导数与积分前奏

微积分一开始看起来有两条线：一条研究“某一瞬间变得多快”，一条研究“一段时间一共积累了多少”。如果只看公式，这两条线会显得很突然；如果从图像和真实情境出发，它们其实来自两个很朴素的问题。

第一个问题是：一辆车在 10 秒内走了 120 米，我们知道它这 10 秒的平均速度，但它在第 6 秒那一瞬间到底有多快？第二个问题是：水管的进水速率每分钟都在变，我们怎样知道 20 分钟后水箱里一共多了多少水？

本章只做入口，不提前学习完整求导法则和积分技巧。我们先把平均变化率、割线、切线、瞬时速度、曲线下面积、小矩形累加和累积量连成一条清楚的直觉路线。

为什么要从变化率和累积量开始

在前面的章节里，我们已经会读函数图像、判断连续性，也知道极限关心“附近的趋势”。这些准备正好通向微积分的两个核心动作。

“变化率”关心的是局部。它盯住某一个输入值附近很小的一段，看输出怎样变化。

“累积量”关心的是整体。它把很多小段的贡献加起来，看一段区间内总量怎样形成。

平均变化率

先从最熟悉的变化开始。假设函数 $s(t)$ 表示某辆车在 $t$ 秒时离起点的路程。如果从 $t=a$ 到 $t=b$，路程从 $s(a)$ 变到 $s(b)$，那么这段时间的平均变化率是

在运动情境里，它就是平均速度；在气温情境里，它是某段时间内温度平均每小时变化多少；在成本情境里，它可以表示产量增加时总成本平均每件增加多少。

图像上，平均变化率对应连接两点的割线斜率。割线只看起点和终点，不管中间过程如何弯曲。车可能先慢后快，也可能中间停了一会儿，平均速度只把整段路程变化除以整段时间变化。

例子：读懂一段平均变化

一只水杯中的水温用函数 $T(t)$ 表示，$t$ 的单位是分钟，$T(t)$ 的单位是摄氏度。若 $T(2)=80$，$T(7)=55$，求从第 2 分钟到第 7 分钟的平均变化率，并解释它的意思。

让割线走向切线

如果我们想知道“某一瞬间”变化得多快，平均变化率还不够。平均变化率必须选两个不同的输入值，而“某一瞬间”只给了一个时刻。

解决办法不是硬把一个点拿来除，而是先保留一个很近的第二点。设固定点是 $x=a$，第二点是 $x=a+h$，这两个点之间的平均变化率是

这里的 $h$ 表示两个输入值之间的距离。当 $h$ 变小，第二点向固定点靠近，割线就会不断转动。若函数图像在这个点附近足够平滑，割线会逼近一条稳定的直线，我们把这条直线看作切线。

切线斜率就是瞬时变化率的图像直觉。它不是把 $h$ 直接设成 $0$，因为那会让分母变成 $0$；它关心的是当 $h$ 越来越接近 $0$ 时，割线斜率是否越来越接近某个稳定数值。

常见误区：切线不一定只碰一次

在圆的几何中，切线常被描述为“只和圆接触一个点的直线”。这个说法对圆很方便，但对一般函数图像不够可靠。一条切线可以在远处再次穿过曲线，也可能在局部看起来贴着曲线，却不是全局只接触一次。

