导数的定义、法则与局部线性化

导数在微积分里常被当作一张公式表：多项式怎么求，乘积怎么求，复合函数怎么求。实分析要做的事不同。我们从极限定义重新建造导数，弄清楚每条法则为什么成立，也弄清楚它们需要哪些假设。

这一章只研究实函数在一点附近的可导性。设函数 $f$ 在包含 $c$ 的某个邻域内有定义，至少在 $c$ 附近除 $c$ 外也能取值。导数讨论的是当 $x$ 越来越靠近 $c$ 时，函数增量和自变量增量之间的比值有没有稳定下来。

差商极限

在点 $c$ 附近，割线斜率是

其中 $x\neq c$。如果这个比值在 $x\to c$ 时有极限，我们把这个极限称为 $f$ 在 $c$ 处的导数，记作 $f'(c)$：

也常把 $x$ 写成 $c+h$。这时 $h\to 0$ 且 $h\neq 0$，定义变成

两个形式完全等价。$x$ 形式强调“移动点向固定点靠近”，$h$ 形式强调“增量趋向零”。证明中通常用 $h$ 形式更方便，讨论图像时用 $x$ 形式更直观。

下面的交互把 $h$ 作为可调参数。留意 $|x|$ 在 $0$ 处的表现：左右两边的割线斜率分别趋向不同的数，所以差商没有极限。

从定义证明简单函数可导

证明 $f(x)=x^2$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 处可导，不需要求导表，只需要整理差商：

当 $h\to 0$ 时，$2c+h\to 2c$，所以

同样，若 $f(x)=ax+b$，则

因此 $f'(c)=a$。这说明直线函数的导数就是它的固定斜率。

不可导的典型信号

函数 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但不可导。它的差商是

当 $h>0$ 时这个比值等于 $1$，当 $h<0$ 时等于 $-1$。左右极限不同，所以导数不存在。

可导与连续

可导比连续强。直观上，若函数在 $c$ 附近能被一条斜率有限的直线捕捉，它不可能在 $c$ 处突然跳开。严格证明也很短，但它揭示了导数定义里最重要的结构。

定理与证明

若 $f$ 在 $c$ 处可导，则 $f$ 在 $c$ 处连续。

这证明了 $f$ 在 $c$ 处连续。

注意证明没有使用图像，也没有使用任何求导公式。它只用到了“差商有有限极限”这一件事。反过来不成立：连续函数未必可导，$|x|$ 在 $0$ 处就是最小反例。

求导法则从哪里来

求导法则不是独立记忆项。每条法则都来自差商的代数拆分，再用已经学过的函数极限法则收尾。下面把最常用的几条法则从定义中推出来。

线性法则

若 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，则 $\alpha f+\beta g$ 在 处可导，且

