函数极限

函数极限把前几章的数列极限搬到函数图像的局部行为上。数列只有一个离散指标 $n$，函数极限则允许 $x$ 从许多方向、许多方式靠近同一个点。严格定义要排除“看起来差不多”的含糊说法，只保留可以被误差检验的陈述。

本章的目标很具体：会用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明简单极限，会判断左极限、右极限和无穷远极限，会使用四则运算与夹逼定理，并能用序列判别法证明某些函数极限不存在。

ε-δ 定义中的邻域盒：当 $0<|x-a|<\delta$ 时，函数值满足 $|f(x)-L|<\varepsilon$。

极限说的是靠近点时的函数值

设函数 $f$ 在 $a$ 附近有定义，但不要求在 $a$ 本身有定义。如果当 $x$ 充分靠近 $a$ 且 $x\ne a$ 时，$$ 可以被迫任意靠近数 ，我们就说 在 时的极限是 ，记作

这里有两个容易被忽略的点。第一，极限关注的是 $a$ 附近的输入，而不是 $x=a$ 这一点的函数值。第二，“靠近”不是凭图像感觉判断，而是由任意给定的误差要求来检验。

ε-δ 定义

严格定义如下：若对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得只要

就有

则称

量词顺序不能交换。证明时，$\varepsilon$ 是别人先给出的误差容许值，$\delta$ 是我们根据这个 $\varepsilon$ 选择的输入范围。$\delta$ 可以依赖 $\varepsilon$，但不能依赖某个临时选定的 $x$。

一个线性函数的定义证明

证明

这类题的关键是先把函数值误差化成输入误差：

如果希望 $|(3x-1)-5|<\varepsilon$，只要让 $3|x-2|<\varepsilon$，也就是让 $|x-2|<\varepsilon/3$。于是可以取

二次函数的局部控制

证明

误差为

这里多了一个因子 $|x+1|$。处理它的常见办法是先把 $x$ 限制在 $1$ 附近，例如要求 $|x-1|<1$，则 $0<x<2$，所以 。这样

为了让它小于 $\varepsilon$，可以再要求 $|x-1|<\varepsilon/3$。因此取

就能同时保证 $|x+1|$ 有界和误差小于 $\varepsilon$。

左极限、右极限与无穷远极限

双侧极限要求 $x$ 从 $a$ 的左右两边靠近时都指向同一个 $L$。如果只允许从一侧靠近，就得到左极限和右极限。

左极限记为

它的意思是：当 $x<a$ 且 $x$ 靠近 $a$ 时，$f(x)$ 靠近 $L$。右极限记为

它的意思是：当 $x>a$ 且 $x$ 靠近 $a$ 时，$f(x)$ 靠近 $L$。

左右极限不相等，则函数在该点的极限不存在。

双侧极限存在当且仅当左右极限都存在且相等：

当且仅当

分段函数的判断

设

当 $x\to 1^-$ 时，

当 $x\to 1^+$ 时，

因此双侧极限存在，且等于 $3$。注意题目没有给出 $f(1)$，这不影响极限。

如果把右侧改成 $x^2+3$，右极限就是 $4$，左右极限不同，双侧极限不存在。

无穷远处的极限

函数也可以在 $x$ 趋向无穷远时有极限。例如

表示：对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $M>0$，使得只要 $x>M$，就有

这里的输入条件不再是 $0<|x-a|<\delta$，而是“超过某个阈值 $M$”。它和数列极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义非常接近：数列要求 $n$ 足够大，函数要求 $$ 足够大。

