参数 a：开口方向与宽窄

上一节我们把 $y=x^2$ 看成最基本的抛物线。它的顶点在原点，对称轴是 $y$ 轴，开口向上。现在只改一个地方：把平方项前面乘上一个数 $a$ 。

y=ax^2

这个 $a$ 叫作二次项系数。它不负责把图像左右移动，也不负责把顶点抬高或降低。在 $y=ax^2$ 里，顶点仍然是原点，对称轴仍然是 $y$ 轴。它真正改变的是两件事：抛物线朝上还是朝下，以及抛物线张得宽还是收得窄。

坐标系中叠加展示 y=x²、y=2x²、y=0.5x² 和 y=-x² 四条抛物线，说明参数 a 对开口方向和宽窄的影响。

参数 $a$ 改变抛物线 $y=ax^2$ 的开口方向与宽窄： $a=2$ 更窄， $a=0.5$ 更宽， $a<0$ 向下。

先看符号：开口向上还是向下

判断 $y=ax^2$ 的开口方向，先看 $a$ 的正负。

当 $a>0$ 时， $x^2$ 本来非负，乘上正数后仍然非负，所以除顶点外，图像都在 $x$ 轴上方。抛物线开口向上。

当 $a<0$ 时， $x^2$ 仍然非负，但乘上负数后变成非正，所以除顶点外，图像都在 $x$ 轴下方。抛物线开口向下。

左右并排的两个坐标图，对比正系数时开口向上、负系数时开口向下，两个抛物线顶点都在原点。

$a$ 的符号决定抛物线的开口方向： $a>0$ 开口向上， $a<0$ 开口向下，顶点都在原点。

在二次函数里， $a$ 不能等于 $0$ 。如果 $a=0$ ，式子会变成 $y=0$ ，图像是一条直线，不再是抛物线。

看几个式子，不必画图也能先判断方向。

y=3x^2

这里 $a=3>0$ ，开口向上。

y=-0.8x^2

这里 $a=-0.8<0$ ，开口向下。

y=-\frac{5}{2}x^2

这里 $a=-\frac{5}{2}<0$ ，开口向下。

再看绝对值：图像宽还是窄

开口方向由 $a$ 的符号决定，宽窄要看 $|a|$ 。

这里的“宽”和“窄”不是随便看图形胖瘦，而是相对于基本抛物线 $y=x^2$ 来说：在离开顶点相同的水平距离处，函数值变化越快，图像看起来越窄；函数值变化越慢，图像看起来越宽。

当 $|a|>1$ 时，图像比 $y=x^2$ 更窄。比如 $y=3x^2$ 中，同样取 $x=1$ ，函数值从 $1$ 变成 $3$ ；同样取 $x=2$ ，函数值从 $4$ 变成 $12$ 。点被拉得更高，曲线就更陡。

当 $0<|a|<1$ 时，图像比 $y=x^2$ 更宽。比如 $y=\frac{1}{2}x^2$ 中，同样取 $x=2$ ，函数值是 $2$ ，比 $y=x^2$ 的 $4$ 小，所以曲线张得更开。

同一坐标系中展示 y=0.5x²、y=x²、y=3x² 三条上开口抛物线，并用水平线 y=4 比较交点左右距离，说明 |a| 越大图像越窄。

$|a|$ 越大，抛物线开口越窄； $0<|a|<1$ 时，开口更宽。

比较宽窄时，不要只看 $a$ 的大小顺序。 $-3$ 比 $-1$ 小，但 $|-3|$ 比 $|-1|$ 大，所以 $y=-3x^2$ 比 $y=-x^2$ 更窄。

用数表解释拉伸与压缩

“更窄”和“更宽”可以从数表里看出来。先比较 $y=x^2$ 和 $y=2x^2$ 。

$x$	$x^2$	$2x^2$
$-2$	$4$	$8$
$-1$	$1$	$2$
$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$2$
$2$	$4$	$8$

