中值定理及其后果

导数把函数在一点附近的变化压缩成一个数。中值定理做的事情，是把整段区间上的变化再拉回到某个点：端点之间的平均变化率，必须在区间内部由某个瞬时变化率承担。

这一章围绕这条线展开。我们先证明 Fermat 定理和 Rolle 定理，再得到 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理；之后把它们用于判断单调性、常值函数、导数的 Darboux 性质；最后进入 Taylor 定理，把“某处存在一个导数值”变成“局部近似有可控误差”。

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极值点的导数

Fermat 定理

设函数 $f$ 在点 $c$ 的某个邻域内有定义，并且在 $c$ 处取得局部极大值或局部极小值。如果 $f'(c)$ 存在，那么

$$f'(c)=0$$

这个结论叫 Fermat 定理。它说的不是“极值点一定有导数”，而是“可导的内部极值点，导数只能为零”。

证明只用导数定义。若 $c$ 是局部极大值，则当 $x$ 充分靠近 $c$ 时，

$$f(x)-f(c)\le 0$$

对 $x>c$，有

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0$$

令 $x\to c^+$，得到右导数不大于 $0$。对 $x<c$，由于 $x-c<0$，不等号方向改变：

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0$$

令 $x\to c^-$，得到左导数不小于 $0$。若左右导数相等，它们只能同为 $0$。局部极小值的证明同理，只是不等号反向。

从 Fermat 到 Rolle

Rolle 定理是 Fermat 定理在闭区间上的第一个成品。

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且

$$f(a)=f(b)$$

则存在 $c\in(a,b)$，使得

$$f'(c)=0$$

两端等高时，连续曲线如果不是常值，就必须在内部先上升再下降或先下降再上升，于是出现水平切线。

证明分两种情况。如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上是常值函数，那么任取 $c\in(a,b)$，都有 $f'(c)=0$。

如果 $f$ 不是常值函数，由连续函数在闭区间上取到最大值和最小值可知，$f$ 有最大值点和最小值点。又因为两端函数值相同，而函数不是常值，所以最大值或最小值至少有一个出现在内部点 $c\in(a,b)$。在这个内部极值点处，Fermat 定理给出 $f'(c)=0$。

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Lagrange 中值定理

Lagrange 中值定理通常简称中值定理。它把“端点之间的平均变化率”与“某一点的瞬时变化率”连起来。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。则存在 $c\in(a,b)$，使得

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

中值定理说，某个内部点的切线斜率会追上端点割线斜率。

证明的核心是“减掉割线”。令

$$g(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$$

括号中的函数是经过 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的直线。于是

$$g(a)=g(b)=0$$

并且 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导。由 Rolle 定理，存在 $c\in(a,b)$，使得 $g^{\mathrm{\prime }}(c)$。而

$$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

所以

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

用中值定理估计差值

中值定理最常见的用法，是把函数差值写成导数乘长度。若 $x\ne y$，在 $[x,y]$ 或 $[y,x]$ 上应用中值定理，存在 $\xi$ 介于 $$ 与 之间，使得

$$f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)$$

因此，只要能控制导数，就能控制函数值的变化。

若 $|f'(t)|\le M$ 对区间内所有 $t$ 成立，则

$$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$$

这就是 Lipschitz 型估计。它不需要知道中值点 $\xi$ 在哪里，只需要知道它一定在区间里。

例题：用导数界控制误差

证明对任意 $x,y\in\mathbb{R}$，

$$|\sin x-\sin y|\le |x-y|$$

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Cauchy 中值定理

Lagrange 中值定理比较一个函数的变化率。Cauchy 中值定理比较两个函数的变化率。

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。则存在 $c\in(a,b)$，使得

$$\bigl(f(b)-f(a)\bigr)g'(c)=\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f'(c)$$

如果进一步有 $g(b)\ne g(a)$ 且 $g'(c)\ne0$，就可以写成比例形式：

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

把 $t\mapsto (g(t),f(t))$ 看成参数曲线，Cauchy 定理说某个内部切向量与端点弦向量平行。

证明仍然是 Rolle 定理。构造

$$F(x)=\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\bigl(g(x)-g(a)\bigr) -\bigl(g(b)-g(a)\bigr)\bigl(f(x)-f(a)\bigr)$$

直接计算可得

$$F(a)=F(b)=0$$

由 Rolle 定理，存在 $c\in(a,b)$，使 $F'(c)=0$。展开导数：

$$\bigl(f(b)-f(a)\bigr)g'(c) -\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f'(c)=0$$

这正是 Cauchy 中值定理。

例题：一个商的极限

用 Cauchy 中值定理证明

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

对 $x\ne0$，在 $0$ 与 $x$ 之间对 $f(t)=\sin t$ 和 $g(t)=t$ 使用 Cauchy 中值定理。存在 介于 与 之间，使得

$$\frac{\sin x-\sin 0}{x-0} = \frac{\cos \xi}{1}$$

也就是

$$\frac{\sin x}{x}=\cos \xi$$

当 $x\to0$ 时，夹在 $0$ 与 $x$ 之间的 $\xi\to0$，所以 $\cos \xi\to1$。结论成立。

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单调性和常值函数

导数符号推出单调性

中值定理把两个点之间的函数差写成

$$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$$

其中 $x_1<x_2$ 且 $c\in(x_1,x_2)$。因此导数的符号会传递给函数差。

若 $f'(x)\ge0$ 在区间内处处成立，则对任意 $x_1<x_2$，

$$f(x_2)-f(x_1)\ge0$$

所以 $f$ 在该区间上单调不减。类似地，若 $f'(x)\le0$，则 $f$ 单调不增。若 $f'(x)>0$ 处处成立，则 严格递增；若 处处成立，则 严格递减。

