连续性与连续函数的基本性质 | 实分析 I | 自在学

连续性与连续函数的基本性质

连续性把“输入的微小变化”翻译成“输出的微小变化”。实分析里的连续不是靠图像看起来不断，而是靠一个可检验的条件：只要先指定函数值允许偏离的范围，就能反过来找到自变量允许偏离的范围。

本章的目标有三件事。第一，会用 $\varepsilon$ - $\delta$ 定义证明函数在一点连续。第二，会用序列判别法证明连续或构造不连续的反例。第三，会把间断点按极限行为分类，并能识别几类典型反例。

点连续的 ε-δ 邻域示意图，展示 c 的 δ 邻域如何控制 f(c) 附近的 ε 带

连续性是一个局部概念。说函数在 $c$ 连续，只看 $x$ 接近 $c$ 时的行为；远处图像再复杂，也不影响这个判断。

点连续与区间连续

设 $f$ 是定义在集合 $E\subset \mathbb{R}$ 上的实值函数，且 $c\in E$ 。我们说 $f$ 在点 $c$ 连续，是指对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得只要 $x\in E$ 且 $|x-c|<\delta$ ，就有

|f(x)-f(c)|<\varepsilon

这句话的顺序不能换。证明时， $\varepsilon$ 是别人先给的容许误差； $\delta$ 是我们根据这个误差和点 $c$ 的位置挑出来的控制半径。

如果 $f$ 在集合 $E$ 的每一点都连续，就说 $f$ 在 $E$ 上连续。若 $E$ 是区间，例如 $[a,b]$ 、 $(a,b)$ 或，就常说在这个区间上连续。

端点处的连续要按定义域理解。比如函数定义在 $[a,b]$ 上时，在 $a$ 处只需要考察 $x\in[a,b]$ 且 $x\to a$ 的情形，也就是右侧靠近；在 $b$ 处只需要左侧靠近。用极限语言说，就是端点处采用相对定义域的极限。

“在区间上连续”不是说图像可以用笔一笔画出。实分析里先看定义域，再看每一点的 $\varepsilon$ - $\delta$ 条件。定义域中没有的点，不参与连续性判断。

用定义证明连续

证明点连续最常见的结构是：从 $|f(x)-f(c)|$ 出发，把它估计成含有 $|x-c|$ 的表达式，再选择 $\delta$ 让这个表达式小于 $\varepsilon$ 。

线性函数

证明 $f(x)=3x-2$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 连续。

先写出要控制的量： $|f(x)-f(c)|=|(3x-2)-(3c-2)|=3|x-c|$ 。

二次函数

证明 $f(x)=x^2$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 连续。

关键估计是

|x^2-c^2|=|x-c||x+c|

右边除了 $|x-c|$ ，还多了 $|x+c|$ 。做法是先用一个粗略条件把 $x$ 限制在 $c$ 附近。例如要求 $|x-c|<1$ ，则，所以

|x+c|\le |x|+|c|<2|c|+1

于是只要同时满足

|x-c|<1

和

|x-c|<\frac{\varepsilon}{2|c|+1}

就有 $|x^2-c^2|<\varepsilon$ 。因此取

\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|c|+1}\right\}

即可。

遇到乘积估计时，常先用一个固定的小半径控制“旁边那一因子”，再用 $\varepsilon$ 控制真正趋于 $0$ 的因子。这个技巧会反复出现。

下面的交互件可以帮助你观察 $\varepsilon$ 带与 $\delta$ 邻域之间的关系。

极限语言中的连续

如果 $c$ 是定义域 $E$ 的聚点，且 $c\in E$ ，那么 $f$ 在 $c$ 连续等价于

\lim_{x\to c,\,x\in E} f(x)=f(c)

这个等价式把连续性拆成两件事：函数值 $f(c)$ 必须存在；当 $x$ 在定义域内趋近 $c$ 时， $f(x)$ 的极限必须存在，并且等于这个函数值。

这种表达方式很适合判断间断。若极限不存在、极限存在但不等于函数值，或者函数在该点没有定义，都不能说它在该点连续。

例子：可补的缺口

设

f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x\ne 1,\\ 0, & x=1. \end{cases}