同一个 $x$ ， $2x^2$ 的结果总是 $x^2$ 的 $2$ 倍。图像上的点不是向左或向右移动，而是离 $x$ 轴更远了。这种变化叫作纵向拉伸。

数表对比 y=x² 与 y=2x² 在相同 x 值下的输出，并连接到两条抛物线，说明 a=2 时图像纵向拉伸。

同一个 x 下，a=2 时 y 值翻倍，因此 y=2x² 的抛物线比 y=x² 更窄、更陡。

如果把系数换成 $\frac{1}{2}$ ，每个函数值会变成原来的一半。点离 $x$ 轴更近，图像就显得更宽。这种变化叫作纵向压缩。

y=\frac{1}{2}x^2

所以可以把 $a$ 的作用说得更准确一些： $|a|$ 控制纵向拉伸或压缩，符号控制是否向下反射。

负号表示关于 x 轴反射

现在比较 $y=2x^2$ 和 $y=-2x^2$ 。它们的 $|a|$ 都是 $2$ ，所以宽窄相同；不同的是一个系数为正，一个系数为负。

对任何同一个 $x$ ，两个函数值正好互为相反数。

2x^2 \quad \text{和} \quad -2x^2

这说明 $y=-2x^2$ 可以看成把 $y=2x^2$ 关于 $x$ 轴翻过去。顶点没有换位置，对称轴也没有换位置，只是所有点的纵坐标变成相反数。

同一坐标系中 y=2x² 与 y=-2x² 关于 x 轴成镜像反射，顶点和对称轴保持不变，开口方向相反。

负的 a 会把抛物线关于 x 轴反射；顶点和对称轴不变，|a| 仍决定宽窄。

判断 $y=ax^2$ 时，可以把 $a$ 拆成两部分看：正负号决定向上或向下， $|a|$ 决定相对于 $y=x^2$ 是拉伸还是压缩。

拖动 a，观察图像怎样变化

先用滑块做一次整体观察。拖动 $a$ 时，注意三个位置：顶点、开口方向、点 $(1,a)$ 。

观察时可以刻意停在这些值上：

$a=2$ ：开口向上，比 $y=x^2$ 窄。
$a=0.5$ ：开口向上，比 $y=x^2$ 宽。
$a=-1$ ：与 $y=x^2$ 宽窄相同，但开口向下。
$a=-3$ ：开口向下，而且比 $y=-x^2$ 窄。

你会发现，所有这些图像都经过原点。这是因为无论 $a$ 是多少，只要 $x=0$ ，就有：

y=a\cdot 0^2=0

比较两个 a 值的图像

比较两个 $y=ax^2$ 图像时，建议按固定顺序来做。

先分别看两个 $a$ 的符号。符号相同，两个开口方向相同；符号不同，一个向上，一个向下。

再看两个 $a$ 的绝对值。绝对值大的图像更窄，绝对值小的图像更宽。

最后用点 $(1,a)$ 或 $(-1,a)$ 检查判断。因为当 $x=1$ 或 $x=-1$ 时， $x^2=1$ ，所以函数值正好等于 $a$ 。

判断 y=ax² 图像中参数 a 的三步流程图：看符号判断开口方向，看 |a| 与 1 比较判断宽窄，用点 (1,a) 校验。

判断 a：先看开口方向，再比较宽窄，最后用点 (1,a) 快速校验。

例如比较下面两个函数：

y=-4x^2

y=-\frac{1}{3}x^2

它们的 $a$ 都小于 $0$ ，所以都开口向下。再看绝对值， $|-4|=4$ ， $\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$ ，所以 $y=-4x^2$ 更窄， $y=-\frac{1}{3}x^2$ 更宽。

