静电学边值问题（进阶）

静电场的边值问题并非总能用镜像法或简单的轴对称分离变量来处理。当电荷分布或边界形状偏离对称轴、或者区域截面为圆形柱体时，就需要引入更完整的数学工具：不含方位对称性的球谐函数、以及在柱坐标下自然出现的贝塞尔函数。此外，格林函数提供了一种将边值问题的解统一表达的框架——知道了格林函数，任意电荷分布下的电势都可以通过积分直接写出。

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球谐函数

求解球坐标拉普拉斯方程时，若假设电势与方位角 $\phi$ 无关（轴对称情形），只需要勒让德多项式便可处理。一旦问题没有这种旋转对称性，比如球面上不同方向的边界条件不同，就必须使用完整的球谐函数 $Y_l^m(\theta, \phi)$。

球谐函数是拉普拉斯方程角度部分（同时含 $\theta$ 和 $\phi$）的标准正交解：

$$Y_l^m(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_l^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}$$

其中 $l = 0,1,2,\ldots$ 称为角量子数，$m = -l, -l+1, \ldots, l$ 称为磁量子数，共 $2l+1$ 个。$P_l^m$ 是缔合勒让德函数，是在普通勒让德多项式基础上对 $\cos\theta$ 求 $|m|$ 次导数后得到的函数。

下表列出了常用的低阶球谐函数（取实数形式更直观）：

球谐函数最核心的性质是正交归一性：

$$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\;Y_l^m(\theta,\phi)^*\,Y_{l’}^{m’}(\theta,\phi) = \delta_{ll’}\,\delta_{mm’}$$

任意定义在球面上的函数 $f(\theta,\phi)$ 都可以展开为球谐函数的级数，展开系数通过正交积分逐一确定：

$$f(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} A_{lm}\,Y_l^m(\theta,\phi), \qquad A_{lm} = \int Y_l^m{}^*\,f\,\mathrm{d}\Omega$$

球坐标下拉普拉斯方程的完整通解（无轴对称限制）为：

$$\varphi(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\!\left(A_{lm}\,r^l + \frac{B_{lm}}{r^{l+1}}\right)Y_l^m(\theta,\phi)$$

内部区域（含球心）只保留 $r^l$ 项，外部区域（含无穷远）只保留 $r^{-(l+1)}$ 项，再由边界条件逐一确定系数。

• 例题　半径为 $R$ 的球面上，上半球（$0 \leq \theta < \pi/2$）电势为 $+V_0$，下半球（$\pi/2 < \theta \leq \pi$）电势为 $-V_0$，求球内电势在 $l=1$ 阶的近似表达式。

由奇对称性（$f(\pi-\theta) = -f(\theta)$），偶数阶 $l$ 的系数 $A_{l0} = 0$，只有奇数阶有贡献。取 $l=1$ 的主项：

$$A_{10} = \frac{3}{2}\int_0^\pi V(\theta)P_1(\cos\theta)\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{3}{2}\!\left[\int_0^{\pi/2}V_0\cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta - \int_{\pi/2}^{\pi}V_0\cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\right] = \frac{3V_0}{2}$$

取 $l=1$ 的近似，球内电势为：

$$\varphi(r,\theta) \approx \frac{3V_0}{2}\cdot\frac{r}{R}\cdot P_1(\cos\theta) = \frac{3V_0}{2}\cdot\frac{r}{R}\cos\theta$$

这正是一个均匀场的形式，说明在球内低阶近似下，两半球电势差产生的效果近似于均匀电场。

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球谐函数的加法定理

加法定理是球谐函数最重要的应用之一。设空间中两点 $P$ 和 $P’$，它们与原点的距离分别为 $r$ 和 $r’$，两点连线与原点构成的夹角为 $\gamma$，则：

$$\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’|} = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{r_<^l}{r_>^{l+1}}\sum_{m=-l}^{l}Y_l^m{}^*(\theta’,\phi’)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$

其中 $r_< = \min(r,r’)$，$r_> = \max(r,r’)$。利用加法定理可以将 $1/|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’|$ 展开成球谐函数的乘积之和，这是计算任意电荷分布产生电势的基础。

当问题具有轴对称性时，加法定理简化为勒让德多项式形式：

$$\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’|} = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{r_<^l}{r_>^{l+1}}P_l(\cos\gamma)$$

其中 $\cos\gamma = \cos\theta\cos\theta’ + \sin\theta\sin\theta’\cos(\phi-\phi’)$。这个展开式在计算多极展开（见多极展开专题）时极为有用：点电荷在远处产生的电势，正是通过这种展开一阶一阶地表达为偶极、四极……项的叠加。

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柱坐标与贝塞尔函数

许多实际问题的边界是圆柱面，例如同轴电缆、圆形波导截面、柱状电极等。这时选用柱坐标 $(\rho,\phi,z)$ 最为自然。

拉普拉斯方程在柱坐标下的形式为：

$$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} = 0$$

令 $\varphi = R(\rho)\,\Phi(\phi)\,Z(z)$ 代入，得到三个分离的常微分方程。$\Phi(\phi)$ 须满足单值性（绕轴一圈后回到原值），因此 $\Phi(\phi) = e^{im\phi}$，$m$ 取整数。

