定在原点不动（不随时间变化），求其推迟势，并说明它是否与静电势一致。

由于电荷不随时间变化，$\rho(\boldsymbol{r}', t_r) = \rho(\boldsymbol{r}') = q\,\delta^3(\boldsymbol{r}')$，推迟时刻的值与当前时刻相同，因此：

与静电势完全一致。推迟效应只在源随时间变化时才有可观的影响，静止电荷不会辐射电磁波，与直觉相符。

坡印廷定理

电磁场携带能量，这一点从最简单的例子就能看出：微波炉用电磁波加热食物，太阳能板用光（电磁波）发电，能量显然是通过电磁场传输过来的。

从麦克斯韦方程推导电磁场的能量守恒方程。将第四方程两侧点乘 $\boldsymbol{E}$，将第三方程两侧点乘 $\boldsymbol{B}/\mu_0$，然后相减，利用矢量恒等式 $\boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) = \nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})$，整理得到坡印廷定理：

其中电磁场能量密度为：

坡印廷矢量（能流密度）为：

$\boldsymbol{S}$ 的单位是 $\mathrm{W/m^2}$，表示单位时间内穿过单位面积的电磁场能量，方向就是能量流动的方向。右侧 $-\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}$ 是电磁场对电荷做功的功率密度（单位体积内单位时间传给电荷的能量），负号表示场失去能量给电荷。

坡印廷定理用积分形式写出物理意义更直观：

即：体积内电磁场能量的减少率，等于从边界面流出的能量加上电磁场对体积内电荷做的功。这是电磁场的能量守恒方程。

• 例题　对于平面电磁波（在真空中传播），电场与磁场幅值之间满足 $E = cB$，且 $\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\hat{\boldsymbol{k}}$（$\hat{\boldsymbol{k}}$ 为传播方向）。计算坡印廷矢量的大小，并与能量密度的关系验证。

又 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$，故：

电磁场能量密度：

因此 $S = cu$，即坡印廷矢量大小等于能量密度乘以光速，与能量以光速传播完全自洽。

电磁场还携带动量。单位体积内电磁场的动量密度为：

太阳光对物体表面的辐射压力，正是电磁场动量传递给物体的体现。彗星的彗尾之所以背向太阳，部分原因就在于太阳光的辐射压。

电磁场的宏观方程

实际物质中的麦克斯韦方程，需要区分自由电荷（可以自由移动的传导电子、离子）与束缚电荷（被束缚在分子中的电荷），以及自由电流与束缚电流（极化电流和磁化电流）。

引入电极化强度 $\boldsymbol{P}$（单位体积的电偶极矩）和磁化强度 $\boldsymbol{M}$（单位体积的磁偶极矩），束缚电荷密度与束缚电流密度为：

定义辅助场：

$\boldsymbol{D}$ 称为电位移矢量（单位 $\mathrm{C/m^2}$），$\boldsymbol{H}$ 称为磁场强度（单位 $\mathrm{A/m}$）。将总电荷分离为自由项与束缚项代入麦克斯韦方程，得到介质中的宏观方程：

其中下标 $f$ 表示自由（free）源。

对于线性各向同性介质，本构关系给出：

其中 $\varepsilon_r$ 是相对介电常数，$\mu_r$ 是相对磁导率，两者均为无量纲的实数（对非色散介质而言）。

其中 $n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ 称为折射率。光在玻璃中传播比在真空中慢，就是因为玻璃的 ，导致 ，。

