从一次函数到非线性变化
你已经见过一次函数。它最熟悉的样子是：
这里的 不是一个普通的数字。它告诉我们：当 每增加 1， 会固定增加 。如果 ，那么 从 0 到 1， 增加 2； 从 8 到 9， 还是增加 2。这个“每一步同样多”的特点，就是一次函数最核心的直觉。
但现实里的变化不总是这样。小球下落时，后一秒走过的距离往往比前一秒更长；固定长度的绳子围成长方形时，面积先变大，后来又变小；商品提价时，单价变高可能会让销量下降，收入不一定一直增加。这些情境里，输入每走同样一步，输出的变化不再一样。
这就是我们要从一次函数走向二次函数的原因：先看清“直线变化”的边界，再理解为什么需要一种能描述弯曲变化的函数。
同样是函数，直线的变化率保持恒定，而非线性曲线的变化率会随着输入改变。
一次函数的标志：变化率恒定
先看一个简单情境：一辆小车匀速行驶，每分钟前进 3 米。如果用 表示时间，用 表示距离，那么关系可以写成：
时间每增加 1 分钟，距离都增加 3 米。无论从第 1 分钟到第 2 分钟，还是从第 9 分钟到第 10 分钟，增加量都一样。
这类关系适合用一次函数描述。它的图像是一条直线，表格里的相邻输出差值保持不变，表达式中 的最高次数是 1。
匀速步行时，每分钟增加相同距离，距离与时间呈线性关系。
这里说的变化率，可以先理解成“输入每增加同样多，输出跟着增加或减少多少”。在一次函数里，只要输入间隔相同，输出变化量也相同。
我们可以从表格里直接看出这个特点：
相邻变化量全是 +3，所以这个表格表现出线性变化。图像会是一条直线，表达式也能写成 。
表格里最先露出的线索
判断一个变化是不是线性，表格常常比图像更快。做法很朴素：当 的间隔相同时，比较 的相邻变化量。
比如下面这个表：
每次增加 1， 每次增加 2。这个关系可以写成：
再看平方数表：
这里 仍然每次增加 1，但 的变化量从 +1、+3、+5 到 +7，不再恒定。它不是一次函数。
表格中的相邻输出差值可以帮助判断变化是否保持线性。
先确认输入的间隔是否相同。上面的两个表中， 都是 0、1、2、3、4，所以每次输入都增加 1。
再计算相邻两个输出的差。第一个表的输出差都是 +2，第二个表的输出差分别是 +1、+3、+5、+7。
最后根据输出差是否恒定作判断。输出差恒定时，可以认为它表现出线性变化；输出差不恒定时，就要考虑非线性变化。
只看 是否一直变大是不够的。 也一直变大，但它不是线性变化。判断线性，关键看“每一步增加得是否一样多”。
图像中的直与弯
表格看差值，图像看形状。一次函数的图像是直线，这件事不是巧合。因为每一小段横向前进同样多，纵向也变化同样多，所以这些点会排成一条直线。
如果图像弯起来，就说明变化节奏正在改变。曲线越往右越陡，表示同样增加 1 个单位的 ， 增加得越来越多；曲线越往右越平，表示 增加得越来越少；如果曲线先升后降，说明变化方向本身也发生了改变。
这种“弯”不是画得好不好看的问题，而是在告诉我们：一个固定的变化率已经不够描述这个关系。
现实里常见的非线性变化
非线性变化并不稀奇。它甚至比直线变化更常见，只是一次函数比较容易先学。
小球下落就是一个典型例子。若忽略空气阻力，小球从静止开始下落时，时间每增加 1 秒，下落距离的增加量会变大。前一秒可能只下落一小段，后一秒下落更多。用表格看，相邻差值不恒定；用图像看，曲线会越来越陡。
相同时间内，下落距离的增量逐渐变大，说明这种变化不是线性的。
再看一个更接近代数的情境：正方形的边长从 1 厘米变到 2 厘米，面积从 1 平方厘米变到 4 平方厘米；边长从 2 厘米变到 3 厘米，面积从 4 平方厘米变到 9 平方厘米。边长每次只增加 1，但面积增加量分别是 3、5、7……
如果边长是 ，面积就是：
这个表达式里出现了平方。平方关系的图像不是直线，而是我们后面会重点研究的抛物线。