导数符号不是点缀信息；通过中值定理，它会变成任意两点函数值的大小关系。

导数恒为零推出常值

若 $f$ 在区间 $I$ 上可导，并且

$$f'(x)=0,\quad x\in I$$

则 $f$ 在 $I$ 上是常值函数。

证明很短。任取 $x_1<x_2$，在 $[x_1,x_2]$ 上应用中值定理，存在 ，使得

$$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)=0$$

所以 $f(x_1)=f(x_2)$。任意两点函数值相等，函数就是常值。

严格单调的一个细节

如果 $f'(x)>0$ 处处成立，那么严格递增没有问题。但反过来不成立：严格递增函数的导数可以在某些点等于 $0$。例如

$$f(x)=x^3$$

在整个实线上严格递增，但 $f'(0)=0$。导数符号判定是一条充分条件，不是完整刻画。

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Darboux 性质入门

连续函数有介值性质：从一个值变到另一个值，中间值不能跳过。导数即使不连续，也有类似性质。这叫导数的 Darboux 性质。

设 $f$ 在区间上可导，若 $x_1<x_2$，并且 $f'(x_1)<\lambda<f'(x_2)$，那么存在 ，使得

$$f'(c)=\lambda$$

另一种方向 $f'(x_2)<\lambda<f'(x_1)$ 也成立。

导数可以不连续，但不能像阶跃函数那样突然从一个导数值跳到另一个导数值而漏掉中间值。

我们只看证明思路。给定介于两个端点导数之间的 $\lambda$，考虑

$$h(x)=f(x)-\lambda x$$

则

$$h'(x)=f'(x)-\lambda$$

若 $h'(x_1)<0$ 且 $h'(x_2)>0$，直观上 在左端附近下降，在右端附近上升。于是 在 的最小值不能只靠端点承担；它会落在内部某点 。由 Fermat 定理，，从而 。

这个结论解释了一个常见现象：导函数不一定连续，但它不像任意函数那样自由。若有人给出一个“导函数”的图像，其中导数值从 $-1$ 瞬间跳到 $1$，却没有任何位置取到 $0$，那它不可能是某个处处可导函数的导数。

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Taylor 定理与余项估计

Taylor 公式的目标，是用中心点附近的导数信息构造多项式近似。中值定理给它补上最关键的一块：误差不是一句“高阶小量”的口头说明，而是可以写成带有某个中间点的余项。

设 $f$ 在包含 $a$ 与 $x$ 的区间上有 $n+1$ 阶导数。则存在介于 $a$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

最后一项叫 Lagrange 型余项：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

Taylor 多项式不是只画一条像函数的曲线；余项界告诉我们这条曲线在多大范围内可信。

如果在 $a$ 与 $x$ 之间有

$$|f^{(n+1)}(t)|\le M$$

那么余项满足

$$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

这就是 Taylor 估计最实用的形态。

例题：估计指数函数

用 $1+x+\frac{x^2}{2}$ 近似 $e^x$，估计当 时的误差。

这里 $a=0$，$n=2$。Taylor 公式给出

$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2} +\frac{e^\xi}{6}x^3$$

其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。当 $|x|\le0.1$ 时，$|\xi|\le0.1$，所以

$$e^\xi\le e^{0.1}$$

于是

$$\left|e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\right| \le \frac{e^{0.1}}{6}|x|^3 \le \frac{e^{0.1}}{6}\cdot 0.001$$

也就是误差小于约 $1.85\times10^{-4}$。这个估计说明：近似公式的可靠性来自余项，不来自图像“看起来贴近”。

选择阶数与区间

Taylor 公式有两个可调对象：阶数 $n$ 和区间半径 $|x-a|$。阶数提高会让分母出现阶乘，但余项里也有更高阶导数的界。区间变大时，$|x-a|^{n+1}$ 可能迅速放大。实际估计时，要同时看这两件事。

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小结与练习

本章小结

Fermat 定理说明可导的内部极值点必须满足 $f'=0$。Rolle 定理把闭区间连续性、内部可导性和端点等高结合起来，保证内部出现水平切线。Lagrange 中值定理通过减掉割线，把一般端点变化转化为 Rolle 形态。Cauchy 中值定理进一步比较两个函数的增量比例。

中值定理的应用不只在“找某个点”。它让导数符号推出单调性，让 $f'=0$ 推出函数常值，也给 Taylor 余项提供了可估计的中间点。Darboux 性质提醒我们，导数即使不连续，也保留介值性质。

练习

1. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)=0$。证明若 不是零函数，则存在 使 。

2. 证明对 $x>0$，有 $\ln x\le x-1$。

3. 设 $f'(x)=g'(x)$ 在区间 $I$ 上处处成立。证明 $f-g$ 在 上是常值函数。

4. 用 Taylor 公式证明当 $|x|\le 0.2$ 时，

$$\left|\cos x-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\right| \le \frac{|x|^4}{24}$$