多极展开与介质中的静电学

现实中的电荷分布很少是单个点电荷，大多数情况下是由大量正负电荷组成的复杂系统。分子中的正负电荷中心可以重合，也可以分离；固体材料在外电场下会产生极化响应。多极展开提供了一套系统的方法，让我们用越来越精细的层次去描述远处观测到的电场；而介质理论则揭示了材料内部的微观极化行为如何影响宏观电场。

多极展开的基本思路

两个大小相近的带电体之间发生静电相互作用时，当观测点距离电荷系统很远时，计算整体电势时不必对每个微小电荷逐一积分，而是可以将系统按照“总电荷”、“偶极矩”、“四极矩”等层次展开，依次给出越来越精确的近似。这种展开方式称为多极展开。

设电荷系统的总尺度为 $d$ ，观测点与系统某参考点（通常取质心或电荷中心）之间的距离为 $r$ ，当 $r \gg d$ 时，展开按 $\dfrac{d}{r}$ 的幂次排列，每一项贡献随距离增大下降更快。

展开的出发点是点电荷 $q'$ 位于 $\boldsymbol{r}'$ （ $|\boldsymbol{r}'| \ll r$ ）时，在场点处产生的电势。将分母按展开：

\frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} = \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^l P_l(\cos\theta')

其中 $P_l$ 是勒让德多项式， $\theta'$ 是 $\boldsymbol{r}'$ 与 $\boldsymbol{r}$ 之间的夹角。对整个电荷分布积分，得到电势的多极展开：

\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int \rho(\boldsymbol{r}')\,r'^l\,P_l(\cos\theta')\,\mathrm{d}^3r'

单极矩与偶极矩

展开式的前两项物理意义最为直接，也是最常用的。

$l=0$ 项（单极项） 对应整个系统的总电荷：

q = \int \rho(\boldsymbol{r}')\,\mathrm{d}^3r'

单极项产生的电势为 $\varphi_0 = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ ，这正是点电荷公式。若系统总电荷不为零，远场行为与同等总电荷的点电荷完全相同。

$l=1$ 项（偶极项） 对应系统的电偶极矩矢量：

\boldsymbol{p} = \int \rho(\boldsymbol{r}')\,\boldsymbol{r}'\,\mathrm{d}^3r'

对于由正电荷 $+q$ 和负电荷 $-q$ 组成的简单偶极子，若两电荷间距矢量从负电荷指向正电荷为 $\boldsymbol{d}$ ，则：

\boldsymbol{p} = q\boldsymbol{d}

偶极矩的单位是 $\mathrm{C \cdot m}$ ，分子物理中常使用德拜（D）， $1\,\mathrm{D} = 3.336 \times 10^{-30}\,\mathrm{C \cdot m}$ 。

偶极项产生的电势（以 $\boldsymbol{p}$ 与观测方向 $\hat{r}$ 的点积表示）：

\varphi_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}\cdot\hat{r}}{r^2}

由此得到偶极子的电场：

\boldsymbol{E}_{\text{偶极}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3}\left[3(\boldsymbol{p}\cdot\hat{r})\hat{r} - \boldsymbol{p}\right]

例题　水分子（ $\mathrm{H_2O}$ ）的固有偶极矩约为 $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C \cdot m}$ 。求距水分子处、偶极轴延长线上（即方向）的电场强度。

沿偶极轴方向（ $\hat{r}$ 平行于 $\boldsymbol{p}$ ），偶极场公式给出：

E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3} = 9.0\times10^9 \times \frac{2 \times 6.2\times10^{-30}}{(10^{-9})^3} \approx 1.1\times10^8\,\mathrm{V/m}

这个数值相当可观——分子近旁的电场强度远超宏观尺度下的常见值，这正是分子间相互作用如此强烈的根本原因之一。

电偶极矩是矢量，方向从负电荷指向正电荷（物理学惯例）。总电荷为零的系统，远场由偶极矩主导，电势随 $r^{-2}$ 衰减，比点电荷的 $r^{-1}$ 更快。

四极矩

当系统总电荷为零且偶极矩也为零时，展开式的主导项就是 $l=2$ 的四极项。四极矩用一个二阶对称无迹张量 $Q_{ij}$ 描述：

Q_{ij} = \int \rho(\boldsymbol{r}')\left(3x_i' x_j' - r'^2\,\delta_{ij}\right)\mathrm{d}^3r'

其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克符号。对于轴对称分布，通常只需一个参数 $Q_{33}$ （以对称轴为 $z$ 轴）就能描述：