当一个情境里出现“面积”“平方”“先增后减”“同样输入间隔对应不同输出变化”这些线索时，一次函数可能不再够用。二次函数正是用来处理这类变化的重要工具。
为什么二次函数会自然出现
二次函数不是凭空多出来的一类公式。它经常来自两个会相互影响的量相乘。
比如有一根长度固定的绳子，用它围成长方形。若总半周长是 12 米，设宽为 米，那么长就是 米。面积为：
展开后得到：
这个表达式里有 ，所以它不是一次函数。面积也不会随着 一直增加。刚开始，宽变大能明显增加面积；但宽太大时，长会被挤得很短，面积反而下降。
固定周长时，长方形面积会随宽度先增大后减小，说明面积不是按直线增长。
这类关系很适合作为二次函数的入口，因为它同时有表格、图像和表达式三种证据。
面积先增大，到 时最大，然后又减小。用直线无法自然表达这种“先上升后下降”的形状。后面的课程里，我们会把这个最高点称为顶点，并用它解决最大值问题。
三种表示要一起看
学函数时，表格、图像、表达式不是三份互不相干的资料。它们是在从不同角度说同一件事。
同一个二次函数可以用表格、图像和表达式三种方式表示，并在三者之间互相转换。
表格擅长暴露局部变化。你可以计算相邻差值，看变化率是否恒定。
图像擅长展示整体形状。直线说明变化率恒定，曲线说明变化率在变。图像还会让“先增后减”“最高点”“最低点”这些信息变得直观。
表达式擅长揭示结构。 里只有一次项，通常对应直线；、 里出现平方或两个含 的因式相乘，常常会带来弯曲图像。
遇到一个新关系时，不要急着只套公式。先问三件事：表格里的相邻变化是否恒定？图像像不像直线？表达式里有没有平方或两个含变量的量相乘？
例题：从表格判断变化类型
判断下表更像线性变化还是非线性变化，并说明理由。
先看输入。 从 0 到 4，每次都增加 1，所以可以直接比较相邻的 值差。
计算相邻变化量：，，，。
这个例子还有一个值得提前注意的细节：相邻变化量虽然不恒定，但它们自己每次增加 2。许多二次函数表格都会有这种“第二层差值恒定”的现象。现在先把它当作线索记住，后面学习二次函数时会正式使用。
常见误区
误区一：只要图像向上，就是一次函数。实际上，很多曲线也一直向上。一次函数看的是直线形状和恒定变化率，不是只看升降方向。
误区二：只要表格里的数有规律，就是线性变化。平方数、三角形数、面积变化都有规律，但它们的相邻变化量不一定恒定。
误区三：看到两个点就断定关系是一次函数。任意两个点都能连成一条直线，但一个函数是否线性，要看更多点是否也落在同一条直线上，或看整体规则是否有恒定变化率。
小练习
- 判断下表是否表现为线性变化。
这是线性变化。 每次增加 2， 每次增加 6，所以对于相同的输入间隔，输出变化恒定。若把输入每增加 1 来看，变化率就是 3。
- 判断下表是否表现为线性变化。
这不是线性变化。 的相邻变化量分别是 +1、+3、+5、+7，不恒定。它更像含有平方关系的变化。
- 一个长方形的长固定为 8 厘米，宽为 厘米，面积为 。这个关系是线性还是非线性？
它是线性关系。面积 ，宽每增加 1 厘米，面积都增加 8 平方厘米。
- 一个正方形的边长为 厘米，面积为 。这个关系是线性还是非线性？
它是非线性关系。面积 。边长每增加 1 厘米，面积增加量会改变，例如从 1 到 2 时面积增加 3，从 2 到 3 时面积增加 5。
本节收束
一次函数的核心是恒定变化率。只要输入按相同间隔变化，输出就按相同数量变化，所以表格的相邻差值恒定，图像是一条直线，表达式通常可以写成 。
非线性变化的核心是变化率不恒定。它可能越来越快，可能越来越慢，也可能先增后减。平方关系、面积问题、下落距离和许多真实模型都会出现这种变化。
接下来，我们会从最简单的平方关系 出发，正式认识二次函数图像的基本形状：抛物线。