静磁学与法拉第定律

导线通电后会使附近的指南针发生偏转，电动机的转子在磁场中持续旋转，发电厂的线圈切割磁力线产生源源不断的电能——这些现象背后，有一套完整的理论体系将电流、磁场与变化的电通量联系在一起。静磁学研究稳恒电流产生的磁场，以及磁场与物质的相互作用；法拉第感应定律则揭示了变化磁场如何反过来驱动电流，是发电机与变压器工作的基础。

电流产生磁场

磁现象和电现象在表面上看起来截然不同，但两者有着深刻的联系。奥斯特在1820年发现了导线通电时能令磁针偏转，这一发现正式建立起了电与磁之间的桥梁。

稳恒电流的基本描述量是电流密度 $\boldsymbol{J}$ ，单位为 $\mathrm{A/m^2}$ 。对于截面积为 $S$ 的导线，若其中流过电流 $I$ ，则

I = \int_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{A}

稳恒电流满足连续性方程 $\nabla \cdot \boldsymbol{J} = 0$ ，即电流既无来源也无汇聚，任意截面上流入与流出的电荷量相等。

下表给出了几种常见导线的典型电流密度范围，供直观参考：

毕奥-萨伐尔定律

稳恒电流元 $I\,\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 在场点 $\boldsymbol{r}$ 处产生的磁场由毕奥-萨伐尔定律给出：

\mathrm{d}\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,\mathrm{d}\boldsymbol{l} \times \hat{r}'}{r'^2}

其中 $\boldsymbol{r}'$ 是从电流元指向场点的矢量， $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T \cdot m/A}$ 是真空磁导率。对完整回路积分，得到该回路在空间某点产生的总磁场：

\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I\,\mathrm{d}\boldsymbol{l} \times \hat{r}'}{r'^2}

磁场的单位是特斯拉（ $\mathrm{T}$ ）， $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{kg/(A \cdot s^2)}$ ，也等于 $1\,\mathrm{V \cdot s/m^2}$ 。

例题　无限长直导线，通有电流 $I$ ，求距离导线 $s$ 处的磁场大小。

取坐标轴沿导线方向，利用毕奥-萨伐尔定律积分，场点到导线的距离为 $s$ 。对称性告诉我们磁场只有环绕导线的切向分量，积分结果为：

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}

方向由右手定则确定：右手拇指指向电流方向，四指弯曲的方向即为磁场方向。距离越远，磁场越弱，与电场中无限长带电线的规律结构类似。

毕奥-萨伐尔定律与库仑定律的数学形式高度相似，都是平方反比关系。区别在于库仑力是沿连线方向的标量叠加，而磁场是通过叉积产生的矢量叠加，天然具有旋转性。

安培定律

安培定律是静磁学中与高斯定律地位相当的核心定理。它将环绕某路径的磁场线积分与穿过该路径所围面积的总电流相联系：

\oint_C \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{穿}}

其中 $I_{\text{穿}}$ 是穿过回路 $C$ 所围面积的净电流。利用斯托克斯定理，可以得到安培定律的微分形式：

\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J}

此外，静磁场的散度恒为零（不存在磁单极子）：

\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0

例题　半径为 $R$ 、通有总电流 $I$ 的无限长圆柱导体（均匀分布），用安培定律求圆柱内外的磁场。

取同轴圆形安培回路，半径为 $r$ 。

圆柱外部（ $r > R$ ）：穿过回路的总电流为 $I$ ，由旋转对称性，

B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

圆柱内部（ $r < R$ ）：穿过回路的电流按面积比例缩小， $I' = I \cdot (r/R)^2$ ，

B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2} \implies B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}

内部磁场随 $r$ 线性增大，外部随 $r$ 反比减小，在 $r = R$ 处两侧结果一致（均为 $\mu_0 I / (2\pi R)$ ），体现了物理量的连续性。

矢量势

由于 $\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0$ ，根据矢量分析恒等式，必然存在一个矢量场 $\boldsymbol{A}$ ，使得