再试着比较几组 $a$ 值。重点不是背答案，而是把“符号”和“绝对值”分开判断。

例题：不画精确图，也能读出形状

例题 1：判断 $y=5x^2$ 的开口方向，并说明它比 $y=x^2$ 宽还是窄。

先看符号。这里 $a=5>0$ ，所以抛物线开口向上。

再看绝对值。 $|5|=5>1$ ，所以图像相对于 $y=x^2$ 被纵向拉伸。

因为纵向拉伸会让相同水平距离处的点离 $x$ 轴更远，所以 $y=5x^2$ 比 $y=x^2$ 更窄。

例题 2：在 $y=-0.25x^2$ 和 $y=-2x^2$ 中，哪一个更窄？

两个函数的 $a$ 都是负数，所以都开口向下。

比较宽窄时看绝对值： $|-0.25|=0.25$ ， $|-2|=2$ 。

因为 $2>0.25$ ，所以 $y=-2x^2$ 更窄， $y=-0.25x^2$ 更宽。

例题 3：已知一个抛物线形如 $y=ax^2$ ，经过点 $(1,-3)$ 。判断它的开口方向和宽窄。

把点 $(1,-3)$ 代入 $y=ax^2$ ，得到 $-3=a\cdot 1^2$ 。

因为 $1^2=1$ ，所以 $a=-3$ 。

$a<0$ ，所以图像开口向下； $|a|=3>1$ ，所以它比 $y=x^2$ 更窄。

常见误区

误区一：看到负数就说“更小，所以更宽”。宽窄看的是绝对值，不是数轴上的大小。 $-4$ 在数轴上小于 $-1$ ，但 $|-4|>|-1|$ ，所以 $y=-4x^2$ 更窄。

误区二：把“开口向下”说成“图像在下方，所以更宽”。方向和宽窄是两件事。 $y=-3x^2$ 向下且很窄， $y=-0.2x^2$ 向下但很宽。

误区三：认为 $a$ 会改变顶点。对于 $y=ax^2$ ，不管 $a$ 是 $2$ 、 $-1$ 还是 $\frac{1}{4}$ ，顶点都是 $(0,0)$ 。顶点移动要等到后面学习 $y=a(x-h)^2+k$ 时再讨论。

不要把 $y=ax^2$ 中的 $a$ 和一次函数 $y=kx+b$ 中的斜率直接混为一谈。抛物线不是直线，没有一个全图都相同的斜率； $a$ 控制的是整条抛物线的开口方向和拉伸程度。

自测练习

判断 $y=0.2x^2$ 的开口方向，并说明它比 $y=x^2$ 宽还是窄。

开口向上，因为 $a=0.2>0$ 。它比 $y=x^2$ 更宽，因为 $0<|0.2|<1$ 。

判断 $y=-6x^2$ 的开口方向，并说明它比 $y=-x^2$ 宽还是窄。

开口向下，因为 $a=-6<0$ 。它比 $y=-x^2$ 更窄，因为 $|-6|=6>|-1|=1$ 。

比较 $y=\frac{3}{4}x^2$ 和 $y=\frac{5}{4}x^2$ ，哪一个更窄？

两个函数都开口向上。比较绝对值， $\frac{5}{4}>\frac{3}{4}$ ，所以 $y=\frac{5}{4}x^2$ 更窄。

比较 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 和 $y=2x^2$ 。它们的开口方向相同吗？哪一个更窄？

开口方向不同。 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 开口向下， $y=2x^2$ 开口向上。若只比较宽窄， $|2|>\left|-\frac{1}{2}\right|$ ，所以 $y=2x^2$ 更窄。

一个 $y=ax^2$ 的图像经过点 $(-1,4)$ 。求 $a$ ，并判断图像方向和宽窄。

把点 $(-1,4)$ 代入，得到 $4=a\cdot(-1)^2$ ，所以 $a=4$ 。图像开口向上，并且比 $y=x^2$ 更窄。

本节小结

这一节只研究了 $y=ax^2$ ，但它已经让我们看到了二次函数最重要的参数之一。

y=ax^2

判断时记住三句话： $a>0$ 开口向上， $a<0$ 开口向下； $|a|>1$ 比 $y=x^2$ 更窄， $0<|a|<1$ 比 $y=x^2$ 更宽；负号表示关于 $x$ 轴反射，绝对值仍然控制宽窄。

下一步，我们会在 $ax^2$ 的基础上加入平移，研究 $y=a(x-h)^2+k$ 。到那时，顶点就不一定停在原点了。