设 $Z(z)$ 部分含参数 $k$：$Z’’ = k^2 Z$，则 $\rho$ 部分方程为贝塞尔方程：

$$\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d}\rho} + \left(k^2 - \frac{m^2}{\rho^2}\right)R = 0$$

这个方程的两个线性无关解是 $m$ 阶贝塞尔函数 $J_m(k\rho)$ 和诺依曼函数 $N_m(k\rho)$。在包含 $\rho=0$ 的内部区域，$N_m$ 在原点发散，需舍去，只保留 $J_m$；外部区域则两者都可能出现。

下表列出常用贝塞尔函数的基本性质：

其中 $x_{mn}$ 是 $J_m$ 的第 $n$ 个正零点。边界上若要求 $\varphi = 0$，则 $k = x_{mn}/a$（$a$ 为圆柱半径），从而得到离散的本征值。

• 例题　半径为 $a$、高为 $L$ 的接地金属圆柱筒，底面（$z=0$）电势为零，顶面（$z=L$）电势为 $V_0$（均匀）。求筒内电势分布。

由边界条件，侧面和底面均为零，只有顶面有非零值。选取 $m=0$（圆对称），$Z(z) = \sinh(k_n z)$（满足 $Z(0)=0$），$k_n = x_{0n}/a$：

$$\varphi(\rho,z) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\, J_0\!\left(\frac{x_{0n}\rho}{a}\right)\sinh\!\left(\frac{x_{0n} z}{a}\right)$$

在 $z=L$ 处代入 $\varphi = V_0$，利用 $J_0$ 的正交性：

$$c_n = \frac{2V_0}{a^2\,[J_1(x_{0n})]^2\,\sinh\!\left(\dfrac{x_{0n}L}{a}\right)}\int_0^a J_0\!\left(\frac{x_{0n}\rho}{a}\right)\rho\,\mathrm{d}\rho = \frac{2V_0}{x_{0n}\,J_1(x_{0n})\,\sinh\!\left(\dfrac{x_{0n}L}{a}\right)}$$

实际计算中，前两三项（$n=1,2,3$）的贡献已足够精确。

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二维柱坐标问题

当问题与 $z$ 无关（如无限长圆柱体），拉普拉斯方程退化为二维极坐标形式：

$$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\phi^2} = 0$$

此时分离变量后，$\rho$ 部分的解不再是贝塞尔函数，而是简单的幂函数：

$$\varphi(\rho,\phi) = \left(A_0 + B_0\ln\rho\right) + \sum_{m=1}^{\infty}\left(A_m\rho^m + \frac{B_m}{\rho^m}\right)\!\left(C_m\cos m\phi + D_m\sin m\phi\right)$$

$\ln\rho$ 项在 $m=0$ 时出现，对应于均匀线电荷的电势；$\rho^{-m}$ 项在包含原点的区域中必须舍去。

• 例题　无限长圆柱形导体（半径 $R$），置于均匀外电场 $E_0$（沿 $x$ 轴方向）中，导体接地（电势为零）。求导体外部电势。

边界条件：$\rho\to\infty$ 时 $\varphi\to -E_0\rho\cos\phi$（外电场的极坐标表达）；$\rho=R$ 时 $\varphi=0$。

只需 $m=1$ 项：

$$\varphi(\rho,\phi) = -E_0\rho\cos\phi + \frac{B}{\rho}\cos\phi$$

代入 $\rho=R$：$-E_0 R + B/R = 0$，得 $B = E_0 R^2$，最终：

$$\varphi(\rho,\phi) = -E_0\!\left(\rho - \frac{R^2}{\rho}\right)\cos\phi$$

这与接地导体球问题的结果形式相同（只是维度从 $r^3$ 变为 $\rho^2$），物理图像也类似：第二项是圆柱感应电荷对外场的修正，形如线偶极子的电势。

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格林函数展开

格林函数是求解泊松方程 $\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon_0$ 的核心工具。直觉上，格林函数 $G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}’)$ 描述的是在 $\boldsymbol{r}’$ 处放置单位点电荷时，在 $\boldsymbol{r}$ 处产生的电势（同时满足给定的边界条件）。一旦知道了 $G$，任意电荷分布下的电势就可以写成：

$$\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0}\int G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’)\,\rho(\boldsymbol{r}’)\,\mathrm{d}^3r’$$

自由空间（无边界）中的格林函数即为点电荷电势：

$$G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’) = \frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’|}$$

利用加法定理，可以把 $G_0$ 展开成球谐函数的级数，从而方便地计算各种积分。

• 球坐标展开

$$G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{1}{2l+1}\frac{r_<^l}{r_>^{l+1}}\cdot\frac{4\pi}{2l+1}Y_l^m{}^*(\theta’,\phi’)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$