\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}

$\boldsymbol{A}$ 称为磁矢量势，其单位为 $\mathrm{T \cdot m} = \mathrm{Wb/m}$ （韦伯每米）。

矢量势不是唯一的：对 $\boldsymbol{A}$ 加上任意标量函数的梯度 $\nabla\chi$ ，磁场 $\boldsymbol{B}$ 不变，这就是规范自由度。选择库仑规范 $\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0$ 后，将 $\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$ 代入，得到矢量泊松方程：

\nabla^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{J}

这与静电学中的泊松方程 $\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon_0$ 在形式上完全类比。其解为：

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|}\,\mathrm{d}^3 r'

引入矢量势 $\boldsymbol{A}$ 的好处，在于将求解矢量磁场（三个分量）转化为求解形如泊松方程的方程组，每个分量的方程与静电势方程结构相同，可以借用已有方法求解。

磁偶极矩

远离一个小电流回路（线圈尺寸远小于观察距离），其磁场的主导项来自磁偶极项。定义平面电流回路的磁偶极矩：

\boldsymbol{m} = I\,S\,\hat{n}

其中 $S$ 是回路所围面积， $\hat{n}$ 是由右手定则确定的法向单位矢量，单位为 $\mathrm{A \cdot m^2}$ 。

在远场处（ $r \gg$ 回路尺寸），磁偶极子在球坐标中产生的磁场为：

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m\sin\theta}{r^3}

这与电偶极子产生的电场结构完全相同，只需将 $p/(4\pi\varepsilon_0)$ 替换为 $\mu_0 m/(4\pi)$ 。

地球本身就是一个巨大的磁偶极子，地磁轴与自转轴之间有约 $11°$ 的偏角。地磁场在地表的典型强度约为 $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ，即 $50\,\mathrm{\mu T}$ ，正是这个磁场驱动指南针始终指向磁北极。

磁介质：磁化强度与 $H$ 场

物质在外磁场作用下会产生磁化现象，即内部的微观磁矩趋向有序排列。描述磁化程度的量是磁化强度 $\boldsymbol{M}$ ，定义为单位体积内的磁偶极矩之和，单位为 $\mathrm{A/m}$ 。

磁化物质内部产生束缚电流，其体密度为 $\boldsymbol{J}_b = \nabla \times \boldsymbol{M}$ 。将安培定律中的电流分成自由电流 $\boldsymbol{J}_f$ 与束缚电流 $\boldsymbol{J}_b$ 两部分，可以引入辅助场（磁场强度，单位）：

\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}

安培定律改写为：

\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}_f, \qquad \oint_C \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = I_{f,\text{穿}}

对于线性各向同性磁介质， $\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}$ ，其中 $\chi_m$ 是磁化率（无量纲）。由此得到：

\boldsymbol{B} = \mu_0(1 + \chi_m)\boldsymbol{H} = \mu_0\mu_r \boldsymbol{H} = \mu\boldsymbol{H}

其中 $\mu_r = 1 + \chi_m$ 为相对磁导率， $\mu = \mu_0\mu_r$ 为绝对磁导率。

在两种磁介质的交界面处，磁场的边界条件为： $B$ 的法向分量连续（ $B_{1n} = B_{2n}$ ）， $H$ 的切向分量连续（ $H_{1}$ ，在界面无自由表面电流时）。

$\boldsymbol{H}$ 场与 $\boldsymbol{B}$ 场在物理意义上有本质区别： $\boldsymbol{B}$ 是真正的磁感应强度，是对磁场的基本描述； $\boldsymbol{H}$ 是辅助量，由自由电流决定，方便工程计算中排除介质磁化的影响。

法拉第电磁感应定律

1831年，法拉第通过实验发现：当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电动势。磁通量定义为：

\Phi_B = \int_S \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{A}

单位为韦伯（ $\mathrm{Wb}$ ）， $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T \cdot m^2}$ 。