Q_{33} = \int \rho(\boldsymbol{r}')\left(3z'^2 - r'^2\right)\mathrm{d}^3r'

四极矩产生的电势按 $r^{-3}$ 衰减，比偶极项更快。下表对比了三种多极阶次的特征：

一个典型的四极分布：两对等量异号电荷，每对偶极矩大小相等、方向相反（合偶极矩为零），但空间排布不同。CO $_2$ 分子在轴对称方向上的电荷分布就是一个线型四极子的典型例子。

介质中的极化现象

纯真空中，静电场完全由自由电荷决定。一旦引入绝缘介质，情况就复杂了：外电场会使介质内每个分子的正负电荷中心发生相对位移，在分子尺度上产生大量微小偶极子，这个过程称为极化。

极化有两种基本机制：

描述介质极化程度的宏观量是极化强度 $\boldsymbol{P}$ ，定义为单位体积内的电偶极矩之和：

\boldsymbol{P} = \frac{\Delta\boldsymbol{p}}{\Delta V}

极化强度的单位是 $\mathrm{C/m^2}$ ，与面电荷密度相同（这不是巧合，后面会看到原因）。

对于线性各向同性介质， $\boldsymbol{P}$ 与总电场 $\boldsymbol{E}$ 成正比：

\boldsymbol{P} = \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E}

其中 $\chi_e$ 称为电极化率（无量纲），是材料的固有属性。

极化电荷与电位移矢量

介质极化后，在其内部和表面会出现束缚电荷（也叫极化电荷）。极化体电荷密度与极化强度之间满足：

\rho_{\text{极化}} = -\nabla\cdot\boldsymbol{P}

在介质表面，极化面电荷密度为：

\sigma_{\text{极化}} = \boldsymbol{P}\cdot\hat{n}

其中 $\hat{n}$ 是介质表面的外法向单位矢量。这两个公式有一个直观的物理图像：当极化强度不均匀时（ $\nabla\cdot\boldsymbol{P} \neq 0$ ），相邻体积元内流入流出的束缚电荷数量不等，净余部分就形成体电荷；而在介质表面，内侧偶极子的一端伸出边界，形成面电荷。

为了在宏观方程中将自由电荷与极化电荷分开处理，引入电位移矢量 $\boldsymbol{D}$ ：

\boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}

对于线性各向同性介质， $\boldsymbol{P} = \varepsilon_0\chi_e\boldsymbol{E}$ ，代入得：

\boldsymbol{D} = \varepsilon_0(1+\chi_e)\boldsymbol{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\boldsymbol{E} = \varepsilon\boldsymbol{E}

其中 $\varepsilon_r = 1 + \chi_e$ 称为相对介电常数（无量纲）， $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ 是介质的介电常数，单位或。

高斯定律在介质中改写为只涉及自由电荷的形式：

\nabla\cdot\boldsymbol{D} = \rho_{\text{自由}}

积分形式为：

\oint_S \boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A} = Q_{\text{自由，内}}

引入 $\boldsymbol{D}$ 的好处在于：在具有对称性的问题中，只需利用 $\oint\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A}=Q_{\text{自由}}$ 先求出 $\boldsymbol{D}$ ，再除以便得，而无需逐一计算复杂的极化电荷分布。

下表给出几种常见介质的相对介电常数（室温，低频）：

例题　将一块相对介电常数 $\varepsilon_r = 4$ 的均匀介质完全填充在平行板电容器两极板之间（极板面积 $S$ ，间距 $d$ ，忽略边缘效应）。极板上自由面电荷密度为 $\sigma_0$ ，求：两极板间的、和。

由高斯定律（以垂直极板为高斯面），仅有自由电荷贡献 $\boldsymbol{D}$ ：

D = \sigma_0

由 $\boldsymbol{D} = \varepsilon\boldsymbol{E}$ ：

E = \frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r} = \frac{\sigma_0}{4\varepsilon_0}

极化强度：

P = D - \varepsilon_0 E = \sigma_0 - \frac{\sigma_0}{4} = \frac{3\sigma_0}{4}

与真空相比，介质的存在使 $\boldsymbol{E}$ 减小为原来的 $1/\varepsilon_r$ ，而 $\boldsymbol{D}$ 不变（仅由自由电荷决定）。电容值也相应增大为原来的 $\varepsilon_r$ 倍：

C = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}

介质中的边界条件

当电场跨越两种不同介质的界面时， $\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 各自的法向分量和切向分量遵循特定的衔接条件。