在两种介质的交界面处，由宏观方程可以推导出场量的边界条件：

其中 $\sigma_f$ 是界面上的自由面电荷密度，$K_f$ 是界面上的自由面电流密度（大多数情形下两者均为零）。

• 例题　相对介电常数 $\varepsilon_r = 4$、相对磁导率 $\mu_r = 1$ 的介质中，光速变为多少？折射率是多少？

光在该介质中的速度为真空光速的一半，这与许多光学玻璃（折射率约为 $1.5$ 到 $2.0$）的实际情况接近。

练习题

选择题

• 题目一（知识点：位移电流）

一个平行板电容器正在被充电，以下关于极板间位移电流的说法正确的是（　　）

A. 位移电流是真实的电荷运动电流，方向与极板间电场方向相同

B. 位移电流的大小等于导线中传导电流的大小，并与之共同维持安培定律的自洽性

C. 位移电流产生的磁场方向与传导电流产生的磁场方向相反

D. 位移电流只在真空中存在，介质中不存在

• 题目二（知识点：坡印廷定理）

在真空中传播的平面电磁波，电场幅值为 $E_0$，磁场幅值为 $B_0$，且 $E_0 = cB_0$。以下关于坡印廷矢量的说法正确的是（　　）

A. 坡印廷矢量的方向与电场方向相同

B. 坡印廷矢量的大小为 $E_0 B_0 / \mu_0$，方向为电磁波的传播方向

C. 坡印廷矢量描述的是电场的能量密度

D. 坡印廷矢量的大小随时间不变

• 题目三（知识点：规范变换）

对矢量势 $\boldsymbol{A}$ 和标量势 $\varphi$ 进行规范变换 $\boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla\chi$，$\varphi' = \varphi - \partial\chi/\partial t$，以下说法正确的是（　　）

A. 电场 $\boldsymbol{E}$ 会发生改变，但磁场 $\boldsymbol{B}$ 不变

B. 磁场 $\boldsymbol{B}$ 会发生改变，但电场 $\boldsymbol{E}$ 不变

C. 电场 $\boldsymbol{E}$ 和磁场 $\boldsymbol{B}$ 均不发生改变

D. 电场和磁场是否改变，取决于 $\chi$ 的具体形式

• 题目四（知识点：介质中的麦克斯韦方程与折射率）

相对介电常数 $\varepsilon_r = 9$，相对磁导率 $\mu_r = 1$ 的均匀介质，其折射率 $n$ 和光在其中的传播速度 $v$ 分别为（　　）

A. $n = 3$，$v = c/3$

B. $n = 9$，$v = c/9$

C. $n = 3$，$v = 3c$

D. $n = \sqrt{3}$，$v = c/\sqrt{3}$

计算题

• 题目五（知识点：位移电流与安培-麦克斯韦定律）

一个圆形平行板电容器，极板半径 $R = 5.0\,\mathrm{cm} = 5.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}$，极板间距 $d = 2.0\,\mathrm{mm}$（忽略边缘效应）。电容器以恒定电流 $$ 充电。

（1）求极板间电场对时间的变化率 $\partial E/\partial t$；

（2）求极板间半径 $r = 2.0\,\mathrm{cm}$ 处的磁感应强度大小（利用安培-麦克斯韦定律取圆形安培回路）。

• 题目六（知识点：坡印廷定理与电磁场能量）

真空中有一列沿 $+x$ 方向传播的平面电磁波，电场为 $\boldsymbol{E} = E_0\cos(kx - \omega t)\,\hat{\boldsymbol{y}}$，其中 ，，。

（1）写出对应的磁场 $\boldsymbol{B}$ 的表达式；

（2）计算坡印廷矢量的瞬时表达式和时间平均值大小；

（3）计算电磁场能量密度的时间平均值。

极板间电场 $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S)$，对时间求导：

• （2） 在极板间取半径 $r = 2.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}$ 的同轴圆形安培回路（$r < R$，在极板范围内）。回路内无传导电流，只有位移电流。穿过该圆面的位移电流：

代入安培-麦克斯韦定律：

极板间 $r = 2.0\,\mathrm{cm}$ 处的磁感应强度约为 $3.2\,\mu\mathrm{T}$，方向沿圆周切线（由右手定则与位移电流方向确定）。

• （2） 坡印廷矢量：

代入数值（$\mu_0 c = 4\pi\times10^{-7}\times3.0\times10^8 \approx 377\,\Omega$）：

时间平均值（$\langle\cos^2\rangle = 1/2$）：

• （3） 电场和磁场的能量密度时间平均值各占一半且相等：

验证：$\langle S\rangle = c\langle u\rangle = 3.0\times10^8\times4.43\times10^{-8} \approx 13.3\,\mathrm{W/m^2}$，与（2）结果一致。