当 $x\ne 1$ 时， $f(x)=x+1$ ，所以

\lim_{x\to 1} f(x)=2

但 $f(1)=0$ 。极限存在，函数值也存在，只是二者不相等，所以 $f$ 在 $1$ 处不连续。若把 $f(1)$ 改成 $2$ ，这个点的间断就被补掉。

序列判别法

连续性的序列判别法说：设 $f:E\to\mathbb{R}$ ， $c\in E$ 。函数 $f$ 在 $c$ 连续，当且仅当对每一个满足 $x_n\in E$ 且的数列，都有

f(x_n)\to f(c)

连续性的序列判别法示意图，左侧数列 x_n 收敛到 c，右侧函数值 f(x_n) 收敛到 f(c)，并含不连续反例角标。

这个判别法把“所有足够近的点”换成“任意靠近的路径”。证明连续时，它给出一种可读性很强的思路；证明不连续时，它更常用，因为只要找到一个反例数列即可。

为什么它成立

若 $f$ 在 $c$ 连续，取任意 $x_n\to c$ 。给定 $\varepsilon>0$ ，连续性给出 $\delta>0$ 。因为，存在，使得时。于是，所以。

反过来，若 $f$ 在 $c$ 不连续，则存在某个 $\varepsilon_0>0$ ，使得无论 $\delta>0$ 多小，总能找到 $x\in E$ 满足，但

|f(x)-f(c)|\ge \varepsilon_0

令 $\delta=1/n$ ，可以选出 $x_n\in E$ ，使得 $|x_n-c|<1/n$ 且。这样，但不趋于，与序列条件矛盾。

用序列证伪连续

设

f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ 0, & x=0,\\ -1, & x<0. \end{cases}

判断 $f$ 在 $0$ 是否连续。取 $x_n=1/n$ ，则 $x_n\to 0$ ，但。因此在不连续。

也可以取 $y_n=-1/n$ ，则 $f(y_n)=-1$ 。左右两条路径给出不同的函数值极限，说明这里不是函数值设置错了那么简单，而是左右极限本身不一致。

连续函数的四则运算

设 $f,g:E\to\mathbb{R}$ 都在 $c\in E$ 连续。则下面的函数也在 $c$ 连续：

f+g,\quad f-g,\quad fg

如果还满足 $g(c)\ne 0$ ，那么 $\frac{f}{g}$ 也在 $c$ 连续。

连续函数在加法、减法、乘法和除法运算下保持连续性的中文教学信息图

证明可以直接使用极限运算法则。由于 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 连续，

\lim_{x\to c} f(x)=f(c),\qquad \lim_{x\to c} g(x)=g(c)

所以

\lim_{x\to c} (f(x)+g(x))=f(c)+g(c)

乘积、差和商同理。商的结论必须要求 $g(c)\ne 0$ ，因为连续性会保证 $x$ 充分靠近 $c$ 时 $g(x)$ 也不等于 $0$ ，商才在附近有意义。

常见结论

多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。原因是常数函数与恒等函数 $x$ 连续，而多项式由有限次加法和乘法构成。

有理函数在分母不为 $0$ 的每一点连续。若

R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}

其中 $p,q$ 是多项式，则 $R$ 在每个满足 $q(c)\ne 0$ 的点 $c$ 连续。

四则运算的结论是局部的。 $\frac{f}{g}$ 在 $c$ 连续，需要的是 $g(c)\ne 0$ ，不是“ 永远不为 0”。但如果要说它在整个集合上连续，就要检查集合中每一点的分母。

复合函数连续

设 $g:E\to F$ 在 $c\in E$ 连续， $f:F\to\mathbb{R}$ 在 $g(c)$ 连续，则复合函数在连续。

复合函数连续性的三段数轴示意图，展示 x 接近 c，经 g 映到 g(x) 接近 g(c)，再经 f 映到 f(g(x)) 接近 f(g(c))。

用序列判别法证明很短。若 $x_n\to c$ ，由于 $g$ 在 $c$ 连续，有

g(x_n)\to g(c)

再由于 $f$ 在 $g(c)$ 连续，有

f(g(x_n))\to f(g(c))

于是 $f\circ g$ 在 $c$ 连续。

用 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言证明时，顺序是“外层先提出要求，内层负责满足要求”。给定 $\varepsilon>0$ ，由 $f$ 在 $g(c)$ 连续，存在 $\eta>0$ ，使得

|u-g(c)|<\eta \Longrightarrow |f(u)-f(g(c))|<\varepsilon

再由 $g$ 在 $c$ 连续，存在 $\delta>0$ ，使得

|x-c|<\delta \Longrightarrow |g(x)-g(c)|<\eta

合起来就得到

|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(g(x))-f(g(c))|<\varepsilon