设界面两侧介质分别为 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$ ，界面上自由面电荷密度为 $\sigma_f$ （通常绝缘介质界面上 $σ_{f}$ ）：

若界面无自由电荷（ $\sigma_f = 0$ ）：

\varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n}, \quad E_{1t} = E_{2t}

由此可得电场线在界面处的折射定律，与光的折射形式相似：

\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}

其中 $\theta_1$ 、 $\theta_2$ 分别是两侧电场线与界面法向的夹角。电场线从低介电常数一侧进入高介电常数一侧时，会向界面法向方向偏折（更靠近法向）。

$\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ 在界面两侧各自连续的分量不同： $\boldsymbol{E}$ 的切向分量连续， $\boldsymbol{D}$ 的法向分量连续（无自由面电荷时）。混淆这两点是处理介质边界问题时最常见的错误。

分子极化率

微观层面上，单个分子（或原子）在外电场 $\boldsymbol{E}_{\text{loc}}$ 的作用下产生的感应偶极矩为：

\boldsymbol{p} = \alpha\,\boldsymbol{E}_{\text{loc}}

其中 $\alpha$ 称为分子极化率，单位为 $\mathrm{C^2\cdot s^2/(kg\cdot m^3)}$ ，也常以体积量纲表示（ $\alpha/4\pi\varepsilon_0$ ，单位）。

微观极化率 $\alpha$ 与宏观电极化率 $\chi_e$ 之间由克劳修斯-莫索蒂方程联系（对非极性球形分子适用）：

\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0}

其中 $n$ 是单位体积内的分子数密度。这个公式将宏观可测的 $\varepsilon_r$ 与微观的分子极化率 $\alpha$ 连接起来，是分子物理与宏观电动力学之间的重要桥梁。

极化率越大，意味着外场对该分子电子云的“拉伸”能力越强，通常原子序数越大（电子数越多）或共轭体系越长，极化率越大。

介质中的静电能量

真空中电场的能量密度为 $\dfrac{\varepsilon_0}{2}E^2$ 。将介质引入后，储存在电场中的能量密度变为：

u = \frac{1}{2}\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\varepsilon}{2}E^2 = \frac{D^2}{2\varepsilon}

对全空间积分，得到整个系统的总静电能：

W = \frac{1}{2}\int \boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}^3r

这一表达式已将介质中的束缚电荷对能量的贡献全部纳入，因而比真空公式 $\dfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}^3r$ 更为一般。

对于充满均匀介质的电容器，总储能为：

W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C}

其中 $C = \dfrac{\varepsilon S}{d}$ （平行板）。介质的引入使电容增大，在相同电压下储能增加了 $\varepsilon_r$ 倍。

例题　平行板电容器，极板面积 $S = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m^2}$ ，间距 $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ ，充电至后断开电源。分别求填充介质（）前后的电容、储能与极板间电场强度。

断开电源后极板上的自由电荷量 $Q$ 不变。

填充前（真空）：

C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\times10^{-12}\times10^{-2}}{10^{-3}} = 8.85\times10^{-11}\,\mathrm{F} \approx 88.5\,\mathrm{pF}

Q = C_0 U = 8.85\times10^{-11}\times100 = 8.85\times10^{-9}\,\mathrm{C}

E_0 = \frac{U}{d} = \frac{100}{10^{-3}} = 1.0\times10^5\,\mathrm{V/m}

W_0 = \frac{1}{2}C_0 U^2 = \frac{1}{2}\times8.85\times10^{-11}\times10^4 \approx 4.43\times10^{-7}\,\mathrm{J}

填充后（ $Q$ 不变， $C$ 增大 $\varepsilon_r$ 倍）：

C = \varepsilon_r C_0 = 5\times8.85\times10^{-11} \approx 442.5\,\mathrm{pF}

U' = \frac{Q}{C} = \frac{Q}{\varepsilon_r C_0} = \frac{U}{\varepsilon_r} = 20\,\mathrm{V}

E' = \frac{U'}{d} = \frac{20}{10^{-3}} = 2.0\times10^4\,\mathrm{V/m} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}

W' = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_r C_0} = \frac{W_0}{\varepsilon_r} = \frac{4.43\times10^{-7}}{5} \approx 8.85\times10^{-8}\,\mathrm{J}

断开电源后插入介质，电场减弱、储能减少，减少的能量转化为将介质吸入电容器的机械功——这是电容器吸引介质的物理根源。

断开电源（ $Q$ 不变）插入介质后，电压和电场减小为 $1/\varepsilon_r$ ，储能也减小为 $1/\varepsilon_r$ ；保持电压恒定（接电源）插入介质后， $\boldsymbol{D}$ 不变，增大倍，储能增大倍。两种情形截然不同，需要根据约束条件仔细分析。