法拉第感应定律：回路中的感应电动势等于磁通量对时间变化率的负值，

\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}

负号体现了楞次定律：感应电流产生的磁场总是阻碍引起感应的磁通量变化。

将感应电动势写成沿回路的线积分，并利用斯托克斯定理，得到法拉第定律的微分形式：

\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}

这正是麦克斯韦方程组的第三个方程，将电场的旋转与磁场的时间变化联系在一起。

例题　一个矩形线圈，面积 $S = 0.020\,\mathrm{m^2}$ ，放置在匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面。磁场以均匀速率从 $B_0 = 0.10\,\mathrm{T}$ 增大到 $B_1 = 0.50\,\mathrm{T}$ ，历时。求线圈中的感应电动势大小。

\mathcal{E} = \left|\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}\right| = \frac{(B_1 - B_0)\,S}{\Delta t} = \frac{(0.50 - 0.10) \times 0.020}{0.40} = \frac{0.40 \times 0.020}{0.40} = 0.020\,\mathrm{V}

感应电动势为 $20\,\mathrm{mV}$ 。由楞次定律，感应电流产生的磁场方向与增大的外磁场方向相反。

自感与互感

当一个线圈中的电流发生变化时，它自身产生的磁通量也随之改变，从而在线圈自身中产生感应电动势，这种效应称为自感。

定义自感系数（自感量） $L$ ：

\Phi_{\text{自}} = L\,I \implies \mathcal{E}_L = -L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

单位为亨利（ $\mathrm{H}$ ）， $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{Wb/A}$ 。

对于无限长螺线管（匝数密度 $n$ 匝每米，截面积 $A$ ，长度 $l$ ），内部磁场均匀：

B = \mu_0 n I

总磁通量 $\Phi = nl \cdot BA = \mu_0 n^2 l A \cdot I$ ，因此自感量为：

L = \mu_0 n^2 l A = \mu_0 n^2 V

其中 $V = lA$ 是螺线管的体积。

当两个线圈靠近时，线圈1的电流变化会在线圈2中产生感应电动势，反之亦然，这称为互感。互感系数 $M$ 满足：

\mathcal{E}_2 = -M\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}, \qquad \mathcal{E}_1 = -M\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}

互感系数具有对称性（诺伊曼公式可以证明），即两线圈的互感系数相等： $M_{12} = M_{21}$ 。

变压器正是利用互感原理工作的：初级线圈中交变电流产生变化磁通，通过铁芯耦合到次级线圈，在其中感应出不同幅值的电压。升压还是降压，由匝数比决定。

磁场的能量

与电场储存能量类似，磁场也储存能量。对于自感为 $L$ 的线圈，电流为 $I$ 时储存的能量为：

W_L = \frac{1}{2}L I^2

用场量表达磁场能量密度，单位体积内磁场储存的能量为：

w_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 H^2}{2} = \frac{\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H}}{2}

在磁介质中， $\mu_0$ 替换为 $\mu = \mu_0\mu_r$ ：

w_B = \frac{B^2}{2\mu}

例题　螺线管长 $l = 0.30\,\mathrm{m}$ ，截面积 $A = 5.0\,\mathrm{cm^2} = 5.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ，线圈匝数密度，通有电流，铁芯相对磁导率。求（1）磁场强度，（2）磁感应强度，（3）储存的磁场能量。

（1） 由安培定律，螺线管内：

H = nI = 1000 \times 2.0 = 2000\,\mathrm{A/m}

（2） 磁感应强度：

B = \mu_0\mu_r H = 4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 2000 \approx 1.257\,\mathrm{T}

（3） 自感量 $L = \mu_0\mu_r n^2 lA = 4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 10^6 \times 0.30 \times 5.0 \times 10^{-4} \approx 0.0942\,\mathrm{H}$ ，磁场能量：

W_L = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2} \times 0.0942 \times (2.0)^2 \approx 0.188\,\mathrm{J}

练习题

选择题

题目一（知识点：毕奥-萨伐尔定律与安培定律）

无限长直导线通有电流 $I$ ，距导线 $r$ 处的磁感应强度大小为（　　）

A. $\dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}$ 　　B. $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ 　　C. 　　D.