对于球形边界（半径 $a$），满足狄利克雷边界条件（$G=0$）的格林函数通过加入镜像项来修正：

$$G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’) = G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’) - G_0\!\left(\boldsymbol{r},\frac{a^2}{r’^2}\boldsymbol{r}’\right)\cdot\frac{a}{r’}$$

这正是接地导体球镜像法结果的另一种写法。

• 柱坐标展开

对于有限高圆柱（半径 $a$，高 $L$），格林函数可以展开为贝塞尔函数与正弦函数的双重级数：

$$G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’) = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} g_{mn}(\rho,\rho’)\,e^{im(\phi-\phi’)}\,\sin\!\left(\frac{n\pi z}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi z’}{L}\right)$$

其中径向系数 $g_{mn}$ 满足含贝塞尔函数的一维方程，具体形式与内外区域的区分有关。

下表对比球坐标与柱坐标格林函数展开的结构：

• 例题　利用球坐标格林函数展开，写出均匀带电球壳（半径 $R$，面电荷密度 $\sigma$）在球外 $r > R$ 处产生电势的积分形式，并说明积分结果与点电荷等效的原因。

球壳上的电荷分布为 $\rho(\boldsymbol{r}’) = \sigma\,\delta(r’-R)$，代入格林函数积分：

$$\varphi(r) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\int G_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’)\,\delta(r’-R)\,R^2\,\mathrm{d}\Omega’\,\mathrm{d}r’$$

展开 $G_0$ 并利用球谐函数正交性，只有 $l=0$，$m=0$ 项在对 $\Omega’$ 积分后存活，且 $r>R$ 时 $r_<=R$，$r_>=r$：

$$\varphi(r) = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi R^2}{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

其中 $Q = 4\pi R^2\sigma$ 是总电荷量。积分将所有高阶球谐项消去，只剩 $l=0$ 的常数项，数学上正好等效于把全部电荷集中在球心的点电荷结果。

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练习题

选择题

• 题目一（知识点：球谐函数的阶次与 $m$ 值）

关于球谐函数 $Y_l^m(\theta,\phi)$，下列说法正确的是（　　）

A. 对于给定的 $l$，$m$ 只能取 $0,1,2,\ldots,l$ 共 $l+1$ 个值

B. $Y_0^0$ 是一个与方向无关的常数

C. $l=1$ 的球谐函数共有 $2$ 个

D. 所有球谐函数的正交积分都不为零

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• 题目二（知识点：加法定理与多极展开）

利用加法定理展开 $\dfrac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’|}$，当场点 $r$ 远大于源点 $r’$（即 $r \gg r’$）时，最低阶（$l=0$）项为（　　）

A. $\dfrac{r’^2}{r^3}$　　B. $\dfrac{1}{r}$　　C. $\dfrac{r’}{r^2}$　　D. $\dfrac{1}{r^2}$

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• 题目三（知识点：贝塞尔函数在柱坐标边值问题中的作用）

半径为 $a$ 的接地金属圆柱面（$\varphi|_{\rho=a}=0$），求解内部电势时，径向部分 $R(\rho)$ 应选取（　　）

A. $J_m(k\rho)$，$k$ 为任意实数

B. $J_m(k\rho)$，$k = x_{mn}/a$（$x_{mn}$ 为 $J_m$ 的第 $n$ 个零点）

C. $N_m(k\rho)$，$k$ 为任意实数

D. $J_m(k\rho)$ 与 $N_m(k\rho)$ 的任意线性组合

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• 题目四（知识点：格林函数的物理意义）

以下关于静电格林函数 $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’)$ 的说法，哪一项是正确的？（　　）

A. 格林函数只与场点 $\boldsymbol{r}$ 有关，与源点 $\boldsymbol{r}’$ 无关

B. $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}’)$ 描述在 $\boldsymbol{r}’$ 处放置单位点电荷后在 $\boldsymbol{r}$ 处产生的电势，且满足同样的边界条件

C. 自由空间格林函数 $G_0$ 需要满足导体接地的边界条件

D. 格林函数展开后，球谐函数系数与边界形状无关

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计算题

• 题目五（知识点：二维柱坐标分离变量）

无限长圆柱形导体（半径 $R$），置于沿 $x$ 方向的均匀外电场 $E_0$ 中，导体电势为零（接地）。

（1）写出导体外部电势满足的边界条件；

（2）由分离变量法写出外部电势 $\varphi(\rho,\phi)$ 的完整表达式；

（3）求导体表面（$\rho=R$）上感应面电荷密度 $\sigma(\phi)$ 的分布，以及正对外电场方向（$\phi=0$）处的 $\sigma$ 值。

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• 题目六（知识点：球谐函数展开与正交性）

半径为 $R$ 的球面上，电势分布为 $V(\theta,\phi) = V_0\cos^2\theta$（与 $\phi$ 无关）。

（1）将 $\cos^2\theta$ 用勒让德多项式展开，写出含 $P_0$ 和 $P_2$ 项的结果；

（2）利用正交性求球外（$r>R$）电势的前两项展开；

（3）求球外远场（$r\gg R$）电势的主导项，并说明其物理意义。