练习题

选择题

题目一（知识点：多极展开与偶极矩）

一个中性分子（总电荷为零）的固有偶极矩为 $\boldsymbol{p}$ ，在距其 $r$ （ $r$ 远大于分子尺度）处，其电势随距离的衰减规律是（　　）

A. $\varphi \propto r^{-1}$ 　　B. $\varphi \propto r^{-2}$ 　　C. $\varphi \propto r^{-3}$ 　　D. （常数）

答案：B

总电荷为零，单极项消失；偶极矩 $\boldsymbol{p}\neq0$ ，由偶极项主导： $\varphi_1 = \dfrac{\boldsymbol{p}\cdot\hat{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \propto r^{-2}$ 。

题目二（知识点：电位移矢量与边界条件）

两种无自由面电荷的均匀介质（ $\varepsilon_1 \neq \varepsilon_2$ ）的界面两侧，下列哪个量在界面法向上的分量是连续的（　　）

A. 电场强度 $\boldsymbol{E}$ 　　B. 极化强度 $\boldsymbol{P}$ 　　C. 电位移矢量 $\boldsymbol{D}$ 　　D. 极化电荷密度 $\rho_{\text{极化}}$

答案：C

无自由面电荷时， $\boldsymbol{D}$ 的法向边界条件为 $D_{2n} = D_{1n}$ ，即法向 $\boldsymbol{D}$ 连续。而法向不连续（连续的是切向）；法向一般不连续，其不连续量正是界面极化电荷的来源。

题目三（知识点：平行板电容器中的介质）

一个充电后断开电源的平行板电容器，向其中插入相对介电常数 $\varepsilon_r = 3$ 的介质，则两极板间的电场强度变化为原来的（　　）

A. $3$ 倍　　B. $\dfrac{1}{3}$ 倍　　C. $\sqrt{3}$ 倍　　D. 不变

答案：B

断开电源后极板电荷量 $Q$ 不变， $D = \sigma_0$ 不变。由 $E = D/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$ ，插入介质后减小为原来的。

题目四（知识点：极化电荷）

均匀极化的介质球，极化强度 $\boldsymbol{P}$ 均匀分布。关于其极化电荷，下列说法正确的是（　　）

A. 球内部有均匀分布的极化体电荷，表面无极化面电荷

B. 球内部和表面均有极化电荷

C. 球内部无极化体电荷，仅在表面有极化面电荷

D. 球内部和表面均无极化电荷

答案：C

极化体电荷密度 $\rho_{\text{极化}} = -\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ 。均匀极化时 $\boldsymbol{P}$ 为常数， $\nabla\cdot\boldsymbol{P} = 0$ ，故内部无体电荷。但在球表面，的法向分量不为零（），因此表面有极化面电荷。

计算题

题目五（知识点：偶极矩与偶极场）

两个点电荷 $+q = 2.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}$ 和 $-q = -2.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}$ 相距，构成一个电偶极子，偶极矩方向沿轴正方向。求：

（1）该偶极子的电偶极矩大小；

（2）在偶极轴延长线上（ $\theta = 0$ ）、距偶极子中心 $r = 0.10\,\mathrm{m}$ 处的电场强度大小。

（1）电偶极矩：

p = qd = 2.0\times10^{-9}\times4.0\times10^{-3} = 8.0\times10^{-12}\,\mathrm{C\cdot m}

题目六（知识点：介质中的高斯定律与静电能）

一个同轴圆柱形电容器，内圆柱半径 $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ ，外圆柱内半径 $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ ，轴向长度 $L = 0.50\,\mathrm{m}$ ，两柱之间充满相对介电常数 $\varepsilon_r = 2.5$ 的均匀介质，内柱带自由电荷（外柱接地）。

求：（1）介质中任意半径 $r$ （ $a < r < b$ ）处的 $\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{E}$ ；（2）两柱之间的电压 $U$ ；（3）该电容器的电容值。

（1）以轴为中心、半径 $r$ 、长 $L$ 的同轴圆柱面为高斯面，由 $\oint\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{A} = Q_{\text{自由}}$ ：

r = 1.0\,\mathrm{nm}

=

0

\sigma_f = 0

U

=

100

V

U = 100\,\mathrm{V}

D

\cdot

2

π

r

L

=

Q

⟹

D

=

\frac{Q}{2 π r L}

D\cdot 2\pi r L = Q \implies D = \frac{Q}{2\pi r L}

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