答案：B

由安培定律，以导线为轴取半径 $r$ 的圆形安培回路， $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I$ ，解得 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ 。

题目二（知识点：法拉第感应定律与楞次定律）

一个闭合线圈水平放置，其上方有一块磁铁的 N 极垂直向下靠近线圈。从上方俯视，线圈中感应电流的方向为（　　）

A. 顺时针

B. 逆时针

C. 无法判断

D. 感应电流为零

答案：A

N 极向下靠近时，穿过线圈向下的磁通量增大。由楞次定律，感应电流要阻碍磁通量增大，其产生的磁场应向上（即在线圈内部向上），用右手定则，从上方俯视，感应电流为顺时针。

题目三（知识点：磁偶极矩）

一个矩形线圈，长 $a = 0.10\,\mathrm{m}$ ，宽 $b = 0.05\,\mathrm{m}$ ，通有电流 $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ，其磁偶极矩的大小为（　　）

A. $0.005\,\mathrm{A \cdot m^2}$ 　　B. $0.010\,\mathrm{A \cdot m^2}$ 　　C. $0.020\,\mathrm{A \cdot m^2}$ 　　D.

答案：B

m = I \cdot S = I \cdot ab = 2.0 \times 0.10 \times 0.05 = 0.010\,\mathrm{A \cdot m^2}

题目四（知识点：自感与能量）

一个螺线管的自感量为 $L$ ，通有电流 $I$ 。若电流增大到 $2I$ ，则其储存的磁场能量变为原来的（　　）

A. $2$ 倍　　B. $4$ 倍　　C. $\sqrt{2}$ 倍　　D. 不变

答案：B

磁场能量 $W = \dfrac{1}{2}LI^2$ ，电流增大到 $2I$ 后，能量变为 $\frac{1}{2} L (2 I)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} L I^{2}$ ，即变为原来的倍。

计算题

题目五（知识点：安培定律、法拉第感应定律）

一根无限长直导线通有随时间线性变化的电流 $I(t) = I_0 + \alpha t$ ，其中 $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$ ，。在距导线处，有一边长为的正方形线圈，线圈平面与导线所在平面相同（即磁力线穿过线圈）。

（1）写出 $t$ 时刻穿过线圈的磁通量表达式；

（2）求线圈中的感应电动势大小（取 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T \cdot m/A}$ ）。

解：
（1） 距导线 $x$ 处的磁感应强度为 $B(x,t) = \dfrac{\mu_0 I(t)}{2\pi x}$ 。

题目六（知识点：自感、互感与磁场能量）

两个共轴螺线管，均无磁芯，参数如下：螺线管 1 长 $l = 0.50\,\mathrm{m}$ ，截面积 $A = 4.0\,\mathrm{cm^2} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ，匝数；螺线管 2 密绕在螺线管 1 的外侧，匝数（近似认为两者截面积相同且磁场完全耦合）。

（1）求螺线管 1 的自感量 $L_1$ ；

（2）求两螺线管的互感系数 $M$ ；

（3）若螺线管 1 中的电流以 $\dfrac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} = 10\,\mathrm{A/s}$ 的速率变化，求螺线管 2 中的感应电动势大小。

解：
（1） 匝数密度 $n_1 = N_1/l = 1000/0.50 = 2000\,\mathrm{匝/m}$ ：

t

=

H_{2 t}

H_{1t} = H_{2t}

\dfrac{1}{2}L(2I)^2 = 4 \cdot \dfrac{1}{2}LI^2

L_1 = \mu_0 n_1^2 \, l A = 4\pi \times 10^{-7} \times (2000)^2 \times 0.50 \times 4.0 \times 10^{-4}

静磁学与法拉第定律 | 自在学

静磁学与法拉第定律

电流产生磁场

毕奥-萨伐尔定律

安培定律

矢量势

磁偶极矩

磁介质：磁化强度与 HHH 场

法拉第电磁感应定律

自感与互感

磁场的能量

练习题

选择题

计算题

磁介质：磁化强度与 $H$ 场