无穷远处函数极限示意：当 $x$ 趋向正无穷时，函数值最终进入并保持在 $y=L$ 附近的 $\varepsilon$ 带内。

例如要证明

只需注意

给定 $\varepsilon>0$，取 $M>1/\varepsilon$。当 $x>M$ 时，$1/x<\varepsilon$，所以极限为 $2$。

极限的四则运算

如果

那么函数极限满足与数列极限类似的代数规则：

若 $B\ne 0$，并且 $g(x)$ 在 $a$ 附近不为 $0$，则

这些规则不是计算捷径的凭空许可。它们来自 $\varepsilon$-$\delta$ 定义，也可以由本章后面的序列判别法从数列极限运算法则推出。

用运算法则计算

求

分子和分母都是多项式，且分母在 $x=2$ 处极限为 $3\ne 0$。因此可以直接代入：

夹逼定理

夹逼定理处理的是“中间函数虽然不好直接算，但被两个好控制的函数夹住”的情况。

若在 $a$ 附近去掉 $a$ 后有

并且

则

夹逼定理：若函数在上界与下界之间，且两界在 $x$ 趋近 $a$ 时具有共同极限 $L$，则被夹函数也趋近 $L$。

标准例子

证明

因为对所有 $x\ne 0$，

乘以 $x^2\ge 0$ 得

又因为

所以由夹逼定理，

这个例子很适合区分“函数值振荡”和“振荡幅度”。$\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近一直振荡，但前面的 $x^2$ 把振荡幅度压到 $0$。

序列判别法

函数极限和数列极限之间有一条桥：只要 $x_n$ 是一列满足 $x_n\ne a$ 且 $x_n\to a$ 的数，那么函数值列 应该趋近同一个 。

函数极限的序列判别法可以表述为：

当且仅当对每个满足 $x_n\ne a$ 且 $x_n\to a$ 的数列，都有

这个定理把“所有靠近方式”翻译成“所有趋近于 $a$ 的数列”。证明极限存在时，它要求检查所有数列；证明极限不存在时，只要找到一列或两列反例，就足够推翻极限。

序列判别法：同一点，不同极限，因此函数极限不存在。

用序列证明不存在

证明

不存在。

取两列趋近于 $0$ 的输入：

和

显然 $x_n\to 0$ 且 $y_n\to 0$，并且两列都不等于 $0$。但

而

如果原函数极限存在，那么沿任何趋近 $0$ 的数列得到的函数值列都应趋向同一个数。现在两列给出不同极限，所以原函数极限不存在。

极限不存在的证明策略

极限不存在不是一句“图像很乱”。在实分析中，常用证明策略有三类：左右极限不同、两列趋近同一点但函数值极限不同、函数值无界或振荡不收敛。

函数极限不存在的三类常用证明策略。

策略一：左右极限不同

函数

在 $x\ne 0$ 时有定义。当 $x\to 0^+$ 时，$f(x)=1$；当 $x\to {}^{}$ 时，。左右极限不同，所以

不存在。

策略二：构造两列

对于 $\sin(1/x)$，左右两侧都没有稳定到某个值。此时用左右极限不如用序列判别法直接。构造两列 $x_n,y_n\to 0$，使函数值分别等于 $1$ 和 $$，就能证明极限不存在。

策略三：函数值无界

函数

当 $x\to 0$ 时函数值越来越大。若存在有限极限 $L$，取 $\varepsilon=1$，应存在 $\delta>0$，使得 $0<|x|<\delta$ 时有 ，这会强迫 。但总能取足够小的非零 让 ，矛盾。因此它在 处没有有限极限。

证明模板与练习

写 $\varepsilon$-$\delta$ 证明时，可以按下面的顺序组织：

证明极限不存在时，可以按下面的顺序组织：

自测题

证明：

判断下列极限是否存在：

用夹逼定理证明：

用序列判别法证明：

不存在。

本章小结

函数极限的核心是 $\varepsilon$-$\delta$ 定义：任意小的输出误差，都要能由足够小的输入误差保证。左极限、右极限和无穷远极限只是改变了“输入怎样靠近”的方式。

四则运算和夹逼定理让我们能计算和证明许多常见极限；序列判别法则把函数极限与数列极限连接起来。以后学习连续性时，函数极限会直接变成判断函数在一点是否连续的语言。

所以极限为 $10$。

并且 $-|x|\to 0$、$|x|\to 0$。由夹逼定理，原极限为 $0$。

则 $x_n\to 0$、$y_n\to 0$，且

而

两列函数值极限不同，所以原函数极限不存在。