证明直接来自差商：

两项分别取极限即可。

乘积法则

若 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，则 $fg$ 在 $c$ 处可导，且

乘积法则的关键是加上再减去同一项：

因为可导推出连续，所以 $g(c+h)\to g(c)$。再令 $h\to 0$，得到乘积法则。

图里的小矩形 $\Delta f\,\Delta g$ 对应“二阶小量”。在严格证明中它没有被随手扔掉，而是通过差商拆分和极限运算自然消失。

倒数与商法则

若 $g$ 在 $c$ 处可导且 $g(c)\neq 0$，则 $1/g$ 在 $c$ 处可导。先看差商：

因为 $g$ 在 $c$ 处连续且 $g(c)\neq 0$，所以 $h$ 足够小时 $g(c+h)$ 不为 ，并且 。于是

把乘积法则应用到 $f\cdot(1/g)$，得到商法则：

用法则计算，但记得它们的来源

例如 $p(x)=3x^3-2x+5$。已经从定义知道 $x^2$ 的导数，也可以类似证明 $x^n$ 的导数为 。结合线性法则，得到

实分析中，计算不是目标本身。我们更关心的是：这些公式之所以可靠，是因为差商极限与连续性、代数拆分配合得很好。

链式法则的严格讨论

链式法则说，若 $g$ 在 $c$ 处可导，$f$ 在 $g(c)$ 处可导，则复合函数 $f\circ g$ 在 $c$ 处可导，且

直觉上，$x$ 的小变化先经过 $g$ 变成 $u$ 的小变化，再经过 $f$ 变成函数值的变化。变化率相乘，就是复合函数的变化率。

常见但不严谨的写法

很多人会写

然后让 $x\to c$。这个想法是对的，但写法有漏洞：可能存在许多 $x\neq c$ 使 $g(x)=g(c)$，此时第一项分母为 $0$，不能直接这样拆。

严格证明要避免这个漏洞。

用辅助函数证明

令 $u_0=g(c)$。因为 $f$ 在 $u_0$ 处可导，定义辅助函数

由导数定义可知，$\Phi$ 在 $u_0$ 处连续。并且对所有靠近 $u_0$ 的 $u$，都有

把 $u=g(x)$ 代入：

当 $x\neq c$ 时除以 $x-c$：

因为 $g$ 在 $c$ 处可导，所以 $g$ 在 $c$ 处连续，故 $g(x)\to g(c)=u_0$。又因为 在 处连续，

同时

两者相乘，得到链式法则。

下面的交互把这个证明拆成可移动的逻辑块。重点不是背公式，而是看见“内层变化先有线性近似，外层变化再吃掉这个近似”的顺序。

高阶导数

如果 $f$ 在一个区间上可导，那么 $f'$ 本身也是一个函数。若 $f'$ 在 $c$ 处可导，就称 $f$ 在 $$ 处二阶可导，并记

继续下去，可以定义三阶导数、四阶导数和一般的 $n$ 阶导数：

其中 $f^{(0)}=f$。

一阶导数描述函数值的瞬时变化率。二阶导数描述一阶导数的变化率，也就是斜率怎样变化。若 $f''(c)>0$，通常表示在 $c$ 附近斜率正在增加；若 $f''(c)<0$，通常表示斜率正在减少。严格的凹凸性质会在后续中值定理和 Taylor 估计中进一步讨论。

例子

设

则

并且

在 $x=0$ 处，$f''(0)=-6$，说明一阶导数在 $0$ 附近以负方向变化。图像上这对应函数在 $0$ 附近向下弯。

局部线性化

导数最有力量的解释是局部线性化。若 $f$ 在 $c$ 处可导，那么

是 $f$ 在 $c$ 附近的一阶线性近似。更精确地说，存在误差函数 $r(x)$，使得

并且

这句话比“曲线看起来像切线”更严格。它说误差不仅趋于 $0$，而且误差相对于 $|x-c|$ 还要更小。

可导性的等价说法

下面的命题经常比差商定义更好用：$f$ 在 $c$ 处可导，当且仅当存在实数 $A$ 和误差函数 $r$，使

且

这时 $A=f'(c)$。

从导数定义出发，取

则

反过来，如果有这样的表示，则

所以 $f'(c)=A$。

误差视角的价值

差商定义告诉我们“斜率极限存在”。局部线性化告诉我们“函数在足够小的尺度下等于线性部分加上更小的误差”。很多后续定理都会沿着这个想法展开：中值定理把局部斜率和整体增量联系起来，Taylor 定理则把一次线性化推广为高阶多项式近似。

证明练习

练习的重点不是算得快，而是把每个结论放回定义。遇到求导公式时，先问：这个公式来自哪一个差商拆分？

练习：三次函数

用定义证明 $f(x)=x^3$ 在任意 $c$ 处可导，并求 $f'(c)$。

练习：连续但不可导

证明 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但在 $0$ 处不可导。

练习：乘积法则的一个应用

已知 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，且 $f(c)=0$。证明

练习：链式法则的特殊情形

设 $g(c)=0$，$g$ 在 $c$ 处可导，$f(u)=u^2$。用定义证明 $($。

本章小结

导数的定义是差商极限：

一旦这个极限存在，函数在该点必定连续。求导法则来自差商的代数拆分；乘积法则需要用到可导推出连续，商法则还需要分母在研究点不为零。链式法则的严格证明最好使用辅助函数，避免在 $g(x)=g(c)$ 时出现非法除法。

局部线性化把导数理解为最佳一阶近似：

其中

这会成为后续中值定理、Taylor 估计和误差分析的入口。

令 $h\to 0$，得到

当 $h>0$ 时等于 $1$，当 $h<0$ 时等于 $-1$。左右极限不同，所以导数不存在。

因为 $f(c)=0$，第二项为 $0$，所以

也可以直接从差商证明：

再用 $g(c+h)\to g(c)$。

由 $g(c)=0$，上式为

可导推出连续，因此 $g(c+h)\to g(c)=0$；同时差商趋于 $g'(c)$。乘积极限为 $0$。