间断点的类型

在点 $c$ 处不连续时，先问左右极限和双侧极限发生了什么。这个顺序能把大多数例子分清。

四宫格信息图，比较可去间断、跳跃间断、无穷间断和振荡间断的函数图像特征

可去间断

如果

\lim_{x\to c} f(x)

存在且有限，但 $f(c)$ 没有定义，或 $f(c)$ 与这个极限不相等，就叫可去间断。它的“坏”只发生在函数值本身；改一个点的值就能让函数连续。

跳跃间断

如果左右极限都存在且有限，但不相等，即

\lim_{x\to c^-} f(x)\ne \lim_{x\to c^+} f(x)

就叫跳跃间断。阶跃函数、符号函数都属于这类典型例子。

无穷间断

如果 $x\to c$ 时函数值无界，例如 $f(x)=1/x$ 在 $0$ 附近的行为，就属于无穷间断。此时有限极限不存在，也不可能通过修改一个点的值补好。

振荡间断

如果函数在 $c$ 附近持续振荡，无法收敛到某个有限值，例如

f(x)=\sin\frac{1}{x}

在 $0$ 附近的行为，就属于振荡间断。可以用两条数列证伪极限存在：取使正弦值为 $1$ 的点列和使正弦值为 $-1$ 的点列，它们都趋于 $0$ ，但函数值趋向不同结果。

典型反例

连续函数的性质很整齐，但反例提醒我们：这些性质的假设不能省略。下面几类函数在实分析里很常见。

Dirichlet 函数处处不连续

定义

D(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\ 0, & x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}

在任意点 $c$ ，都可以找到有理数列 $r_n\to c$ 和无理数列 $s_n\to c$ 。于是

D(r_n)=1,\qquad D(s_n)=0

如果 $D$ 在 $c$ 连续，则对任意趋于 $c$ 的数列，函数值都应趋于同一个 $D(c)$ 。但这里两条数列给出不同的函数值极限，所以 $D$ 在每一点都不连续。

仅在一点连续

定义

F(x)=xD(x)

其中 $D$ 是上面的 Dirichlet 函数。因为 $D(x)$ 只取 $0$ 和 $1$ ，所以

|F(x)-F(0)|=|xD(x)|\le |x|

当 $x\to 0$ 时，右边趋于 $0$ ，由夹逼思想可知 $F(x)\to 0=F(0)$ ，因此 $F$ 在 $0$ 连续。

若 $c\ne 0$ ，取有理数列 $r_n\to c$ 与无理数列 $s_n\to c$ ，则

F(r_n)=r_n\to c,\qquad F(s_n)=0\to 0

由于 $c\ne 0$ ，两条路径的函数值极限不同，所以 $F$ 在 $c$ 不连续。

处处不连续与仅在 0 连续的典型反例信息图，左侧为 Dirichlet 函数，右侧为 x 乘 Dirichlet 函数。

稠密性会制造强反例。有理数和无理数在每个区间里都存在，所以只要函数对这两类点给出互不相容的行为，连续性通常会被序列判别法立刻击破。

方法小结

判断连续性时，可以按下面的顺序走。

先确认点 $c$ 在定义域中。函数没有在 $c$ 定义时，不能说它在 $c$ 连续。
若题目要求用定义证明，直接估计 $|f(x)-f(c)|$ ，并把它压到 $\varepsilon$ 以下。
若函数由已知连续函数通过四则运算或复合得到，优先使用连续函数的闭合性质。
若要证明不连续，优先尝试找一条或两条趋于 $c$ 的数列，使函数值不趋于，或给出两个不同的极限。

练习

判断函数

f(x)= \begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x\ne 0,\\ 0, & x=0 \end{cases}

在 $0$ 处是否连续。

因为 $|\sin(1/x)|\le 1$ ，所以当 $x\ne 0$ 时，

|f(x)-f(0)|=\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le |x|

判断函数

g(x)= \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & x\ne 0,\\ 0, & x=0 \end{cases}

在 $0$ 处是否连续，并说明间断类型。

取

x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}

c