在微积分里，切线更重要的含义是“在某一点附近最能代表曲线方向的直线”。我们关心的是局部方向，而不是整条直线和图像一共相交几次。

瞬时速度

速度表上的读数是理解瞬时变化率的好入口。车辆从家到学校的平均速度只告诉我们整段路程的平均快慢；速度表显示的 48 千米每小时，则是在某一个瞬间附近的快慢。

如果 $s(t)$ 表示位置，那么从 $t$ 到 $t+h$ 的平均速度是

当 $h$ 取得很小，这个平均速度就只看一个很短的时间窗口。若这些很短窗口的平均速度趋向同一个数，我们就把这个数当作 $t$ 时刻的瞬时速度。

从图像看，位置-时间图像越陡，位置变化越快，速度越大；图像向下倾斜时，位置在减小，速度为负；图像水平时，位置暂时没有变化，速度为 $0$。

例子：从表格估计瞬时速度

某物体的位置 $s(t)$ 如下表。

想估计 $t=2$ 时的瞬时速度，可以比较靠近 $2$ 的平均速度。

从 $1.99$ 到 $2$：

从 $2$ 到 $2.01$：

两边很近的平均速度分别接近 $3.99$ 和 $4.01$，所以 $t=2$ 附近的瞬时速度大约是 $4$。

曲线下面积

现在换一个问题。假设 $r(t)$ 表示水管在 $t$ 分钟时的进水速率，单位是升每分钟。若速率恒定为 $3$ 升每分钟，持续 $10$ 分钟，总进水量就是

这其实是一个矩形面积：高是速率，宽是时间，面积的单位是“升每分钟乘分钟”，最后得到升。

如果速率不是常数，图像就不再是一条水平线。我们仍然希望把“速率乘时间”这件事保留下来，只是要把一整段时间切成许多小段，在每一小段里用一个近似的速率代表那一段。

曲线下面积在这里不只是几何面积。它有现实单位，也有现实含义：速率曲线在某段时间下方的面积，对应该段时间里增加的总量。

小矩形累加

曲线下面积通常不能直接用一个矩形算出。最自然的办法是把区间分成很多小段，每段用一个矩形近似。

设区间从 $x=a$ 到 $x=b$，分成 $n$ 个等宽小区间。每个小矩形的宽度是

如果在每个小区间里选一个代表点 $x_i$，那么第 $i$ 个小矩形的面积大约是

把所有小矩形加起来，就得到曲线下面积的近似值。

当矩形很少时，曲线和矩形顶部之间会留下明显空隙或多出来的部分。当矩形越来越细，每个小区间里的函数值变化较小，矩形总面积就更贴近曲线下面积。

左端点、中点和右端点

在每个小区间里选哪个高度，会影响估计结果。

这些方法暂时都只是估计。真正关键的是：当小区间越分越细，合理的估计会朝同一个面积靠近。这个靠近过程，就是积分直觉的核心。

累积量函数

如果每次只问“从 0 到 6 的总面积是多少”，积分看起来只是一个算总量的工具。更有意思的是，我们可以让终点移动。

设 $r(t)$ 表示进水速率，定义 $A(T)$ 为从 $0$ 到 $T$ 的累积水量。随着 $T$ 增大，曲线下方被纳入的面积越来越多，$A(T)$ 也随之增大。

这个 $A(T)$ 本身就是一个函数。输入是时间终点，输出是到这个时间为止的总量。

当 $T$ 往右移动一小点，新增的累积量大约等于“当前速率乘以这小段时间”。所以当前速率越大，累积量函数上升得越快；当前速率越小，累积量函数上升得越慢。

这句话已经非常接近微积分基本定理的直觉：速率描述累积量的变化快慢，累积量来自速率在一段区间里的累加。

两条主线如何照应

把前面的两条线放在一起看，会得到一个很紧的对应关系。

导数方向从“总量函数”看当前变化率。比如位置函数的切线斜率给出瞬时速度，水量函数的切线斜率给出当前进水速率。

积分方向从“速率函数”看一段时间的累积量。比如速度-时间图像下的面积给出位移，进水速率-时间图像下的面积给出总进水量。

小练习

练习一

函数 $p(t)$ 表示某城市从上午 8 点开始 $t$ 小时后的气温。已知 $p(1)=18$，$p(5)=26$。求 $t=1$ 到 的平均变化率，并解释含义。

练习二

某位置函数在 $t=3$ 附近的平均速度如下：

请估计 $t=3$ 时的瞬时速度。

练习三

某水管的进水速率大约如下表。

用三个矩形估计 $0$ 到 $6$ 分钟的总进水量。

通向微积分

进入微积分 I 后，导数会被正式定义为差商的极限，积分会被正式定义为小矩形和的极限。你会学习怎样计算多项式、三角函数、指数函数和对数函数的导数，也会学习怎样用积分求面积、位移和累积量。

但公式规则不是起点。起点是本章的两个问题：一个点附近变化得多快，一段区间里一共积累多少。只要这两个问题还清楚，后面的符号就有地方落脚。

再找输出的变化。温度从 $80$ 摄氏度变到 $55$ 摄氏度，所以输出变化是 $55-80=-25$ 摄氏度。

所以 $0$ 到 $6$ 分钟内大约进水